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全国高中数学联赛江苏赛区2006年初赛试题答案


全国高中数学联赛江苏赛区 2006 年初赛试题答案
班级 __________ 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.已知数列 {an } 的通项公式 an ? A、 a1 B、 a2 姓名 __________

2 ,则 {an } 的最大项是 ________ n2 ? 4n ? 5
C、 a3 D、 a4


解:分母先减后增,以 n ? 2 为最小值点,所以 a2 最大,故选 B . 2.函数 y ? 3
log3 x

的图像是 ________

A

B

C

D

x ?1 ? x, ? 解:变式: y ? 3 log3 x ? ? 1 ,故选 A . ?x , 0 ? x ?1 ?
3.已知抛物线 y 2 ? 2 px , O 是坐标原点, F 是焦点, P 是抛物线上的点,使得 ?POF 是直角三角 形,则这样的点 P 共有 ________ A、0 个 B、2 个 C、4 个 D、6 个

解:只须考虑直角的可能情形: 由抛物线的光学性质:平行与抛物线对称轴的光线射到抛物线 上,反射后必经过抛物线的焦点;这样反射点的切线与法线垂 直;因此,旋转可知: ?OPF 不可能是直角;而 ?POF 显然不 可能是直角,所以只有 ?OFP 可能是直角;故选 B . 4.设 f ( x) 是定义在 R 上单调减的奇函数.若 x1 ? x2 ? 0 , x2 ? x3 ? 0 , x3 ? x1 ? 0 ,则 ________ A、 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? 0 C、 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? 0 B、 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? 0 D、 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 )

解:由 x1 ? x2 ? 0 ? x1 ? ? x2 ? f ( x1 ) ? f (? x2 ) ? f ( x1 ) ? ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ; 同理可得: f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? 0 , f ( x3 ) ? f ( x1 ) ? 0 ; 三式相加可得: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? 0 ;故选 B .

1

5.过空间一定点 P 的直线中,与长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的 12 条棱所在直线都成等角的直线一共 有 ________ A、0 条 B、1 条 C、4 条 D、无数条

解:由于 12 条棱是由三组棱构成,每组 4 条互相平行; 而这三组恰可由过一顶点 P 的 3 条棱代表;过这个 顶点 P 的 3 条棱,两两互相垂直;又空间一点可以 通过平移,看成过这个顶点 P 的情形;考虑正方体 如右图,绿色正方体是题目中的长方体,其余 7 个 正方体是辅助的(因为正方体才会有等角) ;与中间 3 条红棱成等角的直线共有 4 条,即过点 P 的大正方 体的 4 条体对角线;故选 C . 6.在 ?ABC 中, tan A ?
P

1 3 10 , cos B ? ,若 ?ABC 的最长边为 1,则最短边的长为 ________ 10 2
3 5 5
C、

A、

4 5 5

B、

2 5 5

D、

5 5

解:构造适合的图形,取 AB ? 5k ,点 D 在 AB 上, CD ? AB ; 且有 AD ? 2k , BD ? 3k , CD ? k ; 于是 AB 最长, AC 最短, AC ? 5k ;而 AB ? 5k ? 1 ;
A D B C

1 5 因此, AC ? 5 ? ? ;故选 D . 5 5
二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.集合 A ? {x x ? 3n , n ? N ,0 ? n ? 10} , B ? { y y ? 5m, m ? N , 0 ? m ? 6} ,则集合 A ? B 的所有元素 之和为 ________ 解: A ? {x x ? 3n , n ? N ,0 ? n ? 10} ? {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27} ;
B ? { y y ? 5m, m ? N ,0 ? m ? 6} ? {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30} ;

A ? B ? { 15 } ;
利用容斥原理: ? A ? B ? ? A ? ? B ? ? A ? B ? 135 ? 105 ? 15 ? 225 . 8.设 cos 2? ?

2 ,则 cos4 ? ? sin 4 ? 的值是 ________ 3

1 1 1 11 解:变式 cos4 ? ? sin 4 ? ? (cos2 ? ? sin 2 ? )2 ? 2sin 2 ? cos 2 ? ? cos 2 2? ? sin 2 2? ? cos 2 2? ? ? . 2 2 2 18
2

9. ( x ? 3x 2 )3 的展开式中, x 5 的系数为 ________
0 1 2 3 解:展开: ( x ? 3x2 )3 ? C3 x3 ? C3 x2 (?3x2 ) ? C3 x(?3x 2 )2 ? C3 (?3x 2 )3 ;

易知, x 5 的系数是 C32 (?3)2 ? 27 .

?y ? 0 ? 10.已知 ?3x ? y ? 0 ,则 x 2 ? y 2 的最大值是 ________ ?x ? 3y ? 3 ? 0 ?
解: x 2 ? y 2 的几何意义是可行域中的点 ( x, y ) 到原点的距离的平方; 画图便知: x 2 ? y 2 的最大值是 9 .

1 11.等比数列 {an } 的首项为 a1 ? 2020 ,公比 q ? ? .设 f (n) 表示这个数列的前 n 项的积, 2
则当 n ? ________ 时, f (n) 有最大值.

