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第一章 解三角形 归纳整合 学案(人教A版必修5)


第一章 解三角形 本章归纳整合
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要点归纳
1.解三角形常见类型及解法 在三角形的 6 个元素中要知三个(除三角外)才能求解,常见类型及其解法见下表: 已知条件 应用定理 一般解法 由 A+B+C=180° ,求角 A;由正弦 正弦 定理求出 b 与 c;S△= 一边和二角(如 a,B,C) 1 定理 acsin B,在有解时只有

一解 2 由余弦定理求第三边 c;由正弦定理 求出一边所对的角,再由 A+B+C= 余弦 1 两边和夹角(如 a,b,C) 定理 180° 求出另一角. S△= absin C, 在有 2 解时只有一解 由余弦定理求出角 A、B,再利用 A+ 1 余弦 三边(a,b,c) B+C=180° 求出角 C.S△= absin C, 2 定理 在有解时只有一解 由正弦定理求出角 B;由 A+B+C= 180° 求出角 C;再利用正弦定理求出 正弦 1 两边和其中一边的对角(如 a,b,A) 定理 c 边.S△= absin C 可有两解,一解 2 或无解 2.三角形解的个数的确定 已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形,解这类三角形问题可能出现一解、两 解、无解的情况,这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解,此时一般用正 弦定理,但也可用余弦定理. a b bsin A (1)利用正弦定理讨论:若已知 a、b、A,由正弦定理 = ,得 sin B= .若 sin sin A sin B a B>1,无解; 若 sin B=1,一解;若 sin B<1,两解. (2)利用余弦定理讨论: 已知 a、 b、 A.由余弦定理 a2=c2+b2-2cbcos A, 即 c2-(2bcos A)c

+b2-a2=0,这是关于 c 的一元二次方程.若方程无解或无正数解,则三角形无解;若方程 有唯一正数解,则三角形一解;若方程有两不同正数解,则三角形有两解. 3.三角形形状的判定方法 判定三角形形状通常有两种途径: 一是通过正弦定理和余弦定理, 化边为角(如: a=2Rsin 2 2 2 A,a +b -c =2abcos C 等),利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意 一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系.如: π sin A=sin B?A=B;sin(A-B)=0?A=B;sin 2A=sin 2B?A=B 或 A+B= 等;二是 2 b2+c2-a2 a 利用正弦定理、 余弦定理化角为边, 如: sin A= (R 为△ABC 外接圆半径), cos A= 2R 2bc 等,通过代数恒等变换求出三条边之间的关系进行判断. 4.解三角形应用题的基本思路 解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题来解决.其基本解题思路是: 首先分析此题属于哪种类型的问题(如:测量距离、高度、角度等),然后依题意画出示意图, 把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系),最后确定用哪个 定理转化,哪个定理求解,并进行作答.解题时还要注意近似计算的要求.

专题一 正、余弦定理的基本应用 应用正、余弦定理解三角形问题往往和面积公式、正、余弦定理的变形等结合.在解三 角形时,注意挖掘题目中的隐含条件和正、余弦定理的变形应用,注意公式的选择和方程思 想的应用. 【例 1】 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,设 a,b,c 满足条件 c 1 2 b +c2-bc=a2 和 = + 3,求 A 和 tan B 的值. b 2 b2+c2-a2 1 解 由余弦定理 cos A= = , 2bc 2 因此 A=60° .在△ABC 中,C=180° -A-B=120° -B. sin?120° -B? 1 c sin C 由 已 知 条 件 , 应 用 正 弦 定 理 + 3 = = = = 2 b sin B sin B sin 120° cos B-cos 120° sin B 3 1 = + , sin B 2tan B 2 1 从而 tan B= . 2 专题二 正、余弦定理解三角形中的综合问题 在高考中,正、余弦定理与向量、三角函数的综合命题出现的较频繁,解决与三角形有 关的问题时,有时除了运用正、余弦定理外,还会用到三角形的面积公式,两角和与差的三 角函数公式,倍角、半角公式、向量的计算公式等.因此,应结合题目给定条件,综合运用 正弦定理、余弦定理以及相关知识解题. 【例 2】 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足(2a-b)cos C=c· cos B, △ABC 的面积 S=10 3,c=7. (1)求角 C; (2)求 a,b 的值. 解 (1)∵(2a-b)cos C=ccos B, ∴(2sin A-sin B)cos C=sin Ccos B, 2sin Acos C-sin Bcos C=cos Bsin C, 即 2sin Acos C=sin(B+C), ∴2sin Acos C=sin A. 1 π ∵A∈(0,π),∴sin A≠0,∴cos C= ,∴C= . 2 3

