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湖北省武汉市第二中学2016-2017学年高二上学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案


武汉二中 2016-2017 学年度上学期期末考试

高二数学(文科)试卷
命题学校: 武汉二中
试卷满分: 150 分

命题人:

一.选择题(每题 5 分,共 60 分) 1.已知 i 是虚数单位,则复数 A ?1 ? i B1 ? i
2i 等于( 1? i

) D1 ? i )

C ?2 ? 2i

2 2.若命题 p: ?x0 ??- 3,3?, x0 ? 2x0 ?1 ? 0 ,则对命题 p 的否定是(

2 A ?x0 ??- 3,3?, x0 ? 2x0 ?1 ? 0

2 B ?x0 ?? -?,-3?U ?3, ??? , x0 ? 2x0 ?1 ? 0
2 D. ?x0 ??- 3,3?, x0 ? 2x0 ?1 ? 0

2 C. ?x0 ? ? -?,-3?U ?3, ??? , x0 ? 2x0 ?1 ? 0

3. “ a ? 0 且 ?1 ? b ? 0 ”是“ a ? ab ? 0 ”的( A 充要条件 C 充分不必要条件

)

B 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件 ) D.-4

4.已知抛物线 y 2 ? 2 px 的准线方程是 x ? ?2 ,则 p 的值为( A.2 5.观察式子: 1 ? 子为( A. 1 ? ) B.4 C.-2

1 3 1 1 5 1 1 1 7 ? ,1 ? 2 ? 2 ? ,1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ,?,则可归纳出式 2 2 2 2 3 3 2 3 4 4

1 1 1 2n ? 1 ? 2 ??? 2 ? ? n ? 2? 2 2 3 n n 1 1 1 2n ? 1 ? 2 ??? 2 ? ? n ? 2? 2 2 3 n n
1 1 1 n2 ? 1 ? ? ? ? ? ? n ? 2? 22 32 n2 n 1 1 1 2n ? 1 ? ? ? ? ? ? n ? 2? 22 32 n2 n

B. 1 ?

C. 1 ?

D. 1 ?

6.已知命题 p : ?x ? R, ln x ? x ? 2 ? 0 ,命题 q : ?x ? R,2 x ? x 2 ,则下列命题中

为真命题的是( A. p ? q

) B. ? p ? q C. p ? ?q D. ?p ? ?q

7. 已知直线 l 过点(-2, 0), 当直线 l 与圆 x2 ? y 2 ? 2x 有两个交点时, 其斜率 k 的 取值 范围是( ) B. (? 2, 2) C. (?
2 2 , ) 4 4

A. (?2 2,2 2) 8.已知双曲线

D. (? , )

1 1 8 8

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左顶点与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点的距 a 2 b2

离为 4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1) ,则 双曲线的焦距为( A. 2 3 ) B. 2 5 C. 4 3 D. 4 5

9.为了了解某校高三 400 名学生的数学学业水平测试成绩,制成样本频率分布 直方图如图,规定不低于 60 分为及格,不低于 80 分为优秀,则及格率与优秀人 数分别是( )

A.60%,60

B.60%,80

C.80%,80

D.80%,60

10.某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品,产品的数量之比依次为 3∶4∶7, 现在用分层抽样的方法抽出容量为 n 的样本,样本中 A 型号产品有 15 件,那么 样本容量 n 为( A.50 ) B.60 C.70 D.80

11.有 3 个活动小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各 个小组的可能性相同,则这两位同学在同一个兴趣小组的概率为( A. )

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4

12.如图,过抛物线 y2 ? 2 px ? p ? 0? 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A, B ,交其 准线于点 C ,若 BC ? 2 BF ,且 AF ? 3 ,则此抛物线的方程为( )

A. y 2 ?

3 x 2

B. y 2 ? 3x

C. y 2 ?

9 x 2

D. y 2 ? 9 x

二.填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.某单位有 200 名职工,现要从中抽取 40 名职工作样本.用系统抽样法,将全 体职工随机按 1~200 编号,并按编号顺序平均分为 40 组(1~5 号、6~10 号,?,196~200 号).若第 5 组抽出的号码为 22,则第 8 组抽出的号码应 是________.

14. 在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C. 现作一矩形, 邻边长分别等于线段 AC,CB 的长,则该矩形面积大于 20cm2 的概率为 15.已知双曲线 .

