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2014高考文数一轮复习讲义(函数的单调性与最值)


2014 高考文数大一轮复习讲义
函数的单调性与最值
——整理: 小 Z

知识梳理 一. 函数的单调性
1.单调函数的定义 1.一般地, 设函数 f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 上的任意两个自变量 的值 , ,当 < 时,都有 f(x1)<f(x2) ,那么就说函数 f(x)在区间 D 上 ,那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函

是增函数;当 < 数.

时,都有 f(x1)>f(x2)

2.如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有(严 格的) 单调性 ,区间 D 叫做 y=f(x)的 单调区间 .

二.函数的最值

一般地,设函数 y=f(x)的定 义域为 ,如果存在实数 满足: (1)对于 都有 f(X)<=M ; (2) x0 属于I ,使得

任意 x 属于 I



f(x0) =M .那么,我们称 是

函数 y=f(x)的最大值. 一般地, 设函数 y=f(x)的定义域为 , 如果存在实数 满足:1) ( 对于 都有 f(X)>=M ; (2) x0 属于I 任意 x 属于 I , .那

,使得 f(x0) =M

么,我们称 是函数 y=f(x)的最小值.

例题精析 【例一】

证明函数

上的单调性.

证明:在(0,+∞)上任取 x1、x2(x1≠x2), 令△x=x2-x1>0

则 ∵x1>0,x2>0,∴ ∴上式<0,∴△y=f(x2)-f(x1)<0



上递减.

探究提高: 用定义法证明函数的单调性步骤如下: 取值——作差——变形——定号——得出 结论 举一反三:

用定义证明函数

上是减函数.

思路点拨:本题考查对单调性定义的理解,在现阶段,定义是证明单调性的唯一途径. 证明:设 x1,x2 是区间 上的任意实数,且 x1<x2,则

∵0<x1<x2≤1 ∴x1-x2<0,0<x1x2<1

∵0<x1x2<1

故 ∴x1<x2 时有 f(x1)>f(x2)

,即 f(x1)-f(x2)>0

上是减函数.

【例二】

已知二次函数 f(x)=x2-(a-1)x+5 在区间 的取值范围.

上是增函数,求:(1)实数 a 的取值范围;(2)f(2)

解:(1)∵对称轴

是决定 f(x)单调性的关键,联系图象可知

只需



(2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11 又∵a≤2,∴-2a≥-4 ∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7 . 探究提高: 已知函数单调性求参数的值或取值范围, 可通过解不等式等方法求解。 但要注意, 如果函数在某区间内是单调的,则其在此区间的任意子集上也是单调的。

举一反三:

已知函数 的取值范围是________.

,若关于 x 的方程

有两个不同的实根,则实数 k

解:

单调递减且值域(0,1],

单调递增且值域为



由图象知,若

有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围是(0,1).

【例三】
[2013· 宝鸡模拟]已知函数 g(x)= x+1, h(x)= 令函数 f(x)=g(x)· h(x). (1)求函数 f(x)的表达式,并求其定义域; 1 (2)当 a= 时,求函数 f(x)的值域. 4 解:(1)f(x)= x+1 ,x∈[0,a],(a>0). x+3 1 , x∈(-3, 其中 a 为常数且 a>0, a], x+3

1 (2)函数 f(x)的定义域为[0, ], 4 3 令 x+1=t,则 x=(t-1)2,t∈[1, ], 2 t f(x)=F(t)= 2 = t -2t+4 1 , 4 t+ -2 t

4 3 3 4 1 6 ∵ t= 时,t=± 2?[1, ],又 t∈[1, ]时,t+ 单调递减,F(t)单调递增,F(t)∈[ , ]. t 2 2 t 3 13 1 6 即函数 f(x)的值域为[ , ]. 3 13

举一反三:

已知函数

.

(1)判断函数 f(x)的单调区间; (2)当 x∈[1,3]时,求函数 f(x)的值域. 思路点拨:这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间,但对解析式稍作处理,即

可得到我们相对熟悉的形式. 域.

,第二问即是利用单调性求函数值

解:(1)

上单调递增,在

上单调递增;

(2)

故函数 f(x)在[1,3]上单调递增 ∴x=1 时 f(x)有最小值,f(1)=-2

x=3 时 f(x)有最大值

∴x∈[1,3]时 f(x)的值域为

.

习题精练 一、选择填空。
1. (2013 北京)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是 (A)y= (C)y=-x +1
2

(B)y=e

-x

(D)y= l g ∣x∣

2.(2011 年广东惠州调研)已知定义域为(-1,1)的奇函数 y=f(x)又是减函数,且 f(a 2 -3)+f(9-a )<0.则 a 的取值范围是( ) A.(3, 10) B.(2 2,3) C.(2 2,4) D.(-2,3) f? x? -f? -x? 3.设奇函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(1)=0,则不等式 <0

x

的解集为( ) A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,1)∪(0,1) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1) 4.(2012 安徽)若函数 f ( x) ?| 2 x ? a | 的单调递增区间是 [3, ??) ,则 a ? _____ 5.(2011 江苏)函数 f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是__________. 6.(2011 上海)设 g(x)是定义在 R 上、以 1 为周期的函数,若 f(x)=x+g(x)在[3,4] 上的值域为[-2,5],则 f(x)在区间[-10,10]上的值域为____________. 7.(2012 福建)已知关于 x 的不等式 x ? ax ? 2a ? 0 在 R 上恒成立,则实数 a 的取值
2

范围是_________.

?2 ? ? x≥2? , 8. (2011 北京)已知函数 f(x)=?x ?? x-1? 3 ? x<2? , ?
有两个不同的实根,则数 k 的取值范围是________.

若关于 x 的方程 f(x)=k

9.(2012 浙江) )设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当 x∈[0,1] 时,f(x)=x+1,则 f( ) =_______________.

3 2

10.(2012 山东)若函数 f ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1) 在[-1,2]上的最大值为 4,最小值为 m,且 函数 g ( x) ? (1 ? 4m) x 在 [0, ??) 上是增函数,则 a=____.

二、解答题。
1. (2013 江苏高三模拟)求函数 y ? 1 ? x ? 4 ? 2 x 的最大值.

x2+ax+4 2.已知函数 f(x)= (x≠0). x (1)若 f(x)为奇函数,求 a 的值; (2)若 f(x)在[3,+∞)上恒大于 0,求 a 的取值范围.

3.(2013 湖南) 已知函数 f ( x) ?

1? x x e 1 ? x2

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间

(Ⅱ)证明:当 f ( x1 ) ? f ( x2 )( x1 ? x2 ) 时, x1 ? x2 ? 0


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