1 π (2)由 S= absin C=10 3,C= , 2 3 得 ab=40.① 由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcos C, π? 即 c2=(a+b)2-2ab? ?1+cos 3?, 1? ∴72=(a+b)2-2×40×? ?1+2?. ∴a+b=13.② 由①②得 a=8,b=5 或 a=5,b=8. 专题三 解斜三角形在实际问题中的应用 解斜三角形应用题的步骤: (1)准确理解题意,分清已知与所求,准确理解应用题中的有关名称、术语,如仰角、俯 角、视角、方位角等. (2)根据题意画出图形. (3)将要求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正弦定理、余弦定理等有 关知识建立数学模型,然后正确求解,演算过程要简练,计算要准确,最后作答.

【例 3】 如图,a 是海面上一条南北方向的海防警戒线,在 a 上点 A 处有一个水声监测 点,另两个监测点 B,C 分别在 A 的正东方 20 km 和 54 km 处.某时刻,监测点 B 收到发自 静止目标 P 的一个声波信号,8 s 后监测点 A,20 s 后监测点 C 相继收到这一信号,在当时气 象条件下,声波在水中的传播速度是 1.5 km/s. (1)设 A 到 P 的距离为 x km,用 x 表示 B,C 到 P 的距离,并求 x 的值; (2)求静止目标 P 到海防警戒线 a 的距离(精确到 0.01 km). 解 (1)由题意 PA-PB=1.5×8=12(km),PC-PB=1.5×20=30(km). ∴PB=(x-12)(km),PC=(18+x)(km). PA2+AB2-PB2 x2+202-?x-12?2 3x+32 在△PAB 中,AB=20 km,cos∠PAB= = = .同理 2PA· AB 2x· 20 5x 72-x cos∠PAC= . 3x ∵cos∠PAB=cos∠PAC, 3x+32 72-x 132 ∴ = ,解得 x= (km). 5x 3x 7 3x+32 (2) 作 PD⊥a 于 D ,在 Rt△PDA 中 , PD = PAcos∠APD = PAcos∠PAB = x· = 5x 132 3× +32 7 ≈17.71(km). 5 所以静止目标 P 到海防警戒线 a 的距离为 17.71 km. 专题四 函数与方程思想 与函数思想相联系的就是方程思想.所谓方程思想,就是在解决问题时,用事先设定的 未知数沟通问题所涉及的各量间的制约关系,列出方程(组),从而求出未知数及各量的值, 使问题获得解决,所设的未知数沟通了变量之间的联系.方程可以看做未知量与已知量相互 制约的条件,它架设了由已知探索未知的桥梁. 函数与方程思想在数学中有着广泛的应用,本章在利用正、余弦定理求角或边长时,往 往渗透着函数与方程思想. 【例 4】 在△ABC 中,已知 A>B>C,且 A=2C,b=4,a+c=8,求 a,c 的长.

