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平面向量知识点总结与训练


高考总复习知识点:平面向量(文科)

高考总复习知识点:平面向量
一. 向量的基本概念与基本运算 1 向量的概念:
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? ? ? ①向量:既有大小又有方向的量 向量一般用 a, b , c ??来表示,或用有向线段的起点与终点
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? ? 的大写字母表示,如: AB 几何表示法 AB , a ;坐标表示法 a ? xi ? yj ? ( x, y)
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向量的大

? 小即向量的模(长度) ,记作| AB | 即向量的大小,记作| a |
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向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.

? ? ? ? ②零向量: 长度为 0 的向量, 记为 0 , 其方向是任意的,0 与任意向量平行 零向量 a = 0 ? |
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? a |=0 由于 0 的方向是任意的,且规定 0 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的
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问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件. (注意与 0 的区别) ③单位向量:模为 1 个单位长度的向量 ? ? 向量 a0 为单位向量 ? | a0 |=1
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④平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量 任意一组平行向量都可以移到同一直 ? ? 线上 方向相同或相反的向量,称为平行向量 记作 a ∥ b 由于向量可以进行任意的平移(即自
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由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必 须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线” 、的含义,要理解好平行向量中的“平 行”与几何中的“平行”是不一样的. ? ? ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总可以重合,记为 a ? b 大小
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相等,方向相同
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? x1 ? x 2 ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y 2 ) ? ? ? y1 ? y 2
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2 向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 ? 设 AB ? a, BC ? b ,则 a + b = AB ? BC = AC
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? ? ? ? ? (1 ) 0 ? a ? a ? 0 ? a ;
(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则” : (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的 始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接” ,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终 点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法 则.向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加:
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AB ? BC ? CD ?
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. ? PQ ? QR ? AR ,但这时必须“首尾相连”

3 向量的减法 ? ? ① 相反向量:与 a 长度相等、方向相反的向量,叫做 a 的相反向量 ? 记作 ? a ,零向量的相反向量仍是零向量 ? ? ? ? ? ? ? 关于相反向量有: (i) ? (?a ) = a ; (ii) a +( ? a )=( ? a )+ a = 0 ;
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? ? ? ? ? ? ? ? ? (iii)若 a 、 b 是互为相反向量,则 a = ? b , b = ? a , a + b = 0

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? ? ? ? ②向量减法:向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差,

? ? ? ? 记作: a ? b ? a ? (?b ) 求两个向量差的运算,叫做向量的减法
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? ? ? ? ? ? ③作图法: a ? b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量( a 、 b 有共同起点)
4 实数与向量的积: ? ? ①实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作λ a ,它的长度与方向规定如下:
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(Ⅰ) ?a ? ? ? a ;
? ? ? ? (Ⅱ)当 ? ? 0 时,λ a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时,λ a 的方向与 a 的方向相反; ? ? 当 ? ? 0 时, ?a ? 0 ,方向是任意的
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?

?

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②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5 两个向量共线定理: ? ? ? ? 向量 b 与非零向量 a 共线 ? 有且只有一个实数 ? ,使得 b = ?a
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6 平面向量的基本定理: ? ? ? 如果 e1 , e2 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量 a ,有且只有
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? ? ? ? ? 一对实数 ?1 , ? 2 使: a ? ?1e1 ? ?2 e2 ,其中不共线的向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有向量的
一组基底
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7 特别注意: (1)向量的加法与减法是互逆运算 (2)相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件 (3)向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线(即重合) ,而向量平行则包括共线 (重合)的情况 (4)向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置 有关 二. 平面向量的坐标表示
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1 平面向量的坐标表示:在直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i , j
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作为基底 由平面向量的基本定理知,该平面内的任一向量 a 可表示成 a ? xi ? yj ,由于 a 与
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数对(x,y)是一一对应的,因此把(x,y)叫做向量 a 的坐标,记作 a =(x,y),其中 x 叫作 a 在 x 轴上
2

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的坐标,y 叫做在 y 轴上的坐标 (1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、 终点的具体位置无关, 只与其相对位置 有关 2 平面向量的坐标运算:
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(1) 若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? (2) 若 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ? ,则 AB ? ? x2 ? x1 , y2 ? y1 ? (3) 若 a =(x,y),则 ? a =( ? x, ? y) (4) 若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 (5) 若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1 ? x2 ? y1 ? y2
若 a ? b ,则 x1 ? x2 ? y1 ? y 2 ? 0

3 向量的运算向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量(内积)及其各运算的坐标表 示和性质 运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质 向量的加法 1 平行四边形法则 ? ? ? ? a ? b ? (x1 ? x2 , y1 ? y2 ) a ? b ? b ? a 2 三角形法则 ? ? ? ? ? ? (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c )
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AB ? BC ? AC
向量的减法 三角形法则

a ? b ? (x1 ? x2 , y1 ? y2 )

? ? ? ? a ? b ? a ? (?b )
AB ? ? BA

OB ? OA ? AB
向量的乘法

? a 是一个向量, 满足: ? ? ? >0 时, ? a 与 a 同向; ? ? ? <0 时, ? a 与 a 异向; ? ? ? =0 时, ? a = 0
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?

?a ? (?x, ?y)

? (?a ) ? (?? )a

?

?

? ? ? (? ? ? )a ? ?a ? ?a

? (a ? b ) ? ?a ? ?b
? ? ? ? a ∥ b ? a ? ?b

?

