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2017版高考数学一轮总复习第6章数列第三节等比数列及其前n项和模拟创新题文


【大高考】2017 版高考数学一轮总复习 第 6 章 数列 第三节 等比 数列及其前 n 项和模拟创新题 文 新人教 A 版
选择题 1.(2016·河北衡水中学模拟)若等比数列{an}满足 a1+a3=20,a2+a4=40,则公比 q= ( A.1 C.-2 解析 依题意得 q= 答案 B 2.(2015·河南省焦作市高三统考 ) 已知正项等比数列 {an} 满足 a3 · a2n - 3 = 4 (n > 1) ,则 log2a1+log2a3+log2a5+?+log2a2n-1=( A.n
2

) B.2 D.4

a1q+a3q a2+a4 = =2,故选 B. a1+a3 a1+a3

n

) B.(n+1) D.(n-1)
2

C.n(2n-1) 解析 ∵a3·a2n-3=4 ,
n

2

∴log2a1+log2a3+?+log2a2n-1=log2(a1a2?a2n-1) =log2(a1a2n-1a3a2n-3?)=log2(4 ) =n . 2 答案 A 3.(2014·马鞍山模拟)已知{an}是首项为 1 的等比数列,若 Sn 是{an}的前 n 项和,且 28S3 1 =S6,则数列{ }的前 4 项和为(
n

n

2

an

) B. D. 40 或4 27 15 8

A.

15 或4 8

40 C. 27 解析 设数列{an}的公比为 q. 当 q=1 时,由 a1=1,得 28S3=28×3=84. 当 S6=6,两者不相等,因此不合题意.

28(1-q ) 1-q 当 q≠1 时,由 28S3=S6 及首项为 1,得 = . 1-q 1-q 解得 q=3.所以数列{an}的通项公式为 an=3
n-1

3

6

.

1

1 1 1 1 40 所以数列{ }的前 4 项和为 1+ + + = . an 3 9 27 27 答案 C 4.(2016·烟台诊断)已知等比数列{an}中,a2=1,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是( A.(-∞,-1] C.[3,+∞) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1]∪[3,+∞) )

1 1 2 解析 因为 a2=1=a1q,所以 S3=a1+1+a1q = +q+1,当 q>0 时, +q≥2,当 q<0 时,

q

q

1

q

+q≤-2,所以 S3≥3 或 S3≤-1,故选 D.

答案 D 创新导向题 等比数列的性质应用 5.在等比数列{an}中,若 an>0,a7= A.2 2 C.8 解析 1 2 1 2 ,则 + 的最小值为( 2 a3 a11 B.4 D.16 )

a3 a11



2

≥2

2

a3·a11

=2

2

a2 7

=4.

答案 B 等比数列基本运算问题 6.各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a3=2,S4=5S2,则 S4=________.

a1(1-q3) a1(1-q2) 解析 显然 q≠1,由 a3=2,S4=5S2 得 a1q =2, =5× ,解得 q=2 1-q 1-q
2

1 ?1 ? 15 或 q=-2(舍去),a1= ,所以 a2=1,所以 S4=5S2=5×? +1?= . 2 ?2 ? 2 答案 15 2

专项提升测试 模拟精选题 一、选择题 7.(2016·安徽安庆第二次模拟)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三 百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数, 请公仔细算相还”其大意为:“有一个人走了 378 里路,第一天健步行走,第二起脚痛
2

每天走的路程为前一天的一半,走了 6 天后到达目的地”则该人最后一天走的路程为 ( ) B.12 里 D.3 里 1 记每天走的路程里数为 {an},易知 {an} 是公比 q= 等比数列, S6= 378,又 S6= 2 1?

A.24 里 C.6 里 解析

a1?1- 6? 2

? ?

?

1 1- 2 答案 C

1 =378.∴a1=192,∴a6=192× 5=6. 2

8.(2015·山西省三诊)在等比数列{an}中, 已知 a1=1, a4=8.设 S3n 为该数列的前 3n 项和,

Tn 为数列{a3 n}的前 n 项和.若 S3n=tTn,则实数 t 的值为(
A.7 C.12
3n

)

B.9 D.15
n

a4 1-2 1-8 3 3 3 解析 ∵q = =8,q=2,S3n= ,数列{an}仍为等比数列,公比为 q =8,Tn= , a1 1-2 1-8
∴ 1-8 1-8 =t ,t=7. -1 -7
n n

答案 A 二、填空题 2 9.(2016·江西八所重点中学一联)已知数列{an}中, a1=a(a≠1), {bn}是公比为 的等比数 3 列.记 bn= ________. 解析 ∵bn=

an-2 * * (n∈N ),若不等式 an>an+1 对一切 n∈N 恒成立,则实数 a 的取值范围是 an-1

an-2 bn-2 bn+1-2 bn-2 1 1 * (n∈N ),∴an= .由 an+1-an= - = - = an-1 bn-1 bn+1-1 bn-1 bn-1 bn+1-1
1 - bn 3

bn+1-bn = (1-bn+1)(1-bn) ?

<0, 2 ? 1 - b ? 3 n?(1-bn) ? ?

