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重庆南开中学高2013级高二(下)期中考试数学试题


重庆南开中学高 2013 级高二(下)期中考试 数学试题(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。

第 I 卷(选择题

共 50 分)

一、选择题(每小题 5 分,10 小题,共 50 分,每小题只有一个选项符合要求) 1 ? 2i 1.复数

的虚部是 ( ) i A. 1 B. ?1 C. i D. ?i

2.某射击选手每次射击击中目标的概率是 0.8 ,如果他连续射击 5 次,则这名射手恰有 4 次 击中目标的概率是( ) 4 4 4 4 A. 0.8 ? 0.2 B. C5 ? 0.84 C. C5 ? 0.84 ? 0.2 D. C5 ? 0.8 ? 0.2

3.设随机变量 X 的概率分布如下,且 E ( X ) ?

13 ,则 a 的值等于( 6

) 4

X
p

1

1 2
B. 2 C.

a 1 3
5 2
D. 3

1 6

A.

3 2

4.设随机变量 ? 服从正态分布 N ( ? , 4) ,若 p(? ? 4) ? p(? ? 2) ,则 ? = ( A. 0 B. 2 C. 3 D. 9



5.如图,正方形 OABC 的四个顶点的坐标分别为: O(0,0), A(1,0), B(1,1), C (0,1) ,曲线

y ? x2 与 y ? x 经过点 B .现将一质点随机投入 正方形 OABC 中,则质点落在图中阴影区域的
概率是( )

y

y ? x2

1 A. 2
C.

1 B. 3
D.

C

y? x
B

1 4

2 5

O

A

x

6.学校要把 6 个“学雷锋先进个人”名额分给四个不同班级,每班至少一个名额,则不同 分配方法为( A. 15 ) B. 20 C. 10 D. 6

7.若 ( x ? 数为( A.21

4

1 n ) 展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列,则展开式中 x 2 的系 x
B. 20 C. 35 D. 15



8.德国 GBN 中学的 3 名学生与我校 4 名学生合影留念,则 GBN 中学的三名学生不站两端 而且三人不全相邻的站法为( ) A. 144 B. 864 C. 1008 D.1440

9.来自南开、一中、八中、西师附中的教师各两名(一男一女) ,分配到四个不同考场监考, 每个考场一男一女两名监考老师,且来自不同学校,则不同的安排方案总数有( ) A.576 种 B. 216 种 C. 144 种 D.9 种 10. 正方体 ABCD ? A B1C1D1 的 8 个顶点,各棱的中点共 20 个点中,任取两点连成的直 1 线中与 BD1 垂直的条数为( A.6 B.12 ) C.18 D. 27

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:(本大题 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分)各题答案必须填写在 答题卡Ⅱ上相应位置(只填结果,不写过程)
11.若 (2 x ? k )dx ? 2 ? k ,则实常数 k 为
0

?

1



12. ( x ? a)8 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ???? ? a8 x8 , a5 ? 56 , a0 ?a1 ?a2 ?? 若 且 则 ? 13.已知随机变量 ? ~ B (64, ) , ? ? 2? ? 4 ,则 D? ?

?8 a



1 2



14.先后投掷两枚骰子,记录所得点数为 ( x, y ) ,则在“ x, y 中至少有一个奇数”的条件下, “ x ? y 是 3 的倍数”的概率是 . 15.观察下面这列式子:

21 ? 20 ,2 2 ? 20 ,2 2 ? 21 ,23 ? 20 ,23 ? 21 ,23 ? 2 2 ,2 4 ? 20 ,2 4 ? 21 ,2 4 ? 2 2 ,2 4 ? 23 ,25 ? 20 ,?
按此规律进行下去,则此列式子中第 2012 个式子为 .

三、解答题:(本大题 6 个小题,共 75 分)各题解答必须答在答题卡Ⅱ上(必 须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程)
16. (本小题满分 13 分, (1)小问 6 分, (2)小问 7 分) 甲乙两人参加某种面试,规定每位考生需要从编号为 1~8 的 8 道面试题中抽出 3 道进行面 试,至少答对两道才能及格。已知甲能答对编号为 1~5 的 5 道题,乙能答对编号为 3~8 的 6 道题. (1)求甲恰好答对两道题的概率; (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.

