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直线与平面垂直的判定全


2.3.1直线与平面垂直的判定
教学内容:
一、理解直线与平面垂直的定义; 二、探究、归纳直线与平面垂直的判定 定理及应用。

知识探究(一):直线与平面垂直的概念
回顾知识:

空间中一条直线与平面有哪几种位置关系?
(1)直线在平面内,

(2)直线与平面平行,

3)直线与平面相交 (垂直)

大漠孤烟直

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

α 内不过点B的直线⊥ AB所在直线 α 内任意一条直线 ⊥ AB所在直线
A

α 内过点B的直线⊥ AB所在直线

B

α

B1 C1

C

一、直线和平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平 面内的任意一条直线都垂直,我们就说这条直 线和这个平面垂直.其中直线叫做平面的垂线, 平面叫做直线的垂面.交点叫做垂足.

平面的垂线 A
直线的垂面

?

垂足

l ? ? ? l ? m, 任意 m ? ? .

直线和平面垂直的画法:
L

P

?

通常把直线画成和表示平面的平 行四边形的一边垂直。

深入理解“线面垂直定义”
判断下列语句是否正确:(若不正确请举反例)
1.如果一条直线与一个平面垂直,那么它与平面 内所有的直线都垂直. ( ) 2.如果一条直线与平面内无数条直线都垂直,那 么它与平面垂直. ( )
b a
α

探索新知: 利用定义,我们得到了判定线面垂直的最基 本方法,同时也得到了线面垂直的最基本的性质.

l ? ? ? l ? m, 任意 m ? ? .
但是,直接考察直线与平面内所有直线都 垂直是不可能的,这就有必要去寻找比定义法 更简捷、更可行的直线与平面垂直的方法!

探索新知:

顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将 翻折后的纸片竖起放置在桌面上( BD、DC与桌面接触) 1.折痕AD与桌面垂直吗? 2.如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直?
A
C

做一 请同学们拿出一块三角形纸片, 做 想一 我们一起做一个试验:过三角形的 想

A
D

B

D

C

?

B

探索新知: 2.如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直?
A
C

A
D

B

D

C

?

B

当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时,AD 所在直线与桌面所在平面 ?垂直.

探索新知: 由刚才分析可以知道,直线与平面垂直的 判定需要哪几个条件?

(1) 平面有两条直线 (2) 这两条直线要相交 (3) 平面外的直线要与这两条直线都垂直 你能根据刚才的分析归纳出直线与平面垂 直判定定理吗

二、 直线与平面垂直的判定定理: 一条直线与一个平面内的两条相交直线都 垂直,则该直线与此平面垂直。 一相交两垂直

? ? n ?? ? ? m n ? p? ? l ? ? ? l?m ? l?n ? ?

m ??

l

?

m

P

n

线线垂直

?线面垂直

判断下列命题是否正确? (1)过一点有且只有一条直线和一个平面垂直(√ ) (2)过一点有且只有一个平面和一条直线垂直(√ )

l

?P

l

?

?

?

P

例1.在下图的长方体中,请列举与平面ABCD 垂直的直线。并说明这些直线有怎样的位置 关系?
D′
C′

A′
D

B′

C

A

B

例2、在正方体AC1中,求证:
(1)AC⊥平面D1DB (2)D1B⊥平面ACB1
D1 A1 D C B1

(1)

ABCD是正方形,
C1

? AC ? BD,
D1D ? 平面AC,

? AC ? D1D,
D1D DB ? D,
A

B

? AC ? 平面D1DB.

例2、在正方体AC1中,求证:
(2)D1B⊥平面ACB1
由异成直线所成的角知

D1 B与AC所 成 角 为 90
D1 B ? AB1 D1 B ? AC AC ? AB1 ? A
D1B⊥平面ACB1

? ?

D1 B与AB1所 成 角 为 90

D1
G

C1 B1 D C
H

A1

A

O

B

例题示范,巩固新知 例2.如图,已知a∥b、a⊥α. 求证:b⊥α.
a b

?

