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等差数列测试题(小题详解)


等差数列测试题
A组 一.填空题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an?1 ? an ? 1 ,求 an ? _______. 1.n.提示:易知 {an } 是等差数列,an=1+1×(n-1)=n. 2. 2005 是数列 7,13,19, 25,31,

, 中的第

项.

2. 334 .提示:an=7+6(n-1)=6n+1, 3.等差数列 ?an ? 中, S10 ? 120 ,那么 a1 ? a10 ? 3.24.提示: S10 ? .

10 (a1 ? a10 ) ? 120 , a1 ? a10 ? 24. 2

4.在等差数列{ an }中,已知 a3 ? 10 , a9 ? 28 ,则 a12 的值为_____ . 4.提示:a9-a3=6d=18,得 d=3. a12 = a3+3(12-3)=37. 5. 已知 a1 , a2 , a3 , a4 成等差数列,且 a1 , a4 为方程方程 2 x ? 5 x ? 2 ? 0 的两根,则 a2 ? a3 等
2

于 5.



5 5 5 。提示: 由韦达定理知 a1 ? a4 = ,又 a2 ? a3 = a1 ? a4 =2a1+3d.∴ a2 ? a3 = . 2 2 2


6.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 3, S6 ? 7, 则 S9 等于

6 . 12. 提 示 : 由 ?an ? 是 等 差 数 列 知 S3 , S 6? S ,3S ? 9 S 成 6 等 差 数 列 , 即

2 ? 4 ? 3 ? ? S9 ? 7? ,解得 S9 ? 12
7. 在等差数列 ?an ? 中, a4 ? 0.8 , a11 ? 2.2 ,则 a51 ? a52 ?

? a80 =

7.393.提示:a11-a4=7d=1.4,∴d=0.2. a51=0.8+0.2(51-4)=10.2, a80=0.8+0.2(80-4)=16.

a51 ? a52 ?

? a80 = S10 ?

30 (a 51 ? a80 ) ? 393 . 2
1? 2 ??? n 1 ,bn= ,则{bn}的前 n 项 n a n a n ?1

8.已知数列{an}的通项公式 an=

和为 。 2n n ?1 1 1 1 1 2n .an ? , bn ? 4( ? ), Sn ? b1 ? b2 ??? bn ? 4( ? )? 8. . n ?1 2 n ?1 n ? 2 2 n?2 n?2
二.解答题(本大题共 4 小题,共 54 分) 9.求出下列等差数列中的未知项: (1)m, 3, 5, n;
1

(2)3, m , n, -9, p, q. 解(1)该数列为等差数列,公差为 5-3=2,所以 m=3-2=1, n=5+2=7. (2) 该数列为等差数列,公差为(-9-3)÷3=-4, 所以 m=3+(-4)=-1, n=-1+(-4)=-5, p=-9+(-4)=-13, q=-13+(-4)=-17. 10.(1)设{ an }是等差数列,求证:数列{

Sn }是等差数列. n
S 2007 S2005 ? ? 2 ,求 S2008 . 2007 2005

(2)在等差数列 ?an ? 中, a1 ? ?2008 ,其前 n 项的和为 Sn ,若 10.证明:因为{ an }是等差数列,所以Sn=n a1 ? 从而

n( n ? 1) d, 2

Sn S d = a1 ? (n-1)·d,即数列{ n }是等差数列,且其公差 d1= . 2 n n
S 2007 S2005 ? ? 2 ,得 ? a1 ?1003d ? ? ? a1 ?1002d ? ? 2 ,? d ? 2 , 2007 2005

(2)设公差是 d ,由

? S2008 ? 2008a1 ? 1004 ? 2007d ? 2008 ? ? a1 ? 2007? ? ?2008
11.已知正项数列 ?a n ? 满足 a1 ?

1 an ,且 a n ?1 ? . 2 1? an

(1)求正项数列 ?a n ? 的通项公式; (2)求和

a1 a 2 ? ? 1 2

?

an n

11.解 由 a n ?1 ?

an 1 1 . 可变形为: a n ?1a n ? a n ?1 =a n ∴ ? =1 。 1? an a n ?1 a n
?1? 1 ∴数列 ? ? 是首项为 2,公差为 1 的等差数列. 2 ?an ?

∵ a1 ?

1 1 。 ? 2 ? n ? 1 ? n ? 1 ,∴ a n ? n ?1 an
(2)

a1 a 2 ? ? 1 2

?

an 1 1 ? ? ? n 2 ?1 3 ? 2

?

1 (n ? 1)n

1 1 1 ? 1? ? ? ? 2 2 3

?

1 1 1 ? ? 1? n n+1 n+1

12.下表给出一个“等差数阵” :

2

4 7 ( ( ) ( ) (

7 12

( ( ) ( ) ( ??

) ( ) ( ) ( ) ( ??

) ( ) ( ) ( ) ( ??

) ) ) )

?? ?? ?? ?? ?? ??

a1 j
a2 j

?? ?? ?? ?? ?? ?? ??

a3 j
a4 j
??