5 x2 y 2 x ,则该双 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一条渐近线方程是 y ? 2 a b 2

曲线的离心率等于_____________________ 16.已知椭圆
x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F1 且与 x 轴垂 a 2 b2

直的直线交椭圆于 A、B 两点,直线 AF2 与椭圆的另一个交点为 C ,若

S?ABC ? 3S? BC2F,则椭圆的离心率为_____________
三.解答题(共 70 分)

17(10 分).在长丰中学举行的电脑知识竞赛中,将九年级两个班参赛的学生成 绩 (得分均为整数) 进行整理后分成五组, 绘制如图所示的频率分布直方图. 已

知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是 0.30,0.15, 0.10,0.05,第二小组的频数是 40.

(1)求第二小组的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)求这两个班参赛的学生人数,并回答这两个班参赛学生的成绩的中位数应 落在第几小组内.

1 18(12 分).设命题 p:函数 f(x)=lg(ax2-x+ a)的定义域为 R;命题 q:不 4 等式 3x-9x<a 对一切正实数 x 均成立.如果命题“p∨q”为真命题,“p ∧q”为假命题,求实数 a 的取值范围. 19(12 分) .设 x2 ? 2ax ? b2 ? 0 是关于 x 的一元二次方程. (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取一个数, b 是从 0,1,2 三个数中任取一个 数,求方程有实根的概率; (2)若 a 是从区间 ?0,3? 上任取一个数, b 是从区间 ?0, 2? 上任取一个数,求方程 有实根的概率.

20(12 分) .如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,且侧棱 PC ⊥底面 ABCD,且 PC=2,E 是侧棱 PC 上的动点
P

E

D

C

A

B

(1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2)证明:BD⊥AE。 (3)求二面角 P-BD-C 的正切值。

21(12 分) .已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴上,且抛物线上 有一点 P ? 4, m? 到焦点的距离为 6. (1)求抛物线 C 的方程; (2)若抛物线 C 与直线 y ? kx ? 2 相交于不同的两点 A 、 B ,且 AB 中点横坐 标为 2,求 k 的值. 22(12 分)已知椭圆 C :
y 2 x2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心, 2 a b 2

椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切. A、B 是椭圆 C 的右顶 点与上顶点,直线 y ? kx(k ? 0) 与椭圆相交于 E、F 两点.
y B

F

O E

A

x

(1)求椭圆 C 的方程; (2)当四边形 AEBF 面积取最大值时,求 k 的值.

武汉二中 2016-2017 学年度上学期期末考试 高二数学(文)试卷参考答案
一、选择题 1 A 2 A 3 C 4 B 5 A 6 C 7 C 8 B 9 C 10 C 11 A 12 B

二、填空题

13. 37 三、解答题:

2 14. 3

3 15. 2

16.

5 5

17.解析 (1)∵各小组的频率之和为 1.00 ,第一、三、四、五小组的频率分别 是 0.30 , 0.15 , 0.10 , 0.05 ∴第二小组的频率为: 1.00 ? (0.30 ? 0.15 ? 0.10 ? 0.05) ? 0.40 ∴落在 59.5 ? 69.5 的第二小组的小长方形的高 ? 率分布直方图如图所示
频率 0.40 ? ? 0.04 ,则补全的频 10 组距

(2)设九年级两个班参赛的学生人数为 x 人 ∵第二小组的频数为 40 人,频率为 0.40 ∴
40 ? 0.40 ,解得 x ? 100 x

所以这两个班参赛的学生人数为 100 人
? 1 0?0 因为 0.3 0.05 ?100 ? 5 3 0 0.4 ?100 ? 40 , 0.15 ?100 ? 15 , 0.10 ?100 ? 10 , ,

即第一、第二、第三、第四、第五小组的频数分别为 30 , 40 , 15 , 10 , 5

所以九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内 18.解析 1 若命题 p 为真,即 ax2-x+ a>0 恒成立, 4 ?a>0 有? 2 ?1-a <0 ,∴a>1.