分析:在平面内作两条相交直线, 由直线与平面垂直的定义可知, 直线a与这两条相交直线是垂直的, 又由b平行a,可证b与这两条相交 直线也垂直,从而可证直线与平 面垂直。

a

b

例2.如图,已知a∥b、a⊥α. 求证:b⊥α.

n

证明: 在平面?内作两条相交直线m,n. 因为直线a ? ? ,根据直线与平面垂直的定义知 a ? m, a ? n . (线面垂直 线线垂直) 又因为 b//a 所以 b ? m, b ? n. 又因为m ? ? ,n ? ? , m, n是两条相交直线, 线面垂直) 所以 b ? ? (线线垂直

?

m

我们知道,当直线和平面垂直时,该直线叫做平面 的垂线。如果直线和平面不垂直,是不是也该给它 取个名字呢?此时又该如何刻画直线和平面的这种 关系呢?

一.斜线在平面内的射影

p

1.垂线、斜线、射影

(1)垂线 过一点向平面引垂线,垂足叫做这 点在这个平面上的射影; 这点与垂足间的线段叫做这点到这 个平面的垂线段。 点P在平面? 内的射影 如图,点Q是__________ 线段PQ ____是点 P到平面 ? 的垂线段

?

Q

(2)斜线 一条直线和一个平面相交,但不和 这个平面垂直,这条直线叫做这个平面 的斜线.
P

斜线和平面的交点 叫做斜足。 从平面外一点向平 面引斜线,这点与斜 足间的线段叫做这点 到这个平面的斜线段

?

R

(3)射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引 垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在 这个平面上的射影. 垂足与斜足间的线段叫做这点到平 面的斜线段在这个平面上的射影.
A
直线BC 如图:____是斜线 AC 在 ? 内的射影,线段BC是 斜线段AC在? 内的射影 ___________

?

B

C

思考:斜线上的一个点在平面上的射 影会在哪呢? 说明:②斜线上 任意一点在平面 上的射影,一定 在斜线的射影上。 ?
A B

E
C

F

思考: ①从平面外一点向这个平面引的垂线段 和斜线段,它们的射影和线段本身之间 有什么关系? ②从平面外一点向这个平面所引的垂线 段和斜线段AB、AC、AD、AE…中,那 一条最短?
A
B

垂线段比任何 一条斜线段都短

?E

C D

巩固练习:
2、过ΔABC所在平面α外一点P,作PO ⊥α,垂足 为O,连接PA,PB,PC.

外 . 1).若PA = PB = PC,则O是ΔABC的_____心

中点. 2).若PA = PB = PC,∠C = 900 ,则O是AB边的__
*3).若PA ⊥ PB,PB ⊥ PC,PC ⊥ PA,则O是ΔABC

垂 的_____心 .

2.过?ABC 所在平面?外一点P, 作PO ? ? , 垂足 为O, 连接PA, PB, PC.
中 1).若PA ? PB ? PC , ?C ? 90 , 则O是AB边的 __ 点.
0

2).若PA ? PB ? PC , 则O是?ABC 的 _____ 心. 3).若PA ? PB, PB ? PC , PC ? PA, 则O是?ABC
垂 心. 的 _____



重心:三条中线的交点 垂心:三条高的交点 外心:三条垂直平分线的交点(到△三个顶点的距离相等) B 内心:三角平分线的交点 A 中心:正△的重心、垂心、内心、外心重合的点




已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC 试判断点P在底面ABC的射影的位置?
P

OA=OB=OC
O为三角形ABC的外心

B

A O C

已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC 两两垂直,试判断点P在底面ABC的射影 的位置?
P
? PA ? BC ? ? BC ? 平面PAD ? PO ? BC ? PA ? PO ? P ?

B

A D O C

O为三角形ABC的垂心

已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面三角形 ABC的三条边的距离相等,试判断点P在 底面ABC的射影的位置?
P

O为三角形ABC的内心
O
E C F A

B

典型:四面体P-ABC的顶点P在平面上的射影为O

(1)P到三顶点距离相等 O是 ABC的 外 心 (2)侧棱两两垂直 O是 ABC的 垂 心

(3)P到三边AB、BC、AC距离相等
O是 ABC的 内心

比比谁最棒!!!

如图,直四棱柱 A?B?C?D? ? ABCD (侧棱与底面垂直 的棱柱成为直棱柱)中,底面四边形 ABCD 满足什么 条件时,A?C ? B?D? ?(只能添加一个合适的条件)
A?
D?

解:底面ABCD可以是菱形, 正方形, 或者是对角线相互 垂直的任意四边形.

B?

C?