17. (本小题满分 13 分, (1)小问 6 分, (2)小问 7 分) 如图,在长方体 ABCD ? A B1C1D1 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, BB1 ? 2 . 1 (1)求二面角 B ? AB1 ? C 的余弦值; (2)求点 C1 到面 AB1C 的距离. A1 D1 B1 C1

D A B

C

18. (本小题满分 13 分, (1)小问 5 分, (2)小问 8 分) 甲乙两人进行乒乓球比赛,比赛采用五局三胜制(即:谁先胜三局谁就赢) 。已知甲在每局 中获胜的概率为

2 1 ,乙在每局中获胜的概率为 ,且各局胜负相互独立. 3 3

(1)求比赛 4 局甲才获胜的概率; (2)用 X 表示比赛停止时已比赛的局数,求 X 的分布列及数学期望.

19. (本小题满分 12 分, (1)小问 5 分, (2)小问 7 分) 已知点 F (1, 0) ,直线 l : x ? 3 , P 为平面上的动点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为 Q , 且 | PQ |? 3 | PF | . (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2) 若直线 y ? kx ? m 与曲线 C 有两个交点 M , N , 当线段 MN 的中点在直线 x ? 1 上时, 求 k 的范围.

20. (本小题满分 12 分, (1)小问 5 分, (2)小问 7 分)

1 2 ax ? 2 x(a ? 0), g ( x) ? ln x . 2 (1)若 a ? 3 ,求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调区间; g ( x) 1 ? f ?( x) ? (2a ? 1) 在区间 ( , e) 内有且只有两个 (2)是否存在实数 a ? 0 ,使得方程 x e 不相等的实数根?若存在,求出 a 的取值范围?若不存在,请说明理由.
已知函数 f ( x) ?

21. (本小题满分 12 分, (1)小问 6 分, (2)小问 6 分) 数学来源于生活!如:将两杯浓度不相同(非饱和)的糖水混和在一起,则混和后所得糖水 的浓度应该介于原来两杯糖水的浓度之间。用严格的数学语言表达此关系即为:

a1 a 2 a a ? a2 a2 . ? ? 1 ,则 1 ? 1 ? b1 b2 b1 b1 ? b2 b2 (1)试想,两杯糖水肯定可以推广到 n (n ? 2) 杯糖水的情形,那么,请将题目中的命题推 广到 n 个元素的情形,请写出推广后的命题,并用数学归纳法证明; (n ? 1) n 5 4 ? 6 5 ? ? ? (n ? 1) n 625 ? ? (n ? 5, n ? N *) . (2)证明: n ?1 5 6 n ?1 1024 n 4 ? 5 ??? n
设 a1 , a2 , b1 , b2 ? 0 ,若 0 ?

重庆南开中学高 2013 级高二(下)期中考试 数学试题(理科)参考答案
一、选择题

BCDCB
二、填空题 11.

CACBD
12. 256 13. 64 14.

1 2

1 3

15. 2 ? 2
63

58

三、解答题 16. 解: (1)记“甲恰好答对两道题”为事件 A,则 P( A) ? (2)记“甲考试合格”为事件 B, “乙考试合格”为事件 C.
3 1 2 1 C5 ? C52 ? C3 5 C 3 ? C6 ? C2 25 ? , P(C ) ? 6 ? 3 3 C8 7 C8 28 5 25 95 . ? P( B ? C ) ? 1 ? P( B) P(C ) ? 1 ? (1 ? )(1 ? ) ? 7 28 98 17. 解: 在长方体 ABCD ? A B1C1D1 中, (1) 由于 CB ? AB, CB ? BB1 , CB ? 面 AB1B . 则 1 S?AB1B 设二面角 B ? AB1 ? C 的大小为 ? ,则 cos ? ? . S?AB1C 1 C52 ? C3 15 ? ; 3 C8 28

则 P( B) ?

在 ?AB1C 中, AB1 ? 6, AC ? 2 2, B1C ? 6 ,则 S?AB1C ? 而 S ?AB1B ?