a c 由正弦定理得 = , sin A sin C a c ∵A=2C,∴ = ,∴a=2ccos C. sin 2C sin C 8-c 又∵a+c=8,∴cos C= ,① 2c 由余弦定理及 a+c=8,得 a2+b2-c2 a2+42-c2 cos C= = 2ab 8a 2 2 2 ?8-c? +4 -c 10-2c = = .② 8?8-c? 8-c 8-c 10-2c 由①②知 = , 2c 8-c 整理得 5c2-36c+64=0. 16 ∴c= 或 c=4(舍去). 5 24 ∴a=8-c= . 5 24 16 故 a= ,c= . 5 5 专题五 正、余弦定理在几何计算、证明中的应用 运用正弦定理、余弦定理解决几何计算、证明问题,要抓住条件及待求式子的特点,恰 当地选择定理.正弦定理常用来完成边角转化,余弦定理常用来联系边和角. 解

3 13 【例 5】 如图所示,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB= 13,AC=6,cos∠ABD= , 13 4 cos∠ACB= ,∠ABC 为锐角. 5 (1)求 BD 的长. (2)求证 AC⊥BD. 4 3 解 (1)∵cos∠ACB= ,∴sin∠ACB= , 5 5 3 13 2 13 又∵cos∠ABD= ,∴sin∠ABD= . 13 13 AC 6 3 18 13 在△ABC 中,由正弦定理 sin∠ABC= · sin∠ACB= × = , AB 65 13 5 18 13 13 ∴sin∠BAD= ,cos∠BAD=- . 65 65 ∵sin∠ADB=sin(∠BAD+∠ABD) =sin∠BAD· cos∠ABD+cos∠BAD· sin∠ABD 18 13 3 13 ? 13? 2 13 4 = × + - × = . 65 13 ? 65 ? 13 5 在△ABD 中,由正弦定理 AB 13 18 13 9 BD= · sin∠BAD= × = . 4 65 2 sin∠ADB 5 (2)∵∠DBC=∠ADB,

4 ∴sin∠DBC=sin∠ADB= =cos∠ACB, 5 ∴∠DBC+∠ACB=90° ,∴AC⊥BD.

命题趋势
解斜三角形是高考的热点内容,经常和三角化简、向量运算等联系在一起综合考查,既 可能以选择题和填空题的方式也可能以解答题的形式进行考查,解答题的难度属于中低档的 问题. 具体的命题过程有如下规律: 一是考查三角形的角的问题.求三角形的角常用到的工具有三角形内角和为 180° ,正、 余弦定理及其变式,经常与三角化简求值联系在一起考查. 二是考查三角形的面积.三角形面积的处理途径比较多,需要根据条件,恰当的进行选 择,实际上最终转化为三角形的边角问题解决. 三是对解三角形的综合问题的考查.一般题目给出边角满足的关系式,问题处理的重点 是正、余弦定理的选择.需要熟练掌握正、余弦定理和三角形面积公式以及之间的联系,灵 活应用二倍角公式、两角和与差公式等进行化简;不仅会利用方程思想求值,还要会利用函 数思想讨论最值问题.

高考真题
1.(2012· 上海卷)在△ABC 中,若 sin A+sin2B<sin2C,则△ABC 的形状是( ). A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 解析 ∵sin2A+sin2B<sin2C,由正弦定理可得 a2+b2<c2,所以 cos C<0,得角 C 为钝 角,故选 C. 答案 C 2.(2011· 重庆卷)若△ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a,b,c 满足(a+b)2-c2=4,且 C =60° ,则 ab 的值为( ). 4 2 A. B.8-4 3 C.1 D. 3 3 2 2 2 解析 由(a+b) -c =4 得(a +b2-c2)+2ab=4.① ∵a2+b2-c2=2abcos C,故方程①化为 2ab(1+cos C)=4. 2 ∴ab= . 1+cos C 4 又∵C=60° ,∴ab= . 3 答案 A 3.(2012· 天津)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 8b=5c,C= 2B,则 cos C=( ). 7 7 7 24 A. B.- C.± D. 25 25 25 25 8 b 5 b c b 1 解析 由正弦定理得 = , 将 8b=5c 及 C=2B 代入得 = , 化简得 sin B sin C sin B sin 2B sin B 8 5 4 = ,则 cos B= . 2sin Bcos B 5 4?2 7 所以 cos C=cos 2B=2cos2B-1=2×? ?5? -1=25,故选 A. 答案 A 3 4.(2012· 重庆卷)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cos A= ,cos B 5
2