A
D

B

C

例题示范,巩固新知

例1、如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,求
(1)直线A1B和平面 BCC1B1所成的角。

(2)直线A1B和平面A1B1CD所成的角。
分析:找出直线A1B在平面 BCC1B1和平面A1B1CD内的射 影,就可以求出A1B和平面 BCC1B1和平面A1B1CD所成的 角。
D1 A1 C1 B1

O
D C B

阅读教科书P67上的解答过程

A

PA ? BC, PB ? AC 例:四面体P-ABC中,

求证:PC ? AB

O是垂心
对棱两两垂直 O是 ABC的 垂 心

若三棱锥有两组对边互相垂直,则 另一组对边必然垂直

例3、三棱锥V-ABC中,VA=VC,AB=BC,K是AC的中点。
(1)求证:AC ⊥平面VKB (2)求证:VB ⊥AC (1)连接VK,KB,由VA=VC,K为AC中 点,由三线合一可知VK ⊥AC, 同理可得KB ⊥AC,且VK∩KB=K
A K V

C

所以AC ⊥平面VKB

(判定定理)
B

(2)由(1)可知,AC ⊥平面VKB 又因为VB ? 平面VKB 所以VB ⊥ AC (定义)

例3、三棱锥V-ABC中,VA=VC,AB=BC,K是AC的中点。
(1)求证:AC ⊥平面VKB (2)求证:VB ⊥AC

1、在例3中若E、F分别为AB、BC 的中 变式: 2、在1的条件下,有人说“VB⊥AC, VB⊥EF, ?VB⊥平面ABC”,对吗?
V
K

点,试判断EF与平面VKB的位置关系.

A E

C F
B

例4 :已知矩形ABCD, 过A作PA ? 面ABCD, 再过A作AE ? PB于E , 过E作EF ? PC于F (1)求证 : BC ? 面PAB (2)求证 : AE ? 面PBC (3)求证 : AF ? PC
A


F

D
E B

C

3.直线与平面垂直的性质定理 如果两条直线同时垂直于一个平面,那么

这两条直线平行。

a

b

?

例 2 、 如 图 , 已 知 AC 、 AB 分 别 是 平 面 α 的 垂 线 和 斜 线,C、B分别是垂足和斜足,a ? ? ,a⊥BC。 求证:a⊥AB
线面垂直

?

线线垂直

A a

?
三垂线定理:在平面内的一条直线, 如果它和这个平面的一条斜线的 射影垂直,那么它就和这条斜线垂直.

C

B

变:如图,已知AC、AB分别是平面α的垂线和斜线,
C、B分别是垂足和斜足,a ? ? ?, a⊥。 AB
求证: a⊥BC
A a

?

C

B

三垂线定理的逆定理:如果平面内的一条直线与这个平面的一条 斜线垂直,那么这条直线就和这条斜线在这个平面内的射影垂直.

常用结论发散 练习 1.过一点只有一条直线和一个平面垂直. 结论 1.

结论 2. 练习 2.过一点只有一个平面和一条直线垂直.

结论 3. 练习 3.如果两直线垂直于同一个平面,那么这 两条直线平行.

结论1:过一点有且只有一个平 面和已知直线垂直。
结论2:如果两条平行直线中的 一条垂直于一个平面,那么另 一条直线也垂直于这个平面。

结论3:如果两条直线同垂直于 一个平面,那么这两条直线平行。

直线和平面垂直的判定
例 求证:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面, 那么另一条也垂直于这个平面。
a ?? , a // b 。 已知: b ?? 。 求证: 证明:方法1

? 的任意一条直线。 设是m 内
? ? a ?? ? ? ??a ? m ? m ??? ??b ? m ? ??b ?? ? a // b? ? m ??? ?

小试牛刀
练习: 1.判断下列命题是否正确: ( 1 )垂直于同一条直线的两个平面互相平行 ( . √) ( 2 )垂直于同一个平面的两条直线平行 ( . √) ( 3 )一条直线在平面内,另一条直线与这个平面 垂直,则这两条直线互相垂直 ( . √) b a

2.已知直线a , b和平面? , 且a ? b, a ? ?,则b与? b // ? , 或b ?___ ? . 的位置关系是 __________

?