1 n( n ?1) 解: f (n) ? a1a2 ?an ? a1n q1? 2??? ( n ?1) ? 2020n ? (? ) 2 ; 2
易知:当 n 或 n ?1 是 4 的倍数时 f (n) 是正数,才可能是最大的;
1 2020 n ?1 ? ( ? ) 2 f (n ? 1) 1 2 ? ? 2020 ? ( ? ) n ,可知:取 n ? 12 ,适合; 考察: n ( n ?1) f ( n) 2 1 2 2020 n ? ( ? ) 2
( n ?1) n

故当 n ? 12 时, f (n) 有最大值. 12.长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,已知 AB1 ? 4 , AD1 ? 3 ,则对角线 AC1 的取值范围是 ________ 解:如图,设 AB ? x , AD ? y , AA1 ? z ; 则由已知可得: x ? z ? 4 ? 16 , y ? z ? 3 ? 9 ;
2 2 2
2 2 2

D1

C1

于是 AC12 ? x2 ? y 2 ? z 2 ? 16 ? 9 ? z 2 ? 25 ? z 2 ; 而由图形可知: 0 ? z ? 3 ; 所以 AC12 ? 25 ? z 2 ? (16, 25) ,即 AC1 ? (4, 5) .

A1 z A

3 D y 4 x B

B1 C

三、解答题(本题满分 60 分,第 13 题、第 14 题各 12 分,第 15 题 16 分,第 16 题 20 分)
? ? ? 2a ? ? ? ? 1? .若 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围. 13.设集合 A ? ? x log 1 ? 3 ? x ? ? ?2 ? , B ? ? x ? x?a ? ? ? 2 ? ?

解: A ? {x ?1 ? x ? 3} , B ? {x ? x ? a ?? x ? 3a ? ? 0} ; 当 a ? 0 时, B ? {x 0 ? a ? x ? 3a} ,由 A ? B ? ? ,得: 0 ? a ? 3 ;

3

当 a ? 0 时, B ? {x 3a ? x ? a ? 0} ,由 A ? B ? ? ,得: a ? ?1 ; 当 a ? 0 时, B ? {x x 2 ? 0} ? ? ,与 A ? B ? ? 不符. 综上所述, a ? ? ?1, 0 ? ? ? 0,3? . 14.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F , P , P2 ,?, P24 为 24 个依逆时针顺序排列在椭圆上的点,其中 P1 1 9 4

是椭圆的右顶点,并且 ?PFP2 ? ?P2 FP ? ?P FP4 ? ? ? ?P24 FP .若这 24 个点到右准线的距离 1 3 3 1 的倒数和为 S ,求 S 2 的值. 解:在椭圆中, a ? 3 , b ? 2 ,故 c ? 5 ;所以 F ( 5, 0) , e ?

5 ; 3

设 FPi 与 x 轴正方向的夹角为 ?1 , d i 为点 Pi 到右准线的距离; 则 di ? e cos ?i ? 1? ? 同理:

1 c a2 ? c .即 ? 2 ? e cos ?i ? 1? ; di b c

1 di ?12

?

c c e cos ?i ?12 ? 1? ? 2 ? ? cos ?i ? 1? ; 2 ? b b

所以:

24 1 1 1 2c 5 ;从而 ? ? 6 5 ,于是, S 2 ? 180 . ? ? 2 ? di di ?12 b 2 di i ?1

15. ?ABC 中, AB ? AC , AD 、 AE 分别是 BC 边上的高和中线,且 ?BAD ? ?EAC ; 证明 ?BAC 是直角. 证明:如图,取 AB 中点 I ,连 ID、IE ; 则 IE 为中位线,所以 IE // AC ,且 ?IEA ? ?EAC ; 而 ?BAD ? ?EAC , 所以 ?IEA ? ?BAD .…………① 在直角 ?ADB 中, I 为斜边中点, 所以 ID ? IA , 从而 ?BAD ? ?IDA .…………② 联合①、②得 A、I、D、E 四点共圆; ∴ ?BAD ? ?IEB ? ?C ,∴ ?B ? ?C ? 90? ,即 ?BAC ? 90? . 16.设 p 是质数,且 p 2 ? 71 的不同正因数的个数不超过 10 个.求 p . 解:当 p ? 2 时, p 2 ? 71 ? 75 ? 3 ? 52 ,有 (1 ? 1)(2 ? 1) ? 6 个正因数; 当 p ? 3 时, p 2 ? 71 ? 80 ? 24 ? 5 ,有 (4 ? 1)(1 ? 1) ? 10 个正因数; 所以 p ? 2 、 p ? 3 满足条件; 当 p ? 3 时, p 2 ? 71 ? ( p ? 1)( p ? 1) ? 72 ;
4
B D E C I A

其中 p 为奇质数,所以 ( p ? 1) 与 ( p ? 1) 是相邻的两个偶数, 从而必然有一个 2 的倍数和 4 个倍数,还必然有一个 3 的倍数, 从而 ( p ? 1)( p ? 1) 是 24 的倍数; 设 p 2 ? 71 ? 24 ? m ? 23 ? 3 ? m ,其中 m ? 4 ; 若 m 中有不同于 2、3 的质因数,则 p 2 ? 71 的正因数个数 ? ? 3 ? 1??1 ? 1??1 ? 1? ? 10 ; 若 m 中含有质因数 3,则 p 2 ? 71 的正因数个数 ? ? 3 ? 1?? 2 ? 1? ? 10 ; 若 m 中仅有质因数 2,则 p 2 ? 71 的正因数个数 ? ? 5 ? 1??1 ? 1? ? 10 ; 所以 p ? 3 不满足条件; 综上所述,所求得的质数 p 是 2 或 3.

5


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