1 ?2 2 ?2 ? 2 2 2

S ?AB1B 2 1 1 ? ? . ? 2 ? 2 ? 2 ,所以 cos ? ? 2 S ?AB1C 2 2 2
1 3

(2)设点 C1 到面 AB1C 的距离为 h . 由 VC1 ? AB1C ? VA?B1C1C 得 S?AB1C ? h ?

S ?B1C1C ? AB 2?2 1 ? ? 1. S?B1C1C ? AB ,所以 h ? 3 S ?AB1C 2 2
2 3 1 2 8 ? . 3 3 27

2 2 18. 解: (1)记“比赛 4 局甲才获胜”为事件 A,则 P ( A) ? C3 ( ) ? ?

(2) X 的可能取值为 3、4、5.

2 1 1 P ( X ? 3) ? ( )3 ? ( )3 ? 3 3 3 2 1 2 1 2 1 10 P( X ? 4) ? C32 ( ) 2 ? ? ? C32 ( ) 2 ? ? ? 3 3 3 3 3 3 27 2 2 1 2 8 2 P ( X ? 5) ? C4 ( ) ? ( ) ? 3 3 27 所以 X 的分布列为: 3 4 X 1 10 P 3 27 1 10 8 107 ? E( X ) ? 3? ? 4 ? ? 5 ? ? 3 27 27 27

5

8 27

19. 解: (1)设 P( x, y) ,则 Q (3, y ) .

x2 y 2 ? ?1 由 | PQ |? 3 | PF | 得: | 3 ? x |? 3 ( x ? 1) ? y ,整理得 3 2 x2 y 2 ? ? 1. 故动点 P 的轨迹 C 的方程为 3 2 (2)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )
2 2

? x2 y 2 6km ? ? ?1 联立 ? 3 2 消去 y 有: (2 ? 3k 2 ) x2 ? 6kmx ? 3m2 ? 6 ? 0 ,从而有 x1 ? x2 ? ? 2 ? 3k 2 ? y ? kx ? m ? 2 ? 3k 2 6km ? 2 ,进而有 m ? ? 由于 MN 的中点在直线 x ? 1 上,所以 x1 ? x2 ? ? . 2 ? 3k 2 ?3k y ? y2 2 2 ?k ?m?? ,即 MN 的中点为 (1, ? ) ? 1 2 3k 3k 2 2 x y ? ? 1 内部, 又 MN 的中点在椭圆 3 2 2 (? ) 2 3 3 1 或k ? ? . ? ? 3k ? 1 ,解得 k ? 3 3 3 2 3 3 所以 k 的取值范围为 (??, ? ) ? ( , ??) 3 3 3 2 20. 解: (1)当 a ? 3 时, h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ? 2 x ? ln x ( x ? 0) 2 2 1 3x ? 2 x ? 1 则 h?( x) ? 3x ? 2 ? ? . x x 1 1 1 由 h?( x) ? 0 解得 x ? 或 x ? ?1 (舍去) 所以 h( x) 单减区间为 (0, ) , , 单增区间为 ( , ??) . 3 3 3 g ( x) ? f ?( x) ? (2a ? 1) ? ax2 ? (1 ? 2a) x ? ln x ? 0 (2)方程 x 1 设 h( x) ? ax2 ? (1 ? 2a) x ? ln x ,于是原方程在区间 ( , e ) 内根的问题,转化为函数 e 1 h( x) 在区间 ( , e) 内的零点问题. e 1 (2ax ? 1)( x ? 1) h?( x) ? 2ax ? (1 ? 2a) ? ? x x 由于 a ? 0 , 则当 x ? (0,1) 时,h?( x) ? 0 , 即得 h( x) 在 (0,1) 上单调递减; x ? (1, ??) 当 时, h?( x) ? 0 ,即得 h( x) 在 (1, ??) 上单调递增. 1 2 若 h( x) ? ax ? (1 ? 2a) x ? ln x 在 ( , e) 有且仅有两个不相等的零点,只需 e 1 a 1 ? 2a ? ? h( e ) ? e 2 ? e ? 1 ? 0 ? e2 ? e ,解得 1 ? a ? ?h(1) ? a ? (1 ? 2a) ? 0 2e ? 1 ?h(e) ? ae 2 ? (1 ? 2a)e ? 1 ? 0 ? ?

