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全国高中数学联赛江苏赛区2007年初赛试题答案


全国高中数学联赛江苏赛区 2007 年初赛试题答案
班级 __________ 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.已知函数 y
? s in
2

姓名 __________

x

,则 ________ B、有最小正周期为 ? ,知最小正周期 T
2

/>
A、有最小正周期为 2 ? 解:由 y
? s in
2

C、有最小正周期为 ,故选 B .

?
2

D、无最小正周期

x ?

1 2

(1 ? c o s 2 x )

??

2.关于 x 的不等式: x 2 是 ________ A、2 解:方程 x 2

? ax ? 20a

? 0

,任意两个解的差不超过 9,则 a 的最大值与最小值的和

B、1
? ax ? 20a
2

C、0 的两根是 x1
? ?4a

D、 ? 1 , x2
? 5a

? 0

,则由关于 x 的不等式 x 2

? ax ? 20a

2

? 0



由任意两个解的差不超过 9,得 | x1 3.已知向量 a 、 b ,设 A B A、A、B、D
? ? ??? ? ? ? ? a ? 2b

? x 2 | ? | 9 a |? 9

,即 ? 1 ? a ? 1 ;故选 C .
???? ? ? ? 7 a ? 2b

,BC

????

? ? ? ?5a ? 6b

,C D

,则一定共线的三点是 ________ D、A、C、D

B、A、B、C

C、B、C、D

???? ???? ???? ? ? ??? ? 解: B D ? B C ? C D ? 2 a ? 4 b ? 2 A B

,所以 A、 B、 D 三点共线;故选 A .
? ?

4.设 ? 、 ? 、 ? 为平面, m 、 n 为直线,则 m A、 ? C、 ?
? ?
? ?

的一个充分条件是 ________
?? ? m

,? ,?

? ? ? n

,m
??

? n

B、 ? D、 n
// ?

,?
? ?

? ?

,?
??

? ?

? ?

,m

??

,n

,m ;

解: A 选项缺少条件: m
C
D

? ?

; B 选项当 ?

,?

? ?

时, m

// ?

选项当 ? 、 ? 、 ? 两两垂直(看着房间的墙角) ,当 m

? ? ??

时, m

? ?



选项同时垂直于同一条直线的两个平面平行;本选项为真命题,故选 D .
? x x ?a {
2

5.若 m 、 n

? 10 ? a 1? 10 ? a
2

0

},其中 a i ? 1,2, ,4, , , }, i ? 0,, { 3 5 6 7 1 2

,并且 m ? n

? 636



则实数对 ( m , n ) 表示平面上不同点的个数为 ________ A、60 个 解:由 6 B、70 个 C、90 个 D、120 个 5 种;

? 5 ? 1 ? 4 ? 2 ? 3 ? 3 及题设知,个位数字的选择有 2 ? 1 ? ? 7 ? 6 ? 10

因为 3 ?

, 种;
?8

故(1)由 3 ? (2)由 3 ?

2 ? 1 知,首位数字的可能选择有 2 ? 5 ? 1 0 7 ? 6 ? 10

及5

? 4 ?1 ? 2 ? 3

知,首位数字的可能选择有 2 ? 4
? 90

种;

于是,符合题设的不同点的个数为: 5 ? (1 0 ? 8 )

种;故选 C .

6.已知 且

f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 ? ? ? x ? 2007 ? x ? 1 ? x ? 2 ? ? ? x ? 2007
2

(x? R ) ,

f ( a ? 3 a ? 2 ) ? f ( a ? 1)

,则 a 的值有 ________ C、4 个 D、无数个

A、2 个 解:由题设知
f (x)

B、3 个 为偶函数,

则考虑在 ? 1 ? 所以当 ? 1 ?
2

x ? 1 时,恒有 f ( x ) ? 2 ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? 2 0 0 7 ) ? 2 0 0 8 ? 2 0 0 7

; ;

a ? 3a ? 2 ? 1

,且 ? 1 ?

a ? 1 ? 1 时,恒有 f ( a ? 3 a ? 2 ) ? f ( a ? 1)
2

由于不等式 ? 1 ? 不等式 ? 1 ? 因此当
3? 2

a ? 3a ? 2 ? 1
2

的解集为:

3? 2

5

? a ?

3? 2

5



a ? 1 ? 1 的解集为: 0 ? a ? 2 ;
5 ? a ? 2

时,恒有

f ( a ? 3 a ? 2 ) ? f ( a ? 1)
2

;故选 D .

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.设 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和,若 S 5
? 10

, S10

? ?5

,则公差为 ________

解:设等差数列 { a n } 的首项为 a1 ,公差为 d ; 由题设可得: ? 8.设
? 5 a1 ? 1 0 d ? 1 0 ?1 0 a 1 ? 4 5 d ? ? 5

,即 ?
? 1)

? a1 ? 2 d ? 2 ? 2 a1 ? 9 d ? ? 1

,解之可得 d

? ?1 .

f ( x ) ? lo g a ( x ? b ) ( a ? 0

且a

的图象经过点 ( 2, ,它的反函数的图象经过点 ( 2,8 ) , 1)

则a

?b

等于 ________
? lo g a ( 2 ? b ) ? 1 ? lo g a (8 ? b ) ? 2

解:由题设可知: ? 解之可得: ?
9.已知函数 y
2

,化简可得: ?