线面垂直的性质定理:

垂直于同一平面的两直线互相平行.
图形语言:
a b

α
符号语言:

a ? ?,b ? ? ? a // b

a

b

例2.如图,已知a∥b、a⊥α. 求证:b⊥α.

n

证明: 在平面?内作两条相交直线m,n. 因为直线a ? ? ,根据直线与平面垂直的定义知 a ? m, a ? n . (线面垂直 线线垂直) 又因为 b//a 所以 b ? m, b ? n. 又因为m ? ? ,n ? ? , m, n是两条相交直线, 线面垂直) 所以 b ? ? (线线垂直

?

m

例题示范,巩固新知 例2、如图,已知a∥b,a⊥α 。 求证:b⊥α 。 分析:在平面内作两条相交直线, ? 由直线与平面垂直的定义可知, 直线a与这两条相交直线是垂直的, 又由b平行a,可证b与这两条相交 直线也垂直,从而可证直线与平 面垂直。

a

b

阅读P66页的证明过程.

五、过程设计

(三) 线面垂直性质定理的应用

1、判断下列命题的正误。 (1)平行于同一直线的两条直线互相平行(





(2)垂直于同一直线的两条直线互相平行(×) (3)平行于同一平面的两条直线互相平行(×) (4)垂直于同一平面的两条直线互相平行(

√)

综合练习:

例4.关于三角形的四心问题
设O为三棱锥P—ABC的顶点P在底面上的射影.

(1)若PA=PB=PC,则O是△ABC的 P

外心 .

B

?

A

O

C

综合练习: 例4.关于三角形的四心问题
(2)若PA=PB=PC,∠C=900,则O是AB的_____ 中 点.

P

B

?

A

O

C

综合练习:

例4.关于三角形的四心问题
(3)若三条側棱两两互相垂直,则O是△ABC 的 垂心 . P

?

A

E

O

C

F

B

综合练习:

例4.关于三角形的四心问题
(5)若三条側棱与底面成相等的角,则O是 外心 △ABC的_____.
P

B ? A E

O

F C

例1、已知直角△ABC所在平面外有一点P,且 PA=PB=PC,D是斜边AB的中点,

求证:PD⊥平面ABC.

P C D B

证明:PA=PB,D为AB中点 ∴ PD⊥AB,连接CD, ∵D为Rt△ABC斜边的中点 ∴ CD=AD, 又PA=PC,PD=PD ∴ △PAD≌△PCD 而PD⊥AB ∴ PD⊥CD, CD∩AB = D ∴PD⊥平面ABC

A

例2、如图 平面α、β相交于PQ, 线段OA、OB分别垂直平面α、β, 求证:PQ⊥AB Q 证明:∵OA⊥α PQ ∴ OA⊥PQ OB⊥β, PQ β ∴ OB⊥PQ 又OA∩OB=0 ∴PQ⊥平面OAB 而AB 平面OAB ∴ PQ⊥AB α A O

B

P

作业:如图S是?ABC所在平面外一点,SA ? SB SB ? SC,SC ? SA,H 是?ABC的垂心, 求证;SH ? 平面ABC
S

A

H B

C

作业:如图S是?ABC所在平面外一点,SA ? SB SB ? SC,SC ? SA,H 是?ABC的垂心, 求证;SH ? 平面ABC
SA ? SB
S

? ? SA ? SC ? ? SA ? 平面SBC SB SC ? S ? A ? H ? SA ? BC ? ? H 是?ABC的垂心 ? AH ? BC ? ? BC ? 面SHA B SA AH ? A? ?

C

? 同理AB ? SH ? ? SH ? 面ABC BC AB ? B ? ?

? BC ? SH ?

1.如图,已知点M是菱形ABCD所在平面外一点,且MA=MC 求证:AC⊥平面BDM

证明:连接BD,AC,设BD AC ? O,连接MO

四边形ABCD是菱形? ? AC BD ? O ? ? AC ? BD ? ?? ? O 是 AC 中点 ? ? MA ? MC ? ?AMC是等腰? ? ?
? MO ? AC AC ? BD
A

M

D
O B

C

? ? ? ? AC ? 面MBD BD MO ? O ? ?

