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平潭一中2013届高三文科数学摸底测试1


平潭一中 2013 届高三文科数学摸底测试 1 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.)
1 .已知全集 U

? ?0,1, 2,3, 4? ,集合 A ? ?1,2,3?, B ? ?2,4? ,则 (CU A) U B 为( )
B. ?2,3,4? C

. ?0,2,4? D. ?0,2,3,4?

A. ?1, 2, 4?

2. 设 i 为虚数单位,则复数

3 ? 4i =( i

)

( A) ?4 ? 3i
3 . “φ=

( B ) ?4 ? 3i

i (C ) ? ? ?


i ( D) ? ? ?

? ”是“函数 y=sin(x+φ)为偶函数的” ( 2

A.充分不必要条件 C. 充要条件
4.函数 y ?

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ) D. ?8, ?? ? )

1 ? lg( x ? 2) 的定义域为 (
B. ? ?2,8? C. ? 2,8?

A. ? 0,8?

5 .下列函数中,既是奇函数又是增函数的为(

A. y ? x ? 1
6 .已知函数 f(x)= ?

B. y ? ? x

2

C. y ?

1 x

D. y ? x | x |

?2 x,x ? 0, ,若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于( ? x ? 1, x ? 0
C. 1 D. 3



A. -3

B. -1

7. 设向量 a =(1, cos ? )与 b =(-1, 2 cos ? )垂直,则 cos 2? 等于 (



( A)

2 2

(B)

1 2

(C ) 0

( D) -1

8.要得到函数 y ? sin? 2 x ?

? ?

??

? 的图像,只需将函数 y ? sin 2 x 的图像( ) 3?

9 . 设 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 对 任 意 x ? R 都 有 f ( x ) ? f ( x ? 4) , 当

? 个单位长度 3 ? (C ) 向左平行移动 个单位长度 6
( A) 向左平行移动

? 个单位长度 3 ? ( D) 向右平行移动 个单位长度 6
( B ) 向右平行移动

x ? ( ?2, 0) 时, f ( x ) ? 2 x ,则 f ( 2012) ? f ( 2011) 的值为(
A. ?

) D. ? 2

1 2

B.

1 2

C. 2

10. 函数 y ?

log 2 | x | 的图象大致是 x





11 .设函数 f ( x) ? x2 ? 4x ? 3, g ( x) ? 3x ? 2, 集合 M ? {x ? R | f ( g ( x)) ? 0},

N ? {x ? R | g ( x) ? 2}, 则 M
A. (1, ??) 12 设函数 f ( x) ? B. (0,1)

N 为(



C. (-1,1) D. (??,1)

1 ,g ( x) ? ? x2 ? bx .若 y ? f ( x) 的图象与 y ? g ( x) 的图象有且仅有两个不同 x

的公共点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则下列判断正确的是 (A) x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 (C) x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 二选择题(每题 4 分) 13.在 ?ABC 中,若 a ? c ? b ? 3ac ,则角 B 的值为
2 2 2

(B) x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 (D) x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0

。 ________

14. 15.函数 f ( x) ? cos x ?

1 cos 2 x( x ? R) 的最大值等于 2



16、函数 f ( x ) 的定义域为 A ,若 x1 ,??x2 ? A 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 时总有 x1 ? x2 ,则称 f ( x ) 为 单函数,例如:函数 f ( x) ? 2 x ? 1( x ? R) 是单函数,下列命题: ①函数 f ( x) ? x ( x ? R) 是单函数;②指数函数 f ( x) ? 2 ( x ? R) 是单函数;
2 x

③若 f ( x ) 为单函数, x1 , x2 ? A 且 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数。其中真命题是 真命题的编号) 三解答题(17-21 每题 12 分 22 题 14 分) (写出所有

17. 设全集为实数集 R,A ? {x 3 ? x ? 7} ,B ? {x 2 ? x ? 10} , C ? {x a ?1 ? x ? 2a ?1} . (1)求 A ? B 及 (CR A) B ;(2)如果 A C ? C ,求 a 的取值范围.
2 x 18 已知 a ? 0 ,设命题 p : 函数 y ? a 在 R 上单调递增,命题 q : 不等式 ax ? ax ? 1 ? 0 对

?x ? R 恒成立。若“ p 且 q ”为假, “ p 或 q ”为真,求 a 的取值范围。

19.已知 a ? (sin ? , ?2) , b ? (1, cos ? ) ,且 a ? b . (1)求
2 ( 2 ) 求 cos ? ? sin ? cos ? 的 值 ;( 3 ) 若 ? ? ( 0 ,

?

2

) ? ? (? ,

?
2

, 0) , 且

cos(? ? ? ) ? ?

10 ,求 ? 的值. 10

20 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 2b cos A ? c ? cos A ? a ? cosC, (1)求角 A 的大小; (2)若 a ?

7 , b ? c ? 4, 求 ?ABC 的面积

21. (12 分)已知函数 f ( x) ? 2sin ?
2

?π ? ? x ? ? 3 cos 2 x ?4 ?

