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复合函数复习一


函数解析式与复合函数常见题型练习 一. 解析式的求法:
1. 代入法 例 1、 f ( x) ? 2 x ? 1 ,求 f ( x ? 1)

2. 待定系数法 例 2、二次函数 f ( x) 满足 f ( x ? 3) ? f (1 ? x) ,且

f ( x) ? 0 的两实根平方和为 10,图像过点

(0,3) ,求 f ( x) 解析式

3. 换元法 例 3、

f (3x ? 1) ?

2x ?1 ,求 f ( x) 解析式 3 ? 4x

4. 配凑法 例 4、 f (3x ?1) ? 9x2 ? 6x ? 5 f (3x ?1) ? 9x2 ? 6x ? 5 ,求 f ( x) 解析式

5. 消元法(构造方程组法,赋值法) 例 5、2 f ( x) ? f (? x) ? x ?1,求 f ( x) 解析式。

1

6. 利用函数的性质求解析式
3 3 3 例 6、已知函数 y ? f ( x) 是定义在区间 [? , ] 上的偶函数,且 x ?[0, ] 时, f ( x) ? ? x2 ? x ? 5 2 2 2

(1)求 f ( x) 解析式 (2)若矩形 ABCD 顶点 A, B 在函数 y ? f ( x) 图像上,顶点 C , D 在 x 轴上,求矩形 ABCD 面积 的最大值

例 7、已知函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的周期函数,周期 T ? 5 ,函数 y ? f ( x) (?1 ? x ? 1) 是
奇函数,又知 y ? f ( x) 在 [0,1] 上是一次函数,在 [1,4] 上是二次函数,且在 x ? 2 时函数取得最 小值,最小值为-5 (1)证明: f (1) ? f (4) ? 0 (2)试求 y ? f ( x) , x ?[1,4] 的解析式 (3)试求 y ? f ( x) 在 x ?[4,9] 上的解析式

2

二、复合函数的性质
1、复合函数

y ? f ?g ( x)? 在区间 ?a, b? 上的单调性:

u ? g ( x) ,

y ? f (u ) 增减性相同时, y ? f ?g ( x)? 为增函数,

u ? g ( x) , y ? f (u ) 增减性相反时, y ? f ?g ( x)? 为减函数.
求复合函数单调区间的步骤是: (1)求函数的定义域; (2)用换元法把复合函数分解成常见函数; (3)求各常见函数的单调区间; (4)把中间变量的变化区间转化成自变量的变化区间; (5)按复合函数单调性的规律,求出复合函数的单调区间.

例 8、 求下列函数的单调区间: y=log4(x -4x+3)

2

例 9、求复合函数 y ? log 1 (2 x ? x
3

2

) 的单调区间

例 10、求 y=

7 ? 6x ? x 2 的单调区间和最值。

例 11、

? 1? 求 y= ? ? ?2?

x 2 ? 2x ?1

的单调区间。

3

2、复合函数 y ? f ?g ( x)? 的奇偶性
若函数 f ( x), g ( x), f ?g ( x)? 的定义域都是关于原点对称的,那么由

u ? g ( x), y ? f (u) 的奇偶性得到 y ? f ?g ( x)? 的奇偶性的规律是:
函数 奇偶性 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数

u ? g ( x)
y ? f (u )

y ? f ?g ( x)?

即当且仅当 u ? g ( x) 和 y ? f (u ) 都是奇函数时,复合函数 y ? f ?g ( x)? 是奇函数.

课后作业:
1、若函数 f ( x ? 1) 定义域为 (3, 4] ,则函数 f ( x ) 的定义域为 2、已知函数 f ( x) ?

3x ? 1 定义域为 R,则实数 a 的取值范围是 ax 2 ? ax ? 3
3

3、已知 f ( x ? ) ? x ?
2

1 x

1 ,则 x2

f ( x ? 1) =

4、已知

f ( x ? 1) ? x2 ? 3x ? 4 ,则 f ( x) =
1 ? 2 的图像关于点 A(0,1)对称 x

5、已知函数 f ( x) 的图像与函数 h( x ) ? x ? (1)求函数 f ( x) 的解析式 (2)若 g ( x) ? f ( x) ?

a ,且 g ( x) 在区间 (0, 2] 上的值不小于 6,求实数 a 的取值范围 x

4

6、设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,且 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,当 x ? [0, 2] 时, f ( x) ? 2 x ? x 2 , 求 x ?[?2, 0] 时 f ( x) 的解析式

7、

f ( x) ? mx 2 ? mx ? 1 的定义域为 R,则求 m 的取值范围

8、已知函数 f ( x ) ?

1 1? x ? log 2 ,求函数的定义域,并讨论它的奇偶性单调性。 x 1? x

x 9、求函数 y ? ( )

1 3

2

?4 x

, x ? [0,5) 的值域。

10、求函数 y ? ( ) ? ( ) ? 1 在 x ?? ?3, 2? 上的值域。
x x

1 4

1 2

5


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