5 = ,b=3,则 c=________. 13 3 5 4 12 解析 ∵A,B,C 为三角形内角且 cos A= ,cos B= ,∴sin A= ,sin B= .sin C= 5 13 5 13 sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B 4 5 3 12 56 = × + × = . 5 13 5 13 65 c b 由正弦定理 = , sin C sin B 56 65 sin C 14 得 c=b× =3× = . sin B 12 5 13 14 答案 5 5. (2011· 全国课标卷)在△ABC 中, B=60° , AC= 3, 则 AB+2BC 的最大值为________. AB 3 BC 解析 由正弦定理知 = = , sin C sin 60° sin A ∴AB=2sin C,BC=2sin A. 又 A+C=120° ,∴AB+2BC=2sin C+4sin(120° -C) =2(sin C+2sin 120° cos C-2cos 120° sin C) =2(sin C+ 3cos C+sin C) =2(2sin C+ 3cos C) =2 7sin(C+α), 3 其中 tan α= ,α 是第一象限角. 2 由于 0° <C<120° ,且 α 是第一象限角, 因此 AB+2BC 有最大值 2 7. 答案 2 7 6. (2012· 课标全国)已知 a, b, c 分别为△ABC 三个内角 A, B, C 的对边, acos C+ 3asin C-b-c=0. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c. 解 (1)由 acos C+ 3asin C-b-c=0 及正弦定理得 sin Acos C+ 3sin Asin C-sin B- sin C=0. 因为 B=π-A-C,所以 3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0. π? 1 由于 sin C≠0,所以 sin? ?A-6?=2. π 又 0<A<π,故 A= . 3 1 (2)△ABC 的面积 S= bcsin A= 3,故 bc=4. 2 而 a2=b2+c2-2bccos A,故 b2+c2=8. 解得 b=c=2. 7.(2011· 安徽高考)在△ABC 中,若 a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边长,a= 3, b= 2,1+2cos(B+C)=0,求边 BC 上的高. 解 由 1+2cos(B+C)=0 和 B+C=π-A, 得 1-2cos A=0, 1 3 所以 cos A= ,所以 sin A= . 2 2

bsin A 2 再由正弦定理,得 sin B= = . a 2 π 由 b<a 知 B<A,所以 B 不是最大角,B< , 2 2 从而 cos B= 1-sin2B= . 2 2 3 1 由上述结果知 sin C=sin(A+B)= ? + ?. 2 ? 2 2? 3+1 设边 BC 上的高为 h,则有 h=bsin C= . 2 π π ? 8.(2012· 江西卷)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 A= ,bsin? ?4+C? 4 π ? -csin? ?4+B?=a. π (1)求证:B-C= ; 2 (2)若 a= 2,求△ABC 的面积. π π ? ?π ? ? 解 (1)证明:由 bsin? sin? ?4+C?-csin?4+B?=a,应用正弦定理,得 sin B· ?4+C?-sin π ? Csin? ?4+B?=sin A, 2 2 2 2 2 sin B? sin C+ cos C?-sin C? sin B+ cos B?= , 2 2 2 2 2 ? ? ? ? 整理得 sin Bcos C-cos Bsin C=1, 即 sin(B-C)=1, 3 π 由于 0<B,C< π,从而 B-C= . 4 2 3π 5π π (2)B+C=π-A= ,因此 B= ,C= . 4 8 8 π asin B 5π asin C π 由 a= 2,A= ,得 b= =2sin ,c= =2sin , 4 sin A 8 sin A 8 1 5π π π π 1 所以△ABC 的面积 S= bcsin A= 2· sin · sin = 2cos sin = . 2 8 8 8 8 2


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