(I)求 f ( x ) 的周期和单调递增区间 (II)若关于 x 的方程 f ( x) ? m =2 在 x ? ? , ? 上有解,求实数 m 的取值范围. 4 2

?π π? ? ?

22 已知函数 f ( x) ?

2 ? a ln x ? 2(a ? 0) x

(1)若曲线 y ? f ( x) 在点 P(1, f (1)) 处的切线与直线 y ? x ? 2 垂直,求函数 y ? f ( x) 的 单调区间;

? x ?1 ? (2)若对 ?x ? (0, ??) ,都有 f '( x) ? ? ? 恒成立,试求实数 a 的取值范围; ? x ?
(3)记 g ( x) ? f ( x) ? x ? b ,当 a ? 1 时,函数 g ( x) 在区间 [e , e] 上有两个零点,求实 数 b 的取值范围( e 为自然对数的底数).
?1

2

解:由函数 y ? a x 在 R 上单调递增,可得 a ? 1 再由不等式 ax ? ax ? 1 ? 0 对 ?x ? R 恒成立,可得
2

?a ? 0 ? 2 ? a ? 4a ? 0

?0 ? a ? 4
由于“ p 且 q ”为假, “ p 或 q ”为真,故有

?a ? 1 或 ? ? a ? 0或a ? 4

?0 ? a ? 1 ? ?0 ? a ? 4

?a ? 4或0 ? a ? 1
(1) f ( x) ? 2sin ?
2

? ?π ? ? x ? ? 3 cos 2 x = 1 ? cos( ? 2 x) ? 3 cos 2 x 2 ?4 ?
-------(1 分) -------(1 分) -------(1 分)

-------(1 分)

= 1 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x = 2 sin(2 x ? 周期 T=? ;

?
3

) ?1

2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

, 解 得 单 调 递 增 区 间 为 [k? ?

5? , k? ? ] k( ? Z 12 12

?

)

-------(2 分)

], (2) x ? ? , ? ,所以 2 x ? ? [ , 3 6 3 ?4 2?

?π π?

?

? 2?

? 1 sin(2 x ? ) ? [ ,1] , 3 2
所以 f ( x ) 的值域为 [2,3] , 而 f ( x) ? m ? 2 ,所以 m ? 2 ? [2,3] ,即 m ? [1, 2] -------(4 分) -------(4 分)

解: (1)由曲线 y ? f ( x) 在点 P(1, f (1)) 处的切线与直线 y ? x ? 2 垂直, 可知 f '(1) ? ?1 因为 f '( x) ? ? ??????????????????????1 分

2 a ? ( x ? 0, a ? 0) x2 x

所以 f '(1) ? ?2 ? a ? ?1(a ? 0) 解得 a ? 1 ??????2 分

2 1 x?2 ? ? 2 ,其中 x>0 x2 x x 由 fˊ(x)>0,得:x>2;由 fˊ(x)<0,得:0<x<2 所以 f(x)的单调递增区间是(2,+∞),单调递减区间是(0,2)
所以 fˊ(x)= -

?????4 分

2 a ? x ?1 ? (2)依题意可知对 ?x ? (0, ??) ,都有 ? 2 ? ? ? ? 恒成立 x x ? x ?
即a ?

2

x2 ? 2 x ? 3 3 ? x ? ? 2 在区间 (0, ??) 上恒成立 x x

??????6 分

因为 x ? 0 ,所以 x ? 所以 a ? 2 3 ? 2 又因为 a ? 0 所以 a ? (0, 2 3 ? 2] (3)当 a ? 1 时, g ( x) ?

3 ? 2 ? 2 3 ? 2 (当且仅当 x ? 3 时取到等号)??7 分 x

??????9 分

2 ? ln x ? x ? 2 ? b( x ? 0) x

x 2 ? x ? 2 ( x ? 2)( x ? 1) ? ( x ? 0) 所以 g '( x) ? x2 x2
令 g '( x) ? 0 可得 x ? 1 ,令 g '( x) ? 0 可得 0 ? x ? 1 故 g ( x) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增
?1 因为函数 g ( x) 在区间 ? ?e , e ? ? 上有两个零点

??????11 分

1 ? 2 e ? ?3?b ? 0 ? ? g (e ) ? 0 e ? ? 所以 ? g (1) ? 0 ,即 ?1 ? b ? 0 ?2 ? g (e) ? 0 ? ? ? e ?1? b ? 0 ?e
?1

?????13 分

1 ? ?b ? 2e ? e ? 3 ? 所以 ?b ? 1 , ? 2 ?b ? e ? ? 1 e ?
1 2 1 ? 3) ? (e ? ? 1) ? e ? ? 2 ? 0 e e e 2 1 故 1 ? e ? ? 1 ? 2e ? ? 3 e e
因为 (2e ?

所以1 ? b ? e ?

2 ?1 e

??????14 分


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