3 3 解得 bn> 或 0<bn<1.若 bn> , 2 2

n-1 3 ?2? * 则 b1? ? > 对一切 n∈N 恒成立,显然不可能; 2 ?3?

3

n-1 ?2? * 若 0<bn<1,则 0<b1? ? <1 对一切 n∈N 恒成立, ?3?
只需 0<b1<1 即可,即 0< 答案 (2,+∞) 三、解答题 10.(2015·湖南十二校联考)已知数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+1(n∈N ). (1)求证:数列{an+1}是等比数列,并写出数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 4b1-1·4b2-1·4b3-1·?·4bn-1=(an+1) ,求数列{bn}的前 n 项 和 Sn. (1)证明 ∵an+1=2an+1,∴an+1+1=2(an+1), 又 a1=1,∴a1+1=2≠0,an+1≠0, ∴
n
*

a1-2 <1,解得 a=a1>2. a1-1

an+1+1 =2, an+1

∴数列{an+1}是首项为 2,公比为 2 的等比数列. ∴an+1=2 ,可得 an=2 -1. (2)解 ∵4b1-1·4b2-1·4b3-1·?·4bn-1=(an+1) , ∴4b1+b2+b3+?+bn-n=2n , ∴2(b1+b2+b3+?+bn)-2n=n , 即 2(b1+b2+b3+?+bn)=n +2n, 1 2 ∴Sn=b1+b2+b3+?+bn= n +n. 2 11.(2016·河南八市重点高中第二次质量检测)数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 2Sn+an=
2 2 2

n

n

n

n2+2n+2,n∈N*,数列{bn}满足 bn=an-n.
(1)求数列{bn}的通项公式; (2)求数列{nbn}的前 n 项和 Tn. 解 (1)由 2Sn+an=n +2n+2,①
2

5 得 2S1+a1=5,∴a1= , 3 2Sn+1+an+1=(n+1) +2(n+1)+2,② ②-①得 3an+1-an=2n+3 ∵bn=an-n,∴an=bn+n,an+1=bn+1+n+1,
2

4

2 ∴3bn+1=bn,b1=a1-1= . 3 2 1 ∴{bn}是以 为首项, 为公比的等比数列. 3 3 2 ∴bn= n. 3 2 2n (2)由(1)得 bn= n,∴nbn= n , 3 3

n? ?1 2 3 ∴Tn=2? + 2+ 3+?+ n?, 3? ?3 3 3 n-1 n ? 1 ?1 2 3 ∴ Tn=2? 2+ 3+ 4+?+ n + n+1?, 3 3 ? 3 ?3 3 3
1 n ? 2 ?1 1 1 两式相减得 Tn=2? + 2+ 3+?+ n- n+1?, 3 3 ? 3 ?3 3 3

?1- 1 ? ?1 ? 2n+3 ? ? 3? 3 ? n - =2? =1- , 1 3 ? 3 1- ? 3 ?
n n+1 n+1

3? 2n+3? ∴Tn= ?1- n+1 ?. 3 2? ? 创新导向题 数列与基本不等式综合问题 1 2 12.已知正项等比数列{an}满足:a9=a8+2a7,若存在两项 am,an,使得 aman=16a1,则 +

m

4 的最小值为(

n

) B. 5 3

A. C.

3 2 25 6
2

D.不存在
2

解析 因为 a9=a8+2a7,所以 a2q =a7q+2a7,解得 q=2 或-1(舍去),因为 aman=16a1, 所以 a 1 2
2

m+n-2

1 4 1 ?1 4? 1 2 = 16a 1 ,可得 m + n = 6(m>0 , n>1) ,所以 + = (m + n)· ? + ? = m n 6 ?m n? 6 1 4 n 4m? 3 × ?= ,当且仅当 n=2m=4 时,等号成立.所以 + 的最 m n m n? 2

?1+4+n+4m?≥1? ? ?5+2 m n? ? ? 6?
3 小值为 ,故选 A. 2 答案 A

等差数列与等比数列综合问题 13.在等差数列{an}和等比数列{bn}中,a1=1,b1=2,bn>0(n∈N ),且 b1,a2,b2 成等差数 列,a2,b2,a3+2 成等比数列.
5
*

(1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)设 cn=abn,数列{cn}的前 n 项和为 Sn,若 数 t 的取值范围. 解 (1)设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q(q>0).

S2n+4n >an+t 对所有正整数 n 恒成立,求常 Sn+2n

? ?2(1+d)=2+2q, 由题意得? 2 ?(2q) =(1+d)(3+2d), ?

解得 d=q=3. ∴an=3n-2,bn=2·3
n-1

(2)cn=3·bn-2=2·3 -2. ∴Sn=c1+c2+?+cn=2(3 +3 +?+3 )-2n =3
n+1
1 2

n

n

-2n-3.

S2n+4n 32n+1-3 n ∴ = =3 +1 Sn+2n 3n+1-3
∴3 +1>3n-2+t 恒成立. 即 t<(3 -3n+3)min 令 f(n)=3 -3n+3,则 f(n+1)-f(n)=2·3 -3>0. ∴f(n)单调递增,故 t<f(1)=3. 即 t 的取值范围是(-∞,3).
n n n n

6


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