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高中函数值域求法小结


函数值域求法小结
一、观察法(根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数)
2 1、求 y ? ? x ? 4 ? 2 的值域。

由绝对值函数知识及二次函数值域的求法易得:

g ( x) ? ? x 2 ? 4 ? 2 ? ?0, ? ? ?, 所以 y ? ?? 2, ? ? ?
2、求函数 y

?

1 的值域。 x ?1 ?1

分析:首先由 x ? 1 ? 0,得 x ? 1 +1 ? 1,然后在求其倒数即得答案。 解:

x ? 1 ? 0? x ? 1 +1 ? 1,? 0<

1 ? 1,? 函数的值域为(0,1]. x ?1 ?1

二、 配方法 (当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时, 可利用配方法求值域) 1、求函数 y ? 2 ? ? x 2 ? 4x ( x ? ?0, 4?) 的值域。 设: f ( x) ? ? x 2 ? 4x( f ( x) ? 0) 配方得: f ( x) ? ?( x ? 2) 2 ? 4( x ? ?0, 4?) 利用二次函数的 相关知识得 f ( x) ? ?0, 4? ,从而得出: y ? ?? 2, 2? 。 说明:在求解值域(最值)时,遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限 制,本题为: f ( x) ? 0 。 2、求函数 y ? e
? x 2 ? 4 x ?3

的值域。

u 2 解答: 此题可以看作是 y ? e 和 u ? ? x ? 4 x ? 3 两个函数复合而成的函数, 对 u 配方可得:

u ? ?( x ? 2) 2 ? 1 ,得到函数 u 的最大值 u ? 1 ,再根据 y ? e u 得到 y 为增函数且 y ? 0 故
函数 y ? e
? x 2 ? 4 x ?3

的值域为: y ? (0, e] 。

3、若 x ? 2 y ? 4, x ? 0, y ? 0 ,试求 lg x ? lg y 的最大值。 本题可看成一象限动点 p ( x, y ) 在直线 x ? 2 y ? 4 上滑动时函数 lg x ? lg y ? lg xy 的最大 值 。 利 用 两点 (4 , 0) , (0 , 2) 确 定 一 条直 线 , 作出 图 象 易 得:

x ? (0,4), y ? (0,2),而lg x ? lg y ? lg xy ? lg[ y(4 ? 2 y)] ? lg[?2( y ? 1) 2 ? 2
,y=1 时, lg x ? lg y 取最大值 lg 2 。 三、反函数法(分子、分母只含有一次项的函数,也可用于其它易

反解出自变量的函数类型) 对于存在反函数且易于求得其反函数的函数, 可以利用 “原函数的定义域和值域分别为其反 函数的值域和定义域”这一性质,先求出其反函数,进而通过求其反函数的定义域的方法求 原函数的值域。 1、求函数 y ?

2x 的值域。 x ?1

由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出 x,从而便于求出反函数。

y?

y 2x x 反解得 x ? 即y? x ?1 2? x 2? y

故函数的值域为: y ? (??,2) ? (2,??) 。 (反函数的定义域即是原函数的值域) 2、求函数 y ?

ex ?1 的值域。 ex ?1
e x ?1 e x ?1

解答:先证明 y ?

有反函数,为此,设 x1 ? x 2 且 x1 , x2 ? R ,

y1 ? y 2 ?

e x1 ? 1 e x2 ? 1 e x1 ? e x2 ? ? 2 ? 0。 e x1 ? 1 e x2 ? 1 (e x1 ? 1)(e x2 ? 1)

?x 所以 y 为减函数,存在反函数。可以求得其反函数为: y ?1 ? ln 1 。此函数的定义域为 1? x

x ? (?1, 1) ,故原函数的值域为 y ? (?1, 1) 。
四 、 判 别式 法 (分子、分 母中含 有二次 项的函数 类型, 此函数 经过变形 后可以 化为

A( y) x 2 ? B( y) x ? C( y) ? 0 的形式,再利用判别式加以判断)
1、求函数 y ?

