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甘肃省兰州一中2013届高三第三次模拟考试数学文试题 Word版含答案


兰州一中 2013 届高三第三次模拟考试数学文试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~24 题 为选考题,其它题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效.考 试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码 上的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标 号;非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清 楚. 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损. 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的 题号涂黑.

第 I 卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 集合 A ? {x ? N|x ? 6}, B ? {x ? R|x 2 ? 3x ? 0} ,则 A ? B ? ( A. {3,4,5} B. {4,5,6} C. {x | 3 ? x ? 6} ) ) D. {x | 3 ? x ? 6}

2.已知 i 是虚数单位,则 A. ? i

1 ? 2i 等于( 2?i 4 ?i 5

B.

C.

4 3 ? i 5 5
)

D. i

3. 若向量 a , b 满足 | a |?| b |?| a ? b |? 1 ,则 a ? b 的值为( A. ?

1 2

B.

1 2

C. ?1

D. 1 )

4.公差不为零的等差数列第 2,3,6 项构成等比数列,则这三项的公比为( A.1 B.2 C.3 ) D.4

5.执行如右图所示的程序框图,输出的 S 值为(

A. 2

50

?1

B.

2 26 (4 ? 1) 3 2 25 (4 ? 1) 3

C. 2

51

?1

D.

6. 某几何体的三视图如下,则几何体的表面积为(



A. 28+6 5 B. 30+6 5 C. 56+12 5 D. 60+12 5

7.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? 3 cos(? x ? ? )(? ? 0,| ? |? ) ,其图象相邻的两条对称轴 2 方程为 x ? 0 与 x ?

?

?
2

,则(

)

A.f(x)的最小正周期为 2?,且在(0, ?)上为单调递增函数 B.f(x)的最小正周期为 2?,且在(0, ?)上为单调递减函数 C.f(x)的最小正周期为?,且在 (0, D.f(x)的最小正周期为?,且在 (0,

?
2

) 上为单调递增函数 ) 上为单调递减函数

?
2

8.函数 f(x)=ln(x-

1 )的图象是( x

)

9.过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线 l 与抛物线在第一象限的交点为 A,直线 l 与 ???? ??? ? 抛物线的准线的交点为 B,点 A 在抛物线的准线上的射影为 C,若 AF ? FB , ??? ??? ? ? BA ? BC ? 36 ,则抛物线的方程为( ) A. y 2 ? 6 x B. y 2 ? 3x C. y 2 ? 12 x D. y2 ? 2 3x

10.已知 A,B,C,D 是同一球面上的四个点,其中△ABC 是正三角形,AD⊥平面 ABC, AD=2AB=6 , 则该球的表面积为( A.16 ? B.24 ? ) C.32 3

?

D.48 ?

11. 过双曲线

a2 x2 y 2 x ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F (?c,0)(c ? 0) , 作圆: 2 ? y 2 ? 的切线, 2 4 a b

??? 1 ??? ??? ? ? ? 切点为E, 延长FE 交双曲线右支于点P, OE ? (OF ? OP) , 若 则双曲线的离心率为( 2
A.
10 2

)

B.

10 5

C.

10

D.

2

12. 已知函数 y ?

x3 mx2 ? (m ? n) x ? 1 的两个极值点分别为 x1,2, x1?(0, 1),2?(1, +?), x 且 x ? 3 2

记 分 别 以 m , n 为 横 、 纵 坐 标 的 点 P(m,n) 表 示 的 平 面 区 域 为 D , 若 函 数
y ? log a ( x ? 4)(a ? 1) 的图象上存在区域 D 内的点,则实数 a 的取值范围为(

)

A. (1,3]

B. (1,3)

C. (3, ??)

D. [3, ??)

第Ⅱ卷(共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分. 13.某市有 A、B、C 三所学校共有高三文科学生 1500 人,且 A、B、C 三所学校的高三文 科学生人数成等差数列,在三月进行全市联考后,准备用分层抽样的方法从所有高三文 科学生中抽取容量为 120 的样本,进行成绩分析,则应从 B 校学生中抽取________人.

?4 x ? y ? 9 ? 0 ? 14.已知函数 x, y满足 ? x ? y ? 1 ? 0 , 则z ? x ? 3 y 的最大值是 ?y ? 3 ?

.

15. 设曲线 y ? xn?1 (n ? N * ) 在点 (1, 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 x n , an ? lg xn , 1) 令 则 a1 ? a2 ? ? ? a99 的值为 16.观察下列算式: 13 =1, 23 =3+5, 33 = 7+9+11, 43 =13 +15 +17 +19 , .

…… 若某数 n3 按上述规律展开后,发现等式右边含有“2013”这个数,则 n= .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a, b, c, 且 2(a2+b2-c2)=3ab. (Ⅰ)求 sin 2 A ? B ;
2

(Ⅱ)若 c=2,求△ABC 面积的最大值.

18.(本小题满分 12 分) 在某大学自主招生考试中,所有选报 II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅 读与表达”两个科目的考试,成绩分为 A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生的两科考试成 绩的数据统计如下图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人.

(Ⅰ)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数; (Ⅱ)若等级 A,B,C,D,E 分别对应 5 分,4 分,3 分,2 分,1 分,求该考场考生“数 学与逻辑”科目的平均分; (Ⅲ)已知参加本考场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为 A. 在至少一科成绩为 A 的考生中,随机抽取两人进行访谈,求这两人的两科成绩均为 A 的概率.

19.

(本小题满分 12 分)

在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧面 ABB1A1 为矩形,AB=1,AA1= 2 ,D 为 AA1 的中点,BD 与 AB1 交于点 O,CO 丄侧面 ABB1A1. (Ⅰ)证明: BC?AB1; (Ⅱ)若 OC=OA,求三棱锥 B1-ABC 的体积.

20. (本小题满分 12 分) 如图,已知椭圆
x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F,过点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点,线段 4 3

AB 的中点为 G,AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交于 D、E 两点.

1 (Ⅰ)若点 G 的横坐标为 ? ,求直线 AB 的斜率; 4
(Ⅱ)记△GFD 的面积为 S1,△OED(O 为原点)的面积为 S2. 试问:是否存在直线 AB,使得 S1=S2?说明理由.

21. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? ax ? ln x, x ? (0, e], g ( x) ?

ln x ,其中 e 是自然常数, a ? R. x

(Ⅰ)当 a ? 1 时, 研究 f ( x ) 的单调性与极值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求证: f ( x ) ? g ( x ) ?

1 ; 2

(Ⅲ)是否存在实数 a ,使 f ( x ) 的最小值是 3?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明

理由.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答 时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示, 已知 PA 与⊙O 相切, 为切点, A 过点 P 的割线交圆于 B、 两点, CD∥AP, C 弦 AD、BC 相交于点 E,F 为 CE 上一点,且 DE2 = EF· EC. (Ⅰ)求证:CE· = EF· EB EP; (Ⅱ)若 CE:BE = 3:2,DE = 3,EF = 2,求 PA 的长.

23. (本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程

3 ? ? x ? ?1 ? 5 t 在平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数).若以坐标原点 O 4 ? y ? ?1 ? t 5 ?
为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为

? ? ? 2 sin(? ? ) .
4
(Ⅰ) 求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ) 求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲. 设函数 f(x)=|2x-1|+|2x-3| , x∈R. (Ⅰ)解不等式 f(x)≤5; (Ⅱ)若 g ( x) ?

1 的定义域为 R,求实数 m 的取值范围. f ( x) ? m

2013 年兰州一中高考三模参考答案 数学文科
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分.

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