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东厦中学高二理科数学第二次质检考试


2015-2016 学年度高二级第二次质量检测(东厦、达侨联考)

理科数学试卷
学校:__________姓名:__________班级:__________考号:__________ 一、选择题(共 12 题,每题 5 分,共 60 分) 1、命题“若-1<x<1,则 x2<1”的逆否命题是( ) 2 A.若 x≥1 或 x≤-1,则 x ≥1

B.若 x2<1,则-1<x<1 C.若 x2>1,则 x>1 或 x<-1 D.若 x2≥1,则 x≥1 或 x≤-1 2、已知全集 U 为实数集,集合 A={x|x2﹣2x﹣3<0},B={x|y=ln(1﹣x)}, 则图中阴影部分表示的集合为( ) A.{x|1≤x<3} B.{x|x<3} C.{x|x≤﹣1} D.{x|﹣1<x<1}

3、已知直线 l1 : y ? ax ? 1与 l2 : y ? 3x ? 2 互相垂直,则 a =( A. 3 B. ? 3 C.

) D. ?

3 3

3 3

4、已知命题 p:a2≥0(a∈R) ,命题 q:函数 f(x)=x2-x 在区间[0,+∞)上单调递增, 则下列命题中为真命题的是( ) A.p∨q B.p∧q C. (┐p)∧(┐q) D. (┐p)∨q 5、 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 点 E 为上底面 A1C1 的中心, 若 AE ? AA1 ? xAB ? y AD , 则 x, y 的值是 ( A. x ?
1 1 ,y? 2 2

??? ?

????

??? ?

????



B. x ? 1 , y ?

1 2

C. x ?

1 , y ?1 2

D. x ? 1 , y ? 1 ) D. m ? 2 ? m ? 2?

? ?? ,则 m 的取值范围是( 6、若函数 f ( x) ? x 2 ? mx ? 1 的值域为 ?0,
A. m ? 2 ? m ? 2?
2

?

B. ?- 2,2?

C. m m ? ? 2, 或m ? 2?

?

?

7、若 P ? 2, ?1? 为圆 ? x ? 1? ? y 2 ? 25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程为 ( ) A. 2 x ? y ? 3 ? 0 8、已知等差数列 B. x ? y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 5 ? 0 D. x ? y ? 3 ? 0

{an }的前n项和为Sn , 且a2 ? a4 ? ?30, a1 ? a4 ? a7 ? ?39, 则使得Sn
C.10 D.11 ) .

达到最小值的 n 是( ) A.8 B.9

9、在同一直角坐标系中,方程 y ? ax 与 y ? x ? a 的图形正确的是(

试卷第 1 页,总 4 页

10、已知倾斜角为 ? 的直线 l 与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行,则 tan 2? 的值为 A

(

)

4 5

B

3 4

C

2 3

D

4 3

11、某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为(



A.8﹣2π

B.8﹣π

C.8﹣

D.8﹣

12、若 ?ABC 的三个内角 A,B,C 满足 6sin A ? 4sin B ? 3sin C ,则 ?ABC ( ) A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形 D. 可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形
二、填空题(共 4 题,每题 5 分,共 20 分)
2 13、命题“ ?x0 ? ?1, x0 ? x0 ? 2016? 0 ”的否定是



14、设等比数列 ?an ? 的前n项和为 Sn , 且

S4 1 S ? , 则 12 = S8 4 S16

15、 f ? x ? ? ? sin ?? x ? ? ?( ? ,? ,? 为常数,? ? 0 ,? ? 0 ,0 ? ? ? ? ) 的图象如图所示,则 f ?

?? ? ? 的值为 ?3?



16、在平面直角坐标系 xOy 中, O 为坐标原点.定义 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) 两 点之间的“直角距离”为 d (P, Q) ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 .已知 B(1,1) ,点 M 为直线 x ? y ? 4 ? 0 上 的动点,则 d ( B, M ) 的最小值为 .