? (2 ? b) ? a ? (8 ? b ) ? a
2



? a1 ? 3 ? b1 ? 1

或?

?a2 ? ?2 ? b2 ? ? 4

(舍去) ;所以 a ? b 等于 4.

? f (x)

的图像如图,则满足:
2

f(

2x ? x ?1 x ? 2x ?1
2

) ? f (lg ( x ? 6 x ? 2 0 )) ? 0

的 x 的取值范围为 ________ ,
) ? 0 ? f ( ( 2 x ? 1)( x ? 1) ( x ? 1)
2

解:因为 lg ( x 2 所以

? 6 x ? 2 0 ) ? lg (( x ? 3 ) ? 1 1) ? lg 1 1 ? 1
2

f [lg ( x ? 6 x ? 2 0 )] ? 0
2

,从而

f (

2x ? x ?1
2

x ? 2x ?1
2

) ? 0 ? f (

2x ?1 x ?1

) ? 0

于是,由图像可知,

2x ?1 x ?1

? 1 ,即

x? 2 x ?1

? 0



解得 ? 2

? x ? 1 ;故
x
2

x 的取值范围为: x ? [ ? 2 ,

1)



10.圆锥曲线

? y

2

? 6 x ? 2 y ? 1 0 ? | x ? y ? 3 |? 0

的离心率是 ________
( x ? 3 ) ? ( y ? 1)
2 2

解:原式变形为:

( x ? 3 ) ? ( y ? 1)
2

2

?| x ? y ? 3 |

,即

?

2

|x? y?3| 2



所以动点 ( x , y ) 到定点 ( ? 3, 的距离与它到直线 x ? 1) 故此动点轨迹为双曲线,离心率为 11.在 ? A B C 中,已知 ta n 解:在 ? A B C 中,由 ta n
2 3 2 3 2
B ? 3

y?3? 0

的距离之比为

2



2


2 3 2

, s in C ?

, AC

? 3

6

,则 ? A B C 的面积为 ________
A C ? s in C s in B

B ?

3

,得 B

? 60?

;由正弦定理得: A B

?

? 8



因为 a rc s in

? 60?

,所以角 C 可取锐角或钝角,从而 c o s C
3 6

? ?

1 3



s in A ? s in ( B ? C ) ? s in B c o s C ? c o s B s in C ?
AC ? AB 2

?



故 S ?ABC

?

s in A ? 8

3 ? 6

2


? 4ax ? 1 ? 0

12.设命题 P : a 2

? a

,命题 Q :对任何 x ? R ,都有 x 2

;命题 P 与 Q 中有且仅有一个

成立,则实数 a 的取值范围是 ________ 解:由 a 2 由 x2
? a

,得: 0

? a ?1


? 16a ? 4 ? 0
2

? 4ax ? 1 ? 0

对于任何 x ? R 成立,得 ?

,即 ?

1 2

? a ?

1 2

; 或
1 2 ? a ? 1.

因为命题 P 、 Q 有且仅有一个成立,所以实数 a 的取值范围是: ? 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 15 分) 13.设不等式组: ?
x? y ? 0
?x ? y ? 0 ?x ? y ? 0

1 2

? a ? 0

表示的平面区域为 D ,区域 D 内的动点 P 到直线 x ?
2 ,0 )

y ? 0

和直线

的距离之积为 2;记点 P 的轨迹为曲线 C ,过点 F ( 2

的直线 l 与曲线 C 交于

A、 B

两点;若以线段 A B 为直径的圆与 y 轴相切,求直线 l 的斜率. y
? y
2

解:由题意可知,平面区域 D 如图阴影所示; 设动点为 P ( x , y ) ,则 由P ?
D

x? y 2

?

x? y 2

? 2



x

2

? 4



,可知 x ?

y ? 0

,x?

y ? 0

,即 x 2

? y

2

? 0



O

x

所以 y 2

? x

2

? 4 ( y ? 0)


y
2

即曲线 C 的方程为:

?

x

2

? 1 ( y ? 0)

;…………………………………………5 分
x1 ? x 2 2 y1 ? y 2 , ) 2

4

4

设 A ( x1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,则以线段 A B 为直径的圆的圆心为: Q ( 因为以线段 A B 为直径的圆与 y 轴相切,所以半径 r 即
A B ? x1 ? x 2
? 1 2 AB ?



x1 ? x 2 2



,①;………………………………………………………………10 分
2 , 0)

因为直线 A B 过点 F ( 2

,当 A B

? x

轴时,不合题意; ;

所以设直线 A B 的方程为: y 代入双曲线方程: 可得: k 2 ( x ? 2
2

? k(x ? 2

2)

y

2

?

x

2

? 1 ( y ? 0)

中;
2

4
2) ? x
2

4
? 4

,即 ( k 2

? 1) x ? 4

2 k x ? (8 k
2

2

? 4) ? 0



因为直线与双曲线交于 A、 B 两点,所以 k 所以 x1 所以 |
? x2 ? 4 k
2

? ?1 ;

2k

2

?1

, x1 x 2
2

?