??

??

ai1

ai 2

ai 3

ai 4

ai 5

aij
??

?? ?? ?? ?? ?? ?? 其中每行、每列都是等差数列, aij 表示位于第 i 行第 j 列的数。 (I)写出 a 45 的值; (II)写出 aij 的计算公式; 解: (I) a 45 ? 49 (详见第二问一般性结论) 。

(II)该等差数阵的第一行是首项为 4,公差为 3 的等差数列: a1 j ? 4 ? 3( j ? 1) ; 第二行是首项为 7,公差为 5 的等差数列: a2 j ? 7 ? 5( j ? 1) , ??,第 i 行是首项为

4 ? 3(i ? 1) , 公 差 为 2i ? 1 的 等 差 aij ? 4 ? 3(i ? 1) ? (2i ? 1)( j ? 1) ? 2ij ? i ? j ? i(2 j ? 1) ? j











备选题: 1.等差数列{an}中,a1=-5,它的前 11 项的平均值是 5,若从中抽取 1 项后余下的 10 项的 平均值仍为 5,则抽取的是第_________项. 1.6.提示:由-5×11+

11 ? 10 d=55,得 d=2.由 an=5,an=a1+(n-1)d 得 n=6. 2

2.在首项为 31,公差为-4 的等差数列中,与零最接近的项是_______.

?35 ? 4n ? 0 3 3 2.-1。提示:an=35-4n.由 ? 得 a8=3,a9=-1, ?7 ? n?8 4 4 ?35 ? 4(n ? 1) ? 0
∴最接近的为 a9=-1. 3.已知 f(x+1)=x2-4,等差数列{an}中,a1=f(x-1) , a2=- (1)求 x 值; (2)求 a2+a5+a8+?+a26 的值. 3.【解】 (1)∵f(x-1)=(x-1-1)2-4=(x-2)2-4 ∴f(x)=(x-1)2-4,∴a1=(x-2)2-4,a3=(x-1)2-4 又 a1+a3=2a2,解得 x=0 或 x=3. (2)∵a1、a2、a3 分别为 0、- ∴an=-

3 ,a3=f(x) . 2

3 3 、-3 或-3、- 、0 2 2

3 3 (n-1)或 an= (n-3) 2 2 3 9 351 ①当 an=- (n-1)时,a2+a5+?+a26= (a2+a26)=2 2 2 3 9 297 ②当 an= (n-3)时,a2+a5+?+a26= (a2+a26)= . 2 2 2
B组 一.填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)
3

1.已知数列 {an } 的前 n 项和 sn ? n2 ? 1,则 an= 1. an ? ?

.

(n ? 1) ?0 .提示: a1 ? s1 ? 0 , ?2n ? 1 (n ? 2)

当 n ? 2 时, an ? sn ? sn ?1 ? (n2 ? 1) ? [(n ? 1)2 ? 1] ? 2n ? 1 由于 a1 不适合于此等式 。 ∴ an ? ?

(n ? 1) ?0 ?2n ? 1 (n ? 2)
.

2.在小于 100 的正整数中,被 3 除余 2 的数的和是 2.1650.提示:由题设知:an=3n+2,n∈N 且 n≤100,S=2+5+?+98=

33 (2 ? 98) =1650. 2

3.设数列{an}、{bn}都是等差数列,且 a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么由 an+bn 所组成的数 列的第 37 项值为 . 3.100. 提示:∵ {an} 、 {bn} 为等差数列,∴ {an+bn} 也为等差数列,设 cn=an+bn ,则 c1=a1+b1=100,而 c2=a2+b2=100,故 d=c2-c1=0,∴c37=100. 4 .在 {an} 中, a1=15 , 3an+1=3an - 2 ( n ∈ N* ) ,则该数列中相邻两项的乘积为负数的项 是 。

2 2 1 47 ? 2n ,∴an=15+(n-1) (- )= .an+1an<0 ? (45 3 3 3 3 1 45 47 -2n) (47-2n)<0 ? < n< .∴n=23. 3 2 2
4.a23 和 a24。提示:an+1-an= 5. 等差数列{an}中,a1>0,前 n 项和为 Sn,且 S9>0,S10<0,则 n= 时,Sn 最大。 5.5.提示:由题意可知该数列公差小于 0。 如图 1 是 Sn 对应的抛物线,因为其公 差小于 0,所以抛物线开口向下,与横轴的 一个交点的横坐标为 0,另一个交点的横 坐标在区间内(9,10) ,可见其顶点横坐标 在区间(4.5,5) ,故当 n=5 时,Sn 最大。
y