试卷第 2 页,总 4 页

三、解答题( (共 5 题,每题 14 分,共 70 分) )

17、已知在等比数列{an}中,a1=1,且 a2 是 a1 和 a3﹣1 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 bn=2n﹣1+an(n∈N*) ,求{bn}的前 n 项和 Sn.

18、已知圆 C 的方程为: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 (1)求 m 的取值范围; (2)若圆 C 与直线 3 x ? 4 y ? 6 ? 0 交于 M、N 两点,且 MN ? 2 3 ,求 m 的值. (3)设直线 x ? y ? 1 ? 0 与圆 C 交于 A , B 两点,是否存在实数 m ,使得以 AB 为直径的圆过原点, 若存在,求出实数 m 的值;若不存在,请说明理由.

19、已知 p :| x ? 1 |? 2 , q : ( x ? 1)(x ? m) ? 0 . (1)若 m ? 4 ,命题“ p 或 q ”为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围.

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20、 如图正方形 ABCD 的边长为 2 ,四边形 BDEF 是平行四边形,BD 与 AC 交于点 G, O 为 GC 的中点,FO= ,且 FO⊥平面 ABCD. (Ⅰ)求证:AE∥平面 BCF; (Ⅱ)求证:CF⊥平面 AEF; (Ⅲ)求二面角 A﹣CF﹣B 余弦值的大小.

21、如图,在平面直角坐标系 xOy 中,平行于 x 轴且过点 A(3 3,2)的入射光线 l1 被 直线 l:y= 3 x 反射.反射光线 l2 交 y 轴于 B 点,圆 C 过点 A 且与 l1 、l2 都相切. 3

(1)求 l2 所在直线的方程和圆 C 的方程; (2)设 P,Q 分别是直线 l 和圆 C 上的动点,求|PB|+|PQ|的最小值及此时点 P 的坐标.
y l A O B l2 x l1

试卷第 4 页,总 4 页

参考答案 一、选择题 1、 【答案】D 【解析】若原命题是“若 p,则 q”,则逆否命题为“若綈 q 则綈 p”, 故此命题的逆否命题是“若 x2≥1,则 x≥1 或 x≤-1”. 2、 【答案】A

【解析】根据题意,求得 A ? ?x | ?1 ? x ? 3? , B ? ?x | x ? 1? ,图中阴影部分为 A ? (CU B) , 所以答案为 ?x |1 ? x ? 3? ,故选 A. 考点:集合的运算. 3、 【答案】D 4、 【答案】A 【解析】由已知,命题 p 真,命题 q 假,所以 p ? q 真, p ? q 假, ??p ? ? ??q ? 假, ??p ? ? q 假. 5、 【答案】A 【 解 析 】 根 据 题 意 , 结 合 正 方 体 的 性 质 , 可 知 AE = AA1 + A1 E = AA1 +

??? ?

???? ????

???? 1 ??? ? 1 ???? 1 1 = AA1 + AB + AD ,所以有 x ? , y ? ,故选 A. 2 2 2 2
6、 【答案】B 7、 【答案】D

???? 1 ???? ? 1 ????? A1 B1 + A1 D1 2 2

【解析】设圆心为 C(1,0) ,可知 PC ? AB.由 kPC ? ?1 得, kAB ? 1 .然后由点斜式可得直线 AB 的方 程为 x ? y ? 3 ? 0 . . 8、 【答案】C 【解析】因为

{an } 的前 n 项和为 Sn 且 , 2 a? 4 a ? ? 3 0 ,1 a? 4 a? 7 a ? ?3 则使得 9,

n取

S 得最小值时,

a3 ? ?15, a4 ? ?13?a5 ? ?11, an ? ?15 ? 2(n ? 3) ? 2n ? 21, 可见从第 11 项开始变为正数,因此最小的 n
值为 10,选 C 9、 【答案】C 【解析】当 a ? 0 时,直线 y ? ax 的斜率为正且图像在一、三象限,而直线 y ? x ? a 的斜率为正且在 y 轴上的截距为正,图像过一、二、三象限.所以答案 A、B 错误;当 a ? 0 时,直线 y ? ax 的斜率为负且 图像在二、四象限,而直线 y ? x ? a 的斜率为正且在 y 轴上的截距为负,图像过一、三、四象限 10、 【答案】D 11、 【答案】B 【解析】解:由已知中的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的柱体,其底面面积 S=2×2﹣ 2× ×π ×12=4﹣ ,柱体的高 h=2,故该几何体的体积 V=Sh=8﹣π ,