2. 在空间四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,
求证:对角线AC ? BD。
A

证明

:取BD的中点 E , 连接AE , CE
Q AB ? AD ,? AE ? BD ,

,

D E B C

Q BC ? DC ,? CE ? BD,
CE ? E , 又 Q AE ?? ? BD ? 平面ACE , Q AC ? 平面 ACE ,? BD ? AC

3.如图,圆O所在一平面为 ? , AB是圆O 的直径,C 在圆周上, 且PA ? AC, PA ?AB, 求证:(1)PA ? BC (2)BC ? 平面PAC
解:(1) AB ? ? , AC ? ? , 且AB ? AC ? A PA ? AC , PA ? AB ? PA ? ? 又 BC ? ? ? PA ? BC
A

P

O
C

B

(2) Q C为圆 O上一点 ,AB 为直径 ? BC ? AC

?1?得BC ? PA, 又Q PA ? AC ? A 由 ? BC ? 面PAC

? 典例 平面内有一个三角形ABC,平面外有一点P,自

P向平面作斜线PA,PB,PC,且PA=PB=PC,若点 O是△ABC的外心,求证:PO⊥平面ABC.

? 【解】

如图所示,分别取AB,BC的中点D,E, 连接PD,PE,OD,OE. ? 因为PA=PB=PC, ? 所以PD⊥AB,PE⊥BC,
? 因为O是△ABC的外心, ? 所以OD⊥AB,OE⊥BC, ? 又因为PD∩DO=D,OE∩PE=E, ? 所以AB⊥平面PDO,BC⊥平面PEO, ? 于是有AB⊥PO,BC⊥PO,AB∩BC=B, ? 从而推得PO⊥平面ABC.

2.过?ABC 所在平面?外一点P, 作PO ? ? , 垂足 为O, 连接PA, PB, PC.
中 1).若PA ? PB ? PC , ?C ? 90 , 则O是AB边的 __ 点.
0

2).若PA ? PB ? PC , 则O是?ABC 的 _____ 心. 3).若PA ? PB, PB ? PC , PC ? PA, 则O是?ABC
垂 心. 的 _____



重心:三条中线的交点 垂心:三条高的交点 外心:三条垂直平分线的交点(到△三个顶点的距离相等) B 内心:三角平分线的交点 A 中心:正△的重心、垂心、内心、外心重合的点




巩固练习 2.过?ABC所在平面?外一点P, 作PO ? ? , 垂足

为O, 连接PA, PB, PC. 1).若PA ? PB ? PC, ?C ? 90 , 则O是AB边的 __ 点.
0

2).若PA ? PB ? PC, 则O是?ABC的 _____心. 3).若PA ? PB, PB ? PC, PC ? PA, 则O是?ABC 的 _____心.
A B V

C

直线与平面垂直的判定与性质
例 1 如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥ 底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC =60° ,PA=AB=BC,E 是 PC 的中点. 证明:(1)CD⊥AE; (2)PD⊥平面 ABE.

解题分析:
第(1)问通过 DC⊥平面 PAC 证明; 也可通过 AE⊥平面 PCD 得到 结论; 第(2)问利用线面垂直的判定定理证明直线 PD 与平面 ABE 内的两条相交直线垂直.

证明 (1)由四棱锥 P—ABCD 中, ∵PA⊥底面 ABCD,CD?平面 ABCD, ∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A, ∴CD⊥平面 PAC.
而 AE?平面 PAC,∴CD⊥AE.
(2)由 PA=AB=BC,∠ABC=60° , 可得 AC=PA.
∵E 是 PC 的中点,∴AE⊥PC. 由(1),知 AE⊥CD,且 PC∩CD=C, ∴AE⊥平面 PCD.
而 PD?平面 PCD,∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面 ABCD,∴PA⊥AB.

又∵AB⊥AD 且 PA∩AD=A, ∴AB⊥平面 PAD,而 PD?平面 PAD, ∴AB⊥PD.又∵AB∩AE=A, ∴PD⊥平面 ABE.

解题小结:
破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质, 注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用, 这是证明空间 垂直关系的基础.由于“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂 直”之间可以相互转化, 因此整个证明过程围绕着线面垂直这个 核心而展开,这是化解空间垂直关系难点的技巧所在.