?a>0 则? ?Δ <0,

1 1 令 y=3x-9x=-(3x- )2+ ,由 x>0 得 3x>1, 2 4 ∴y=3x-9x 的值域为(-∞,0). ∴若命题 q 为真,则 a≥0. 由命题“p∨q”为真, “p∧q”为假,得命题 p、q 一真一假. 当 p 真 q 假时,a 不存在;当 p 假 q 真时,0≤a≤1. 19.解析 方程有实根的充要条件为: ? ? (2a)2 ? 4b2 ? 0 ,即 a 2 ? b 2 . (1)基本事件有 12 个,其中 (0, 0) , (1, 0) , (1,1) , (2, 0) , (2,1) , (2, 2) , (3, 0) ,
(3,1) , (3, 2) 满足条件,则 P ?

9 3 ? . 12 4

(2)试验的全部结果构成的区域为 ?(a, b) | 0 ? a ? 3,0 ? b ? 2? , 满足题意的区域为: ?(a, b) | 0 ? a ? 3,0 ? b ? 2, a ? b? ,

1 3 ? 2 ? ? 22 2 2 所以,所求概率为 P ? ? . 3? 2 3
20.解析(1)该四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, 侧棱 PC⊥底面 ABCD,且 PC=2. ∴ VP ? ABCD ?

1 2 S? ABCD ? PC ? 3 3

(2)连结 AC,∵ABCD 是正方形 ∴BD⊥AC ∵PC⊥底面 ABCD 且 BD ? 平面 ABCD ∴BD⊥PC 又∵ AC ? PC ? C ∴BD⊥平面 PAC ∵不论点 E 在何位置,都有 AE ? 平面 PAC ∴BD⊥AE

(3)设 AC , BD 相交于 O ,连 PO ,由四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,PC⊥ 底面 ABCD 知, ?POC 是二面角 P-BD-C 的的一个平面角,

tan ?POC ?

PC ? 2 2 ,即二面角 P-BD-C 的正切值为 2 2 OC p , 2

21.解析(1)设抛物线 C 的方程为 y 2 ? 2 px ,其准线方程为 x ? ?

? P ? 4, m? 到焦点的距离为 6,∴ 4 ?
即抛物线 C 的方程为 y 2 ? 8x . (2)设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,

p ? 6 ,∴ p ? 4 . 2

? y ? kx ? 2, 由? 2 消去 y ,得 k 2 x2 ? ? 4k ? 8? x ? 4 ? 0 , y ? 8 x ?
由条件 k ? 0 ,且 ? ? 64 ? k ? 1? ? 0 ,∴ k ? ?1 且 k ? 0 , 又 x1 ? x2 ?
4k ? 8 2k ? 4 ? 2 ,解得 k ? 2 或 k ? ?1 (舍). ,∴ 2 k k2

c 3 22.解析(1)由题意知: e ? = a 2

c2 a 2 ? b2 3 ? ,∴ a 2 ? 4b2 . ∴e ? 2 ? 2 4 a a
2

2 2 2 2 又∵圆 x ? y ? b 与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切, ∴ b ? 1 ,∴ a ? 4 ,

故所求椭圆 C 的方程为 x ?
2

y2 ?1 4

(2)设 E( x1,kx1 ),F (x2,kx2 ) ,其中 x1 ? x2 ,

y2 ? 1整理得: (k 2 ? 4) x2 ? 4 , 将 y ? kx 代入椭圆的方程 x ? 4
2

故 x2 ? ? x1 ?

2 k ?4
2

.①

又点 E,F 到直线 AB 的距离分别为 h1 ?

2 x1 ? kx1 ? 2 5


?

2(2 ? k ? k 2 ? 4) 5(k 2 ? 4)



h2 ?

2 x2 ? kx2 ? 2 5

?

2(2 ? k ? k 2 ? 4) 5(k 2 ? 4)

AB ? 22 ? 1 ? 5
所以四边形 AEBF 的面积为

S?

1 2(2 ? k ) 1 4(2 ? k ) AB (h1 ? h2 ) ? ? 5 ? ? 2 2 2 k2 ? 4 5(k ? 4)

?2

4 4k 4 ? k 2 ? 4k ? 2 1? ? 2 1? 2 ≤2 2 , 2 4 k ?4 k ?4 k? k

当 k 2 ? 4(k ? 0) ,即当 k ? 2 时,上式取等号. 所以当四边形 AEBF 面积的最大值时, k =2.


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