12、 【答案】C 【 解 析 】 因 为 6sin A ? 4sin B ? 3sin C , 由 正 弦 定 理 得 6a=4b=3c , 则 三 角 形 最 大 的 边 为 c , 又
答案第 1 页,总 4 页

1 2 9 2 2 c ? c ?c a ?b ?c 1 4 16 cosC= ? ? ? ,所以角 C 为钝角,则选 C. 1 3 2ab 2 c? c 2 4
2 2 2

二、填空题

13、 【答案】 ?x ? ?1, x 2 ? x ? 2016? 0 14、 【答案】 15、 【答案】 1 【解析】由图可知, A ? 2 , T ?

3 4

11? ? 3? ? ? ,? T ? ? , ? ? 2 ,所以 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? ? , 12 6 4

? ?? ? ?? ? ?? ? f ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? 2,sin ? ? ? ? ? 1,? ? , 6 ?6? ?3 ? ?3 ?
所以 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? 16、 【答案】4
三、解答题

? ?

??

? ? 5? ?? ? ? 1. ? ,所以 f ? ? ? 2sin(2 ? ? ) ? 2sin 6? 3 6 6 ? 3?

17、 【答案】 (1)设公比为q,∵a1=1,则a2=q,a3=q2. ∵a2是a1和a3﹣1的等差中项.∴2a2=a1+a3﹣1,∴2q=1+q2﹣1, ∵q≠0,解得q=2.∴an=2n﹣1. · · · · · · · · · · · · · · ·7分 n﹣1 (2)∵bn=2n﹣1+an=2n﹣1+2 . ∴{bn}的前n项和Sn=[1+3+?+(2n﹣1)]+[1+2+22+?+2n﹣1] = =n2+2n﹣1.
18、 【解析】 (1)由 D2+E2-4F=4+16-4m=20-4m>0,得 m<5. (2) x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 ,即 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 5 ? m , 所以圆心 C(1,2) ,半径 r ? 5 ? m ,

+ · · · · · · · · · · · · · ·14分

· · · · · · · · · · · · · ·2 分

? 圆心 C(1,2)到直线 3x ? 4 y ? 6 ? 0 的距离 d ?

3?8?6 32 ? 42

?1
· · · · · · · · · · · · ·7 分

又 MN ? 2 3 ,?r 2 ? 12 ? ( 3)2 ? 4 ,即 5 ? m ? 4 ,? m ? 1 . ·

( 3 ) 假 设 存 在 实 数 m 使 得 以 AB 为 直 径 的 圆 过 原 点 , 则 OA ? OB, 设 A( x ) 则 1, y 1 ), B ( x 2 ,y 2 ,

? x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 得 2 x2 ? 8x ? 5 ? m ? 0 , x1 x2 ? y1 y2? 0 ,由 ? ? x ? y ?1 ? 0
?? ? 64 ? 8(m ? 5) ? 24 ? 8m ? 0 ,即 m ? 3 ,又由(1)知 m ? 5 ,
答案第 2 页,总 4 页

故m?3

x1 ? x2 ? 4, x1 x2 ?

m?5 2 m?5 m ?1 ?3 ? 2 2

? y1 y2 ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? ? x1 x2 ? y1 y2 ?
19、 【答案】

m ? 5 m ?1 ? ? m?2?0 2 2 ? m ? ?2 ? 3 , 故存在实数 m 使得以 AB 为直径的圆过原点, m ? ?2 . ·

· · · · · · · · · · ·14 分

(1)当 m ? 4 时, q : ?1 ? x ? 4 ,又 p : ?3 ? x ? 1 . 因为命题“ p 或 q ”为真,则 p真q真 或 p真q假 或 p假q真 , 所以 ?