?

?

?

向量的数量积

? ? a ? b 是一个数

a ? b ? x1x2 ? y1 y2

? ? ? ? a ?b ? b ?a
? ? ? ? ? ? (?a) ? b ? a ? (?b ) ? ?(a ? b )

? ? ? ? a ? 0 或 b ? 0 时, ? ? a ? b =0
3

? ? ? ? ? ? ? (a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c

高考总复习知识点:平面向量(文科)

? ? ? ? a ? 0 且 b ? 0 时,

? ? ? a 2 ?| a | 2 , | a |? x 2 ? y 2

? ? ? ? ?? a ? b ?| a || b | cos ? a, b ?

? ? ? ? | a ? b |?| a || b |

三.平面向量的数量积 1 两个向量的数量积:
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已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 ? ,则 a ·b =︱ a ︱· ︱ b ︱cos ? 叫做 a 与 b 的数量积(或内积) 规定 0 ? a ? 0
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2 向量的投影:︱ b ︱cos ? =
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a ?b ∈R,称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对值称为射影 |a|
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3 数量积的几何意义: a ·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积
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4 向量的模与平方的关系: a ? a ? a 2 ?| a |2
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5 乘法公式成立:
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?a ? b ? ? ?a ? b ? ? a ? b ? a ? a ? b ? ? a ? 2a ? b ? b ? a
2 2 2 2 2
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2

?b ; ? 2a ? b ? b
2

2

2

6 平面向量数量积的运算律:
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①交换律成立: a ? b ? b ? a

? ? ? ? ③分配律成立: ? a ? b ? ? c ? a ? c ? b ? c ? c ? ? a ? b ? 特别注意: (1)结合律不成立: a ? ? b ? c ? ? ? a ? b ? ? c ;
(2)消去律不成立 a ? b ? a ? c 不能得到 b ? c ? (3) a ? b =0 不能得到 a = 0 或 b = 0 7 两个向量的数量积的坐标运算:
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②对实数的结合律成立: ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ? ? ? R ?

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已知两个向量 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ·b = x1 x2 ? y1 y2
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8 向量的夹角:已知两个非零向量 a 与 b ,作 OA = a , OB = b ,则∠AOB= ? ( 0 0 ? ? ? 1800 )
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叫做向量 a 与 b 的夹角

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cos ? = cos ? a , b ??

a ?b a?b

=

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1 ? x 2 ? y 2
2 2 2 2

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当且仅当两个非零向量 a 与 b 同方向时,θ =00,当且仅当 a 与 b 反方向时θ =1800,同时 0 与 其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题
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9 垂直:如果 a 与 b 的夹角为 900 则称 a 与 b 垂直,记作 a ⊥ b
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10 两个非零向量垂直的充要条件: ? ? ? ? a ⊥ b ? a · b =O ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0
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巩固练习
例1 给出下列命题: ① 若| a |=| b |,则 a = b ; ② 若 A,B,C,D 是不共线的四点,则 AB ? DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条 件; ③ 若 a = b , b = c ,则 a = c , ④ a = b 的充要条件是| a |=| b |且 a // b ; ⑤ 若 a // b , b // c ,则 a // c , 其中正确的序号是 例 2 设 A、B、C、D、O 是平面上的任意五点,试化简:
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① AB ? BC ? CD ,② DB ? AC ? BD

③ ?OA ? OC ? OB ? CO

例 3 设非零向量 a 、 b 不共线, c =k a + b , d = a +k b (k?R),若 c ∥ d ,试求 k

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例 4 已知向量 a ? (1, 2), b ? ( x,1), u ? a ? 2b , v ? 2a ? b ,且 u // v ,求实数 x 的值

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高考总复习知识点:平面向量(文科)

例 5 已知点 A(4,0), B(4,4),C(2,6) ,试用向量方法求直线 AC 和 OB( O 为坐标原点) 交点 P 的 坐标
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例 6 已知两单位向量 a 与 b 的夹角为 1200 ,若 c ? 2a ? b , d ? 3b ? a ,试求 c 与 d 的夹角

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例 7 已知 a ? ? 4,3? , b ? ? ?1, 2 ? , m ? a ? ?b , n ? 2a ? b ,按下列条件求实数 ? 的值 (1)
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m?n; (2) m // n ; (3) m ? n

例 8 已知 | a |? 4 , | b |? 2 ,且 a 与 b 夹角为 120°求
⑴ (a ? 2b) ? (a ? b) ; ⑵ | 2a ? b | ; ⑶ a 与 a ? b 的夹角。

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高考总复习知识点:平面向量(文科)

例 9 已知向量 a = (1,2) , b = (?3,2) 。
⑴求 | a ? b | 与 | a ? b | ;⑵ 当 k 为何值时,向量 k a ? b 与 a ? 3b 垂直? ⑶ 当 k 为何值时,向量 k a ? b 与 a ? 3b 平行?并确定此时它们是同向还是反向?

例 10 已知 OP = (2,1) , OA = (1,7) , OB = (5,1) ,设 M 是直线 OP 上一点, O 是坐标原点
⑴求使 MA ? MB 取最小值时的 OM ; ⑵对(1)中的点 M ,求 ?AMB 的余弦值。

例 11 在 ?ABC 中, O 为中线 AM 上的一个动点,若 AM ? 2
求: OA ? (OB ? OC) 的最小值。

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