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2018-2019学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义:第四章圆与方程4.1.1


数学 4.1.1 学习目标 圆的标准方程 1.掌握圆的定义及标准方程.2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程,会用待定系 数法求圆的标准方程. 知识点一 圆的标准方程 思考 1 确定一个圆的基本要素是什么? 答案 圆心和半径. 思考 2 在平面直角坐标系中,如图所示,以(1,2)为圆心,以 2 为半径的圆能否用方程(x- 1)2+(y-2)2=4 来表示? 答案 能. 梳理 (1)把方程(x-a)2+(y-b)2=r2 称为圆心为 A(a,b),半径长为 r 的圆的方程,把它叫做 圆的标准方程. (2)以原点为圆心,r 为半径的圆的标准方程为 x2+y2=r2. 知识点二 点与圆的位置关系 思考 点 A(1,1),B(4,0),C( 2, 2)同圆 x2+y2=4 的关系如图所示,则|OA|,|OB|,|OC| 同圆的半径 r=2 是什么关系? 数学 答案 |OA|<2,|OB|>2,|OC|=2. 梳理 点 M(x0,y0)与圆 C:(x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系及判断方法 位置关系 点 M 在圆上 点 M 在圆外 点 M 在圆内 利用距离判断 |CM|=r |CM|>r |CM|<r 利用方程判断 (x0-a)2+(y0-b)2=r2 (x0-a)2+(y0-b)2>r2 (x0-a)2+(y0-b)2<r2 类型一 求圆的标准方程 命题角度1 直接法求圆的标准方程 例1 (1)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上,点 M(0, 5)在圆 C 上,且圆心到直线 2x-y 4 5 =0 的距离为 ,则圆 C 的方程为________. 5 (2)与 y 轴相切,且圆心坐标为(-5,-3)的圆的标准方程为________. 答案 (1)(x-2)2+y2=9 (2)(x+5)2+(y+3)2=25 解析 (1)设圆心 C 的坐标为(a,0)(a>0), |2a| 4 5 由题意知 = ,解得 a=2, 5 5 则圆 C 的半径为 r=|CM|= 22+? 5?2=3. ∴圆的标准方程为(x-2)2+y2=9. (2)∵圆心坐标为(-5,-3), 又与 y 轴相切, ∴该圆的半径为 5, ∴该圆的标准方程为(x+5)2+(y+3)2=25. 反思与感悟 (1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径,因此用直接法求圆的标准方程 数学 时,要首先求出圆心坐标和半径,然后直接写出圆的标准方程. (2)确定圆心和半径时,常用到中点坐标公式、两点间距离公式,有时还用到平面几何知识, 如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等. 跟踪训练 1 以两点 A(-3,-1)和 B(5,5)为直径端点的圆的方程是( A.(x+1)2+(y+2)2=10 B.(x-1)2+(y-2)2=100 C.(x+1)2+(y+2)2=25 D.(x-1)2+(y-2)2=25 答案 D 解析 ∵AB 为直径, ∴AB 的中点(1,2)为圆心, 1 1 |AB|= 2 2 ?5+3?2+?5+1?2=5 为半径, ) ∴该圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=25. 命题角度2 待定系数法求圆的标准方程 例 2 求经过点 P(1,1)和坐标原点,并且圆心在直线 2x+3y+1=0 上的圆的方程. 解 方法一 (待定系数法) 设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, a +b =r , ? ? 则有??1-a? +?1-b? =r , ? ?2a+3b+1=0, 2 2 2 2 2 2 a=4, ?

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