? x ? ?1或x ? 4 ?? 1 ? x ? 4 ?? 1 ? x ? 4 或? 或? , ?? 3 ? x ? 1 ? x ? ?3或x ? 1 ?? 3 ? x ? 1
· · · · · · · · · · · ·7 分

解得 ? 3 ? x ? 4 ; 所以满足“ p 或 q ”为真的 x 的取值范围为 ? 3 ? x ? 4 . (2)由题意,得命题 p 对应的数集为 A ? ?? 3,1?,命题 q 对应的数集为 B ; 因为 p 是 q 的必要不充分条件,所以 B ? A ,则 ?
?

解得 ? 3 ? m ? 1 .

?? 2(?3 ? m) ? 0 , ?2(1 ? m) ? 0
· · · · · · · · · · · ·7分

20、 (Ⅰ)证明:取BC中点H,连结OH,则OH∥BD, 又四边形ABCD为正方形,∴AC⊥BD, ∴OH⊥AC,∴以O为原点,建立如图所示的直角坐标系, · · · · · · · · · · · ·2分 则A(3,0,0) ,E(1,2,0) ,C(﹣1,0,0) ,D(1,﹣2,0) ,F(0,0, ) , =(﹣2,﹣2,0) , =(1,0, ) , =(﹣1,﹣2, ) , 设平面BCF的法向量为 =(x,y,z) , 则 ,取z=1,得 =(﹣ , ,1) , , )=(﹣3,﹣3, ) ,

又四边形BDEF为平行四边形,∴ ∴ = = =(﹣2,﹣2,0)+(﹣1,﹣2, ∴ =3 ﹣4 + =0, ∴AE ,又AE?平面BCF,∴AE∥平面BCF. (Ⅱ)证明: , =﹣3+3=0, =﹣3+3=0, ∴ , , 又AE∩AF=A,∴CF⊥平面AEF. (Ⅲ)解:∵OH⊥平面ACF, ∴ 是平面ACF的法向量, 平面BCF的法向量为 =(﹣ , ,1) ,
答案第 3 页,总 4 页

· · · · · · · · · · · ·7分

· · · · · · · · · · · ·11分

设二面角A﹣CF﹣B的平面角为θ , ∴cosθ = = = .

· · · · · · · · · · · ·14分

21、 【答案】解: (1)直线 l1 : y ? 2, 设 l1交l于点D,则( . D 2 3, 2)

? l 的倾斜角为 30? ,?l2的倾斜角为60?, ? k2 ? 3.
? 反射光线 l2 所在的直线方程为 y ? 2 ? 3( x ? 2 3) .
已知圆 C 与 l1切于点A ,设C(a,b), 即 3x ? y ? 4 ? 0 .

?

圆心 C 在过点 D 且与 l 垂直的直线上,?b ? ? 3a ? 8 ,

又圆心 C 在过点 A 且与 l1 垂直的直线上,? a ? 3 3 ,?b ? ? 3a ? 8 ? ?1 ,圆 C 的半径 r=3, 故所求圆 C 的方程为 ( x ? 3 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 9 .

· · · · · · · · · · · ·7 分

? y0 ? 4 3 x0 ? ? ? ? 2 3 2 (2)设点 B ? 0, ?4? 关于 l 的对称点 B?( x0 , y0 ) ,则 ? ,得 B?(?2 3, 2) , ? y0 ? 4 ? ? 3 ? ? x0
固定点 Q 可发现,当 B?、P、Q 共线时, PB ? PQ 最小,

? y ?1 x ?3 3 ? ? 3 1 ? 2 ? 1 ?2 3 ? 3 3 故 PB ? PQ 的最小值为 B?C ? 3 ? 2 21 ? 3 .此时由 ? ,得 P ( , ). 2 2 3 ? y ? x ? 3 ? · · · · · · · · · · · ·14 分

答案第 4 页,总 4 页


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