0

9 10

x

图1

6. 定义在 R 上的函数,对任意实数,都有 f ? x ? 3? ? f ? x ? ? 3 和 f ? x ? 2? ? f ? x ? ? 2 , 且 f ?1? ? 2 ,记 an ? f ? n ? ? n ? N *? ,则 a2008 ? ______. 6.2009.提示:由 f ? x ? 2? ? f ? x ? ? 2 ,得 f ? x ?1? ? f ? x ? 3? ? 2 , 又 f ? x ? 3? ? f ? x ? ? 3 ,? f ? x ? 1? ? f ? x ? ? 1, 又由 f ? x ? 3? ? f ? x ? ? 3 得 f ? x ? 1? ? f ? x ? 4? ? 3 , 由 f ? x ? 2? ? f ? x ? ? 2 得, f ? x ? 4? ? 3 ? f ? x ? 2? ? 2 ? 3 ? f ? x? ? 2 ?1 ? f ? x? ?1, 所以 f ? x ? 1? ? f ? x ? ? 1,从而有 an?1 ? an ? 1 ,?a2008 ? a1 ? 2007 ?1 ? 2009 。
4

二.解答题(本大题共 2 小题,共 36 分) 7.等差数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 4n 2 ? 25n 。求数列 ? | an |? 的前 n 项的和 Tn 。 7.解:an= ?

? s1 , n ? 1, ??21, n ? 1, =? =8n-29. ? sn ? sn ?1 , n ? 2 ?8n ? 29, n ? 2.
n(n ? 1) ? 8 =4n2-25n. 2

该等差数列为-21,-13,-5,3,11,??前 3 项为负,其和为-39。 设 sn 是 ?an ? 的前 n 项和,sn=-21n+

2 ? ?? sn , n ? 3 ?25n ? 4n , n ? 3 . Tn ? ? ?? 2 4 n ? 25 n ? 78, n ? 4 ?? s3 ? sn ? s3 , n ? 4 ? ?

8.如果一个数列的各项都是实数,且从第二项开始,每一项与它前一项的平方差是相同的常 数,则称该数列为等方差数列,这个常数叫这个数列的公方差. (1)设数列 {an} 是公方差为 p (p>0,an >0)的等方差数列, a1 ? 1 求 an 的通项公式; (2)若数列 {an} 既是等方差数列,又是等差数列,证明该数列为常数列
2 2 , n ? N) , 8(1)解:由等方差数列的定义可知: an ? an ?1 ? p (n ? 2

由此可得:

an 2 ? a12 ? (n ? 1) p ? 1 ? (n ? 1) p ? an ? 1 ? (n ? 1) p

(2)证法一:∵{an} 是等差数列,设公差为 d ,则 an ? an?1 ? an?1 ? an ? d
2 2 2 2 又 {an} 是等方差数列,∴ an ? an ?1 ? an?1 ? an ……………8 分

∴ (an ? an?1)(an ? an?1) ? (an?1 ? an)(an?1 ? an) 即 d (an ? an?1 ? an?1 ? an) ? ?2d 2 ? 0 ,……….10 分 ∴ d ? 0 ,即 {an} 是常数列.………………12 分 证法二:∵{an} 是等差数列,设公差为 d ,则 an ? an?1 ? d ??○ 1
2 2 又 {an} 是等方差数列,设公方差为 p ,则 an 2 ????.8 分 ? an ?1 ? p ??○

1 代入○ 2 得, d 2 ? 2dan ? p ? 0 ??○ 3 ○ 同理有, d 2 ? 2dan?1 ? p ? 0 ??○ 4 ????.10 分 两式相减得:即 2d (an ? an?1) ? 2d ? 0 ,
2

5

∴ d ? 0 ,即 {an} 是常数列.…………..12 分 备选题:

1 (n∈N*)且 f(2)=2,则 f(101)=_______. 4 1 1 91 1. - 。提示:f(n+1)-f(n)=- ,f(n)可看作是公差为- 的等差数列,f 4 4 4 91 (101)=f(2)+99d=- . 4
1.已知 f(n+1)=f(n)- 2.已知等差数列 ?an ? 的前项和为 s n , bn ?

1 1 ,且 a3b3 ? , s3 ? s5 ? 21 . 2 sn

⑴.求数列 ?bn ? 的通项公式; ⑵.求证: b1 ? b2 ?

? bn ? 2 .
1 1 , b3 ? 2 s3
得 2a3 ? s3 , 即

解 : 设 等 差 数 列 ?an ? 的 公 差 为 d , 由 a3b3 ?

2a1 ? 4d ? 3a1 ? 3d ,得 a1 ? d ,
所以 an ? 1 ? n ? 1 ? n ,? S n ?

又 s3 ? s5 ? 21 , 得 8a1 ?1 3d? 2 1 ,解得:a1 ? d ? 1 ,

n(n ? 1) 2

? bn ?

2 . n(n ? 1)

⑵.由 bn ?

2 1 1 ? 2( ? ), n(n ? 1) n n ?1
1 1 1 ? bn ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? 2 2 3 1 1 ?( ? )] n n ?1

得: b1 ? b2 ?

? 2(1 ?

1 ) ? 2 所以 b1 ? b2 ? n ?1

? bn ? 2 。

6


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