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复合函数求导法则复习


复习
变量树图

z ? f [? ( x , y ),? ( x , y )]

u

u

v

x

z
v
? z ? z ? u ?z ?v ? ? ? ? ? x ? u ? x ?v ?x

y

r />公式特征:
1、偏导数公式个数=自变量个数

?z ? z ? u ?z ? v ? ? ? ? ?y ? u ? y ?v ? y

2、项数=中间量个数
3、每项=函数对中间变量的偏导, 乘中间变量对其指定自变量的偏导.

中间变量多于两个的情形

设u ? ? ( x , y ), v ? ? ( x , y ), w ? ? ( x , y )
都在点( x , y )处具有对x和y的偏导数, 复合函数

z ? f [? ( x , y ),? ( x , y ), ? ( x , y )] 在对应点 ( x , y ) u v w 的两个偏导数存在, 且可用下列公式计算:

? z ? z ? u ?z ?v ? z ? w ? ? ? ? x ? u ? x ?v ?x ? w ? x
?z ?z ?u ? z ? v ? z ? w ? ? ? ?y ?u ?y ? v ? y ? w ? y
z

u

x

v w

y

中间变量为 一元函数

z ? f ( u, v ), u ? ? ( t ), v ? ? ( t ) 的情形.
定理 如果函数u ? ? ( t )及v ? ? ( t )都在点t可导,
函数z ? f ( u, v )在对应点( u, v )具有连续偏导数, 则复合函数z ? f [? ( t ),? ( t )]在对应点t可导, 且

其导数可用下列公式计算: d z ?z du ? z d v ? ? . d t ?u dt ? v d t

dz 导数 称为全导数。 dt

推广 复合函数的中间变量多于两个的情况.

如z ? f ( u, v , w ), u ? u( t ), v ? v ( t ), w ? w( t )
变量树图

z

dz ? z du ?z d v ?z d w ? ? ? ? ? ? dt ? u dt ?v d t ?w d t

u v w

t

例. 设 y ? (cos x )

sin x

dy ,求 dx

法一 解. 这是幂指函数的导数,可用取对数求导法计算. 但用全导数公式较简便. 法二 令u ? cos x , v ? sin x , 则y ? uv d y ?y du ?y d v u ? ? y d x ?u dx ? v d x v

x

? vuv ?1 ( ? sin x ) ? uv ln u(cos x )

? (cos x )1? sin x [ln cos x ? tan 2 x ]

z ? f ( u, x , y ), 其中u ? ? ( x , y ) 的情形.
即 z ? f [? ( x , y ), x , y ], u v w ?w ?v ? 0, ? 1, ?x ?x
? z ?f ?u ? f ? ? , ? ? x ?u ?x ? x
?z ?z ?u ?z ?v ?z ?w ? ? ? ?x ?u ?x ?v ?x ?w ?x

?z ?z ?u ?z ?v ?z ?w ? ? ? ?y ?u ?y ?v ?y ?w ?y

?v ? 0, ?w ? 1. ?y ?y ? z ?f ?u ? f ? ? ? . ? y ?u ?y ? y

两者的区别 把复合函数 z ? f [? ( x , y ), x , y], 中的y 看作不变而对x的偏导数

把 z ? f ( u, x , y ) 中的u及y看作不变 而对x的偏导数



为了书写简便,常引进记号:
f 1? 表示对第一个中间变量求偏导,

f 2? 表示对第二个中间变量求偏导,

? f12? 表示先对第一个中间变量求偏导,再
对第二个中间变量求偏导.

设 z ? f ( x ? y , ln x, y ) 求
2 2

?z ?z , . ?x ?y

1 ?z 1 ? f1? ? 2 x ? f 2? ? ? f 3? ? 0 ? 2 xf1? ? f 2? 解. x ?x x
?z ? f1? ? ( ?2 y ) ? f 2? ? 0 ? f 3? ? 1 ? ?2 yf1? ? f 3? ?y

y 练习 已知f(t)可微,证明 z ? 2 2 满足方程 f (x ? y ) 1 ?z 1 ?z z ? ? 2. x ?x y ?y y y 2 2 提示 引入中间变量,令t ? x ? y , 则 z ? f (t )
t, y 为中间变量, x, y 为自变量.

?z 2 xyf ?( t ) ?? , 2 ?x f (t )
?z 1 2 y 2 f ?( t ) ? ? . 2 ?y f ( t ) f (t )


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