e2 ? e ). 2e ? 1 a a a a a ? a2 ? ??? ? an an 21. 解: 推广命题: 0 ? 1 ? 2 ? ??? ? n ? 1 , 1 ? 1 (1) 若 则 ? (n ? 2) . b1 b2 bn b1 b1 ? b2 ? ??? ? bn bn
所以存在满足条件的 a , a 的取值范围为 (1, 下面用数学归纳法证明:

a1 a1 ? a2 a1 (b1 ? b2 ) ? b1 (a1 ? a2 ) a1b2 ? a2b1 ? ? ? b1 b1 ? b2 b1 (b1 ? b2 ) b1 (b1 ? b2 ) a a a a ? a2 a ?a a 而 1 ? 2 ,即 a1b2 ? a2b1 ? 0 ,进而得 1 ? 1 ? 0 ;同理 1 2 ? 2 ? 0 . b1 b2 b1 b1 ? b2 b1 ? b2 b2 所以当 n ? 2 时命题成立. a a ? a2 ? ??? ? ak ak 假设当 n ? k (k ? 2) 时命题成立,即 1 ? 1 ? . b1 b1 ? b2 ? ??? ? bk bk 则当 n ? k ? 1 时,令 a1 ? a2 ? ??? ? ak ? a , b1 ? b2 ???? ? bk ? b
当 n ? 2 时,

a1 a1 ? a2 a2 a a ? ak ?1 ak ?1 ? ? 得 ? ? b1 b1 ? b2 b2 b b ? bk ?1 bk ?1 a a ? a2 ? ??? ? ak a a1 ? a2 ? ??? ? ak ?1 a ? bk ?1 ak ?1 又由归纳假设得 1 ? 1 ? ? ? ? b1 b1 ? b2 ? ??? ? bk b b1 ? b2 ? ??? ? bk ?1 b ? bk ?1 bk ?1 所以当 n ? k ? 1 时命题成立. a a a a a ? a2 ? ??? ? an an 综上:若 0 ? 1 ? 2 ? ??? ? n ? 1 ,则 1 ? 1 ? (n ? 2) 成立. b1 b2 bn b1 b1 ? b2 ? ??? ? bn bn


(n ? 1) n 5 4 ? 6 5 ? ? ? (n ? 1) n 625 ? ? (n ? 5, n ? N *) 成立, (2)由(1)可知:要使 n ?1 5 6 n ?1 1024 n 4 ? 5 ??? n (n ? 1)n nn?1 则只需 0 ? ? ? 1(n ? 5) . nn?1 (n ? 1)n

(n ? 1)n nn?1 ①先证 ? (n ? 5) . nn?1 (n ? 1)n (n ? 1)n nn?1 因为 ? ? (n2 ? 1)n ? (n2 )n ,而 n2 ? n2 ? 1 , n ?1 n n (n ? 1) n (n ? 1) nn?1 所以有 ? (n ? 5) 成立. nn?1 (n ? 1)n (n ? 1) n (n ? 1) n (n ? 1) n ? 1(n ? 5) 。 n ?1 ? 0 显然成立,只需证: n ?1 ? 1(n ? 5) . ②再证 0 ? n n ?1 n n n (n ? 1) ln n ln(n ? 1) ? 1 ? nn?1 ? (n ? 1)n ? (n ? 1) ln n ? n ln(n ? 1) ? ? n ?1 n n n ?1 ln x 1 ? ln x ( x ? 5) ,则 f ?( x) ? 令 f ( x) ? . x x2 1 ? ln x ? x ? 5 , ? f ?( x) ? ? 0 , 即 f ( x) 在 [5, ??) 上单 调递增,所以 当 n ? 5 时 x2 (n ? 1) n ln n ln(n ? 1) ? ? 1(n ? 5) . ,进而有 n n ?1 n n ?1

综合①②得 0 ?

(n ? 1)n nn?1 ? ? 1(n ? 5) ,故原命题成立. nn?1 (n ? 1)n


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