例1 如图,在Rt△ABC中,已知∠C=90?, AC=BC=1,PA⊥面ABC,且PA= 2 , 求(1)PB与面ABC所成的角 (2)PB与面PAC所成的角.
P

A

B

C

巩固练习 1.平行四边形ABCD所在平面?外有一点P,且 PA=PB=PC=PD,求证:点P与平行四边形对角线交 P 点O的连线PO垂直于AB、AD.
A
O

D
C

B

例2:如图,在棱长为1的正方体中. (1)求B1D 与平面ABCD所成的角的正切; (2)求A1C1 与平面ABC1D1所成的角; (3)求BB1 与平面A1BC1所成的角的正切.
D1
A1 O D
2014-5-28

M B1 H

C1

C B

A

例5:⊿ABC的定点在平面α内,点A、C在平面 α的同侧,AB、BC与α所成角分别是300和 450.若AB=3,BC=4√2,AC=5,求AC 与平面α所成的角.
C

A A1

E C1

α
2014-5-28

B

例6:如图,P是正方形ABCD所在平面外一点, PA⊥平面ABCD,AE ⊥ PD,PA=3AB.求 直线AC与平面ABE所成角的正弦值.
P

E

A
B C

D

2014-5-28

【5】如图, AB为平面α的一条斜线, B为斜 足,AO⊥平面α, 垂足为O, 直线BC在平面α内,已 知∠ABC=60°,∠OBC=45°, 则斜线AB和平面α 45° 所成的角是_______. A 设OB=2,

则 BD ? 2, B O D BA ? 2 2. α C 在 Rt△BOA中, 2 2 cos ?ABO ? ? , ? ?ABO ? 45?. 2 2 2

引课
我们知道,当直线和平面垂直时,该直线叫做平面 的垂线。如果直线和平面不垂直,是不是也该给它 取个名字呢?此时又该如何刻画直线和平面的这种 关系呢?

如图,若一条直线PA和一个 平面α 相交,但不垂直,那 么这条直线就叫做这个平面 的斜线,斜线和平面的交点 A叫做斜足。

斜线 P A

?

斜足

例题示范,巩固新知

例1、如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,求
(1)直线A1B和平面 BCC1B1所成的角。

(2)直线A1B和平面A1B1CD所成的角。
分析:找出直线A1B在平面 BCC1B1和平面A1B1CD内的射 影,就可以求出A1B和平面 BCC1B1和平面A1B1CD所成的 角。
D1 A1 C1 B1

O
D C B

阅读教科书P67上的解答过程

A

练习:正方体ABCD-EFGH中
H E

F

HC 与平面 ABCD G 所成的角是? ∠HCD BG和EA与平面 ABCD所成的角 C 分别是?

D
A B

∠GBC与∠EAB

EC和EG与平面ABCD所成的角分别是? ∠ACE

巩固练习
2.如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)AB1在面BB1D1D中的射影

(2)AB1在面A1B1CD中的射影
(3)AB1在面CDD1C1中的射影
A1 D1 B1 C1

D A B

C

巩固练习
2.如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)AB1在面BB1D1D中的射影

线段B1O

(2)AB1在面A1B1CD中的射影
(3)AB1在面CDD1C1中的射影
A1 D1 B1 C1

D
O

C B

A

巩固练习
2.如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)AB1在面BB1D1D中的射影

(2)AB1在面A1B1CD中的射影
(3)AB1在面CDD1C1中的射影
A1
E

线段B1E
D1 B1 C1

D A B

C

巩固练习
2.如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)AB1在面BB1D1D中的射影

(2)AB1在面A1B1CD中的射影
(3)AB1在面CDD1C1中的射影
A1 D1

线段C1D
C1 B1

D A B

C

巩固练习
3.如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)A1C1与面ABCD所成的角 0o

(2) A1C1与面BB1D1D所成的角
(3) A1C1与面BB1C1C所成的角
D1 B1 C1

(4)A1C1与面ABC1D1所成的角
A1

D A B

C

巩固练习
3.如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)A1C1与面ABCD所成的角

(2) A1C1与面BB1D1D所成的角 90o
(3) A1C1与面BB1C1C所成的角
D1 B1 C1

(4)A1C1与面ABC1D1所成的角
A1

D A B

C

巩固练习
3.如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)A1C1与面ABCD所成的角

(2) A1C1与面BB1D1D所成的角
(3) A1C1与面BB1C1C所成的角 45o
D1 B1 C1

(4)A1C1与面ABC1D1所成的角

A1

D A B

C

巩固练习
3.如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)A1C1与面ABCD所成的角

(2) A1C1与面BB1D1D所成的角
(3) A1C1与面BB1C1C所成的角
D1 B1
E

C1

(4)A1C1与面ABC1D1所成的角
A1

30o

D A B

C

相交垂直(共面垂直)
线线垂直 异面垂直
1 1 1 1

1 1 1

1


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