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平面向量数量积的坐标表示、模、夹角导学案


2011—2012 学年高一数学必修四导学案

使用时间:





班级:

小组:

姓名:

制作人:

审核人:

领导:

2.4.2

平面向量数

量积的坐标表示、模、夹角

学习 同学们回忆上述所学问题并作出回答. 建议

学习目标 >> 1.掌握平面向量数量积的坐标表示和运算,掌握 平面内两点间的距离公式,会根据向量的坐标计算它的数量积, 二 能够由数量积的坐标形式求两个向量的夹角 . 会运用向量垂直 的坐标表示的条件解决有关问题,提高运算求解能力. 2.独立 思考,合作学习,通过平面向量数量积的数与形两种表示的相 互转化,进一步体会数形结合思想,增强用两种方法——向量 法与坐标法处理向量问题的意识 . 探究向量数量积坐标运算应 用的规律和方法. 善于发现和提出问题.享受学习数学的快乐. 重点:向量数量积坐标运算和向量的夹角公式 难点:平面向量数量积的两种形式的内在联系及灵活运用坐标 运算与度量公式解决有关问题
预习案
使用说明&学法指导 1.用 15 分钟左右的时间,阅读探究课本中的基础知识,自主高 效预习,提升自己的阅读理解能力; 2.完成教材助读设置的问题,然后结合课本的基 础知识和例题, 完成预习自测题; 3.将预习中不能解决的问题标出来, 并写到后面 “我 的疑惑”处.

教材助读

1.向量数量积的坐标运算时如何推导出的? 2.如何用向量的坐标表示两个向量垂直的条件? 3.如何用向量的坐标表示向量的长度? 4.如何用向量的坐标表示两点间的距离公式? 5.如何用向量的坐标表示两个向量的夹角? 预习自测 ) C. ) C. B.7 D. -7
63 65

3.主动参与, 高效学习, 培养自主探究能力, 三 A.23 -23 A. - 33
65

? ? ? ? 1.若 a =(3,4) ,b =(5,2) ,则 a · b =(

? ? ? ? 2.若 a =(3,4) ,b =(5,12) ,则 a 与b 夹角的余弦值为(

B.

33 65
65

D. - 63

一 关知识



? ? ? ? ? 3. 已知平面向量 a =(1,-3) ,b =(4,-2) ,若 λ a +b 与a 垂直,

λ=

.
请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来,待课堂上与老师和同学探究解决.

1.平面向量的数量积(内积)是如何定义的? 2.平面向量的数量积有什么几何意义? 3.两个向量的数量积有哪些性质? 4.平面向量数量积的运算律为何?
1

归纳总结:

探究案



学始于疑——我思考、我收获

? ? ? ? 1.如何用 a 和b 的坐标表示两个向量的数量积 a · b? ? ? 2.如何用 a 和b 的坐标表示两个向量的夹角?

学习 请 请同学们认真思考这些问题,并结合预习中自己的疑惑开始下面的探究学习. 建议



质疑探究——质疑解惑、合作探究

(二)知识综合应用探究 探究点一 向量垂直的应用(重难点) ? ? ? ? 【例 1】 已知 a =(1,0) ,b =(2,1) ,当 k 为何值时,向量 k a -b
? ? 与a +3 b , (1)平行; (2)垂直.

(一)基础知识探究 探究点 平面向量坐标表示的应用 请同学们探究下面的问题,并在题目的横线上填出正确答案 或对设置的问题做出正确的回答.
? ? 问题 1:向量数量积的坐标表示:已知两个向量 a =(x1,y1) ,b = ? ? (x2,y2) ,则 a · b=

思考 1:两个向量平行的条件是什么? 思考 2:两个向量垂直的条件是什么?
学习 请 自主探究后谈一谈你对此题的理解和做法. 建议

. . . 规律方法总结:

? 问题 2:用向量的坐标表示两个向量垂直的条件:设 a =(x1,y1) , ? b ? ? =(x2,y2) ,则 a ⊥b ?

? ? 问题 3:向量的长度:设 a =(x1,y1) ,则| a |=

问题 4 :两点间的距离公式:设 A ( x1,y1 ) , B ( x2,y2 ) ,则
??? ? AB

= .

? ,| ??? AB |=

.

? ? ? ? 问题 5:两向量的夹角:设 a =(x1,y1) ,b =(x2,y2) ,则 cos〈 a ,b 〉

=

2

2011—2012 学年高一数学必修四导学案

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拓展提升: 已知四边形 ABCD 中, A (2,1) , B (3,2) , D (-1,4) , ??? ? ???? (1)求证 AB ⊥ AD ; (2)若四边形 ABCD 是矩形,试确定 C 的 拓展提升:已知△ABC 的顶点分别为 A(2,1) ,B(3,2) ,C 坐标. ??? ? ???? (-3,-1) ,BC 边上的高 AD, (1)求 D 点的坐标; (2)试判定 思考:要证明 AB ⊥ AD ,需要证明什么? △ABC 的形状. 思考 1:由 BC 边上的高为 AD,得到什么结论? 思考 2:如何判定△ABC 的形状?

探究点二 向量的模及夹角(重难点) ? ? ? ? ? ? ? ? 【例 2】 设 a =(3,-1) ,b =(1,-2) ,求 a · |a |,| b |和〈 a , b 〉. b, ? ? ? ? 思考:已知向量 a 与b 的坐标,如何求 a 与b 的模及夹角?
学习 请 合作探究后谈一谈你对此题的理解和做法. 建议

三 图:

我的知识网络图——归纳梳理、整合内化

请同学们对本课时所学的知识归纳总结后,填写下面的知识网络

向量数量积的坐标运算

向量数量积的坐标表 示、模、夹角

四 规律方法总结:

当堂检测——有效训练、反馈矫正 ) A. 零角 C. 平角 B. 钝角 D. 直角
3

? ? 1. 向量 a =(2,4) ,b =(-1,2)的夹角为(

? ? ? ? 2. 已知向量 a = (4,3) ,向量 b 时垂直于 a 的单位向量,则 b 等于 ( ) A. (3,4 ) 或 (4 ,3) B. ( 3 ,- 4 ) 或 (- 3 , 4 )
5 5

5

5

5

5

5

5

C. (3,4 ) 或 (- 3 ,- 4 )
5 5 5 5

D. ( 3 ,- 4 ) 或 (- 4 , 3 )
5 5 5 5

? ? ? 3. (2011,北京理)已知向量 a =( 3 ,1) ,b =(0,-1) ,c =(k,

3

? ? ? ),若 a -2 b 与c 共线,则 k=

.

.

[我的收获] (反思静悟、体验成功)

训练案
? ? ? ? 1. 已知 a =(0,1) , b =(2,-1) ,则 a · b =( A. 1 B. -1

) C. 2 ) C. 钝角三角形 ) C. 平行且同向 D. 平行且反向 D. 等边三角形 D. -2

2. 已知 A(1,2) ,B(2,3) ,C(-2,5) ,则△ABC 形状是( A. 直角三角形 B. 锐角三角形 ? ? ? ? 3. 已知向量 a =(-5,6) , b =(6,5) ,则 a 与 b ( A. 垂直 B. 不垂直也不平行

4. 求证:A(1,0) ,B(5,-2) ,C(8,4)为顶点的四边形是一个矩形.

? ? 5.已知 a =(4,2)求与 a 垂直的单位向量的坐标.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6.已知 a 为非零向量,且 b ≠ c ,求证: a · b =a · c ? a ⊥( b - c )
4


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