8k k

2 2

?4 ?1


(1 ? k )[( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ]
2

A B |?

( x1 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 )
4 k
2

2

?
2 2

?

(1 ? k )[(
2

2k

2

?1

) ? 4
2

8k k

? 4 ?1

] ? | x1 ? x 2 |? |

4 k
2

2k

2

?1

|

化简得: k 4 由?
? (4

? 2k
2 2

2

?1 ? 0
2

,解得 k 2
2

?

2 ?1
2

(k2

? ?

; 2 ? 1 不合题意,舍去)

2k ) ? 4(k

? 1)(8 k

? 4 ) ? 4 (3 k

? 1) ? 0

又由于 y

? 0

,所以 ? 1 ?

k ? ?

3 3

;所以 k

? ?

2 ?1

.………………………15 分
? 60?

14.如图,斜三棱柱 A B C

? A1 B 1 C 1

中,面 A A1 C 1 C 是菱形, ? A C C 1

,侧面 A B B 1 A1

? A A1 C 1 C



(1) A A1 ? B C 1 ; (2)求点 A1 A1 B ? A B ? A C ? 1 ;求证:

到平面 A B C 的距离.

B A D A1

B1

C

C1

证: (1)设 A A1 中点为 D ,连结 C D ; 因为 A1 B
? AB

,所以 B D

? A A1 ;

因为平面 A B B 1 A1

? A A1 C 1 C

,所以 B D
? C 1 A1

?

平面 A A1 C 1 C ;

又 ? A C C 1 为正三角形, A C 1 所以, C 1 D

, .………………………………………………6 分
?

? A A1 ,从而 B C 1 ? A A1 ? C1 D

(2)由(1)有 B D

, B C1

? C C1

, C C1

平面 C 1 D B ; A

设 A1 到平面 A B C 的距离为 h , 则
1 3 h S ?ABC ? V B ? CAC ? V B ?CDC
1


1

因为 V C ? C D B
1

?

1 3

C C1 ? S ?C

1DB

, B E C

所以 h

?

S ?C

1D

B


3 4
2 2

S ?ABC

又 C1 D

? BD

,且 2 S ? C D B
1

? C1D ? B D ? B D

2

?


?1? 3 2 ?1? 5 2

设 ? A B C 的高为 A E ,则 B C 2
1 4 5 2
3 15

? B C1 ? C C1 ? 2 B D
2



AE ?

1?

?

?

3 8

, 2 S ?ABC

?

5 2

?

3 8

?

15 4


15 5

于是有 h

?

?

15 5

,即 A1 到平面 A B C 的距离为 , an?2
? an ? 2

.……………………15 分

15.已知数列 { a n } 中, a 1 解:由题设, a n ? 2 则 a 2007 由 an?2 则 an?3
? an ? 2

? 1 , an?3 ? an ? 3

,求 a 2 0 0 7 .

, ;……………………………5 分

? a 2 0 0 5 ? 2 ? a 2 0 0 3 ? 2 ? 2 ? ? ? a1 ? 2 ? 1 0 0 3 ? 2 0 0 7 ? an ? 2

,得 a n

? an?2 ? 2

, ;…………………………………………10 分

? a n ? 3 ? a n ? 2 ? 2 ? 3 ? a n ? 2 ? 1 ( n ? 1)

于是 a 2 0 0 7

? a 2 0 0 6 ? 1 ? a 2 0 0 5 ? 1 ? 2 ? a 2 0 0 2 ? 3 ? 1 ? 2 ? a1 9 9 9 ? 3 ? 2 ? 1 ? 2 ? ? ? a1 ? 3 ? 6 6 8 ? 1 ? 2 ? 2 0 0 7



所以, a 2 0 0 7 易知数列 a 1

? 2007

; ,? , a n
? n

? 1 , a2 ? 2

符合本题要求.……………………………15 分

注意:猜得答案 a n

? n

或 a 2007

? 2007

,给 2 分.

16.已知平面上 10 个圆,任意两个都相交.是否存在直线 l 与每个圆都有公共点?证明你的结论. 解:存在直线 l ,与每个圆都有公共点. 证明如下: 如图,先作直线 l 0 , 设第 i 个圆在直线 l 0 上的正投影是线段 A i B i , 其中 A i 、 B i 分别是线段的左右端点; 10 个圆有 10 个投影线段, 有 10 个左端点,有 10 个右端点.…………5 分 因为任意两个圆都相交, 所以任意两条投影线段都有重叠的部分, 设 A k 是最右边的左端点,则所有右端点都在 A k 的右边, 否则必有两条投影线段无重叠部分,与对应的两个圆相交矛盾.………………10 分 再设 B m 是最左边的右端点,同理所有左端点都在 B m 的左边;
Ak

A1

A2 Ak Bm
10

B2 B1

与 B m 不重合,线段 A k B m 是任意一条投影线段的一部分,

过线段 A k B m 上某一点作直线 l 0 的垂线 l ,则 l 与 10 个圆都相交.………………15 分


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