2x 2 ? 4x ? 7 的值域。 x 2 ? 2x ? 3

由于本题的分子、分母均为关于 x 的二次形式,因此可以考虑使用判别式法,将原函数变形 为: x y ? 2 xy ? 3 y ? 2 x ? 4 x ? 7 整理得: ( y ? 2) x ? 2( y ? 2) x ? 3 y ? 7 ? 0 当 y ? 2
2 2 2

时,上式可以看成关于 x 的二次方程,该方程的 x 范围应该满足 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 ? 0 即
2

9 x ? R 此时方程有实根即△ ? 0 ,△ ? ?2( y ? 2)] 2 ? 4( y ? 2)( 3 y ? 7) ? 0 ? y ? [? ,2]. 2 9 注意:判别式法解出值域后一定要将端点值(本题是 y ? 2, y ? ? )代回方程检验。 2 9 9 将 y ? 2, y ? ? 分别代入检验得 y ? 2 不符合方程,所以 y ? [? ,2) 。 2 2
2、求函数 y ?
x ?1 x2 ?2 x?2

的值域。
2

解答:先将此函数化成隐函数的形式得: yx ? (2 y ? 1) x ? 2 y ? 1 ? 0 ,(1)

这是一个关于 x 的一元二次方程,原函数有定义,等价于此方程有解,即方程(1)的判别式

? ? (2 y ? 1) 2 ? 4 y(2 y ? 1) ? 0 ,
1 解得: ? 1 。 2 ? y ? 2 1 故原函数的值域为: y ? [? 1 。 2 , 2]

五、换元法(通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是无理函数、三角函数 (用三角代换)等) 1、求函数 y ? 2x ? 3 ? 13 ? 4x 的值域。 由 于 题 中 含 有 13 ? 4 x 不 便 于 计 算 , 但 如 果 令 : t ? 13 ? 4 x 注 意 t ? 0 从 而 得 :

x?

13 ? t 2 13 ? t 2 ?y ? ? 3 ? t (t ? 0) 变形得 2 y ? ?(t ? 1) 2 ? 8(t ? 0) 即: y ? (??,4] 4 2

注意:在使用换元法换元时一定要注意新变量的范围,否则将会发生错误。 2、已知 p ( x, y ) 是圆 x ? y ? 4 上的点,试求 t ? x ? y ? 3xy 的值域。
2 2 2 2 2 2 2 2 在三角函数章节中我们学过: sin ? ? cos ? ? 1注意到 x ? y ? 4 可变形为:

x y x y ( ) 2 ? ( ) 2 ? 1 令 ? cos ?, ? sin ?, ? ? [0, 2?)则 2 2 2 2

t ? 4 ? 3 ? 2 cos ? ? 2 sin ? ? 4 ? 6 sin 2? 又2? ? [0,4 ?)即 sin 2? ? [?1,1] 故 t ? [?2,10]
3、试求函数 y ? sin x ? cos x sin x ? cos x 的值域。
2 2 2 题中出现 cos x ? sin x ,而 sin x ? cos x ? 1, (sin x ? cos x) ? 1 ? 2 sin x cos x 由此联想

到将 cos x sin x 视为一整体,令 t ? sin x ? cos x ? [? 2 , 2 ] 由上面的关系式易得

t 2 ? 1 ? 2 sin x cos x ? sin x cos x ?

t 2 ?1 故原函数可变形为: 2

y?t?

t 2 ?1 1 (t ? [? 2, 2 ])即2 y ? (t ? 1) 2 ? 2, y ? (t ? 1) 2 ? 1? t ? [? 2 , 2 ] 2 2
1 ? 2] 2

? y ? [?1,

六、数形结合法(对于一些能够准确画出函数图像的函数来说,可以先画出其函数图像,然 后利用函数图像求其值域) 1、求函数 y ?

3 ? sin x 的值域。 2 ? cos x

分 析与 解:看 到该 函数的 形式 ,我们 可联想 到直 线中 已知两 点求直 线的 斜率 的公式

k?

y 2 ? y1 ,将原函数视为定点(2,3)到动点 (cos x, sin x) 的斜 x2 ? x1

率,又知动点 (cos x, sin x) 满足单位圆的方程,从而问题就转化 为求点(2,3)到单位圆连线的斜率问题,作出图形观察易得的 最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得,从而解得:

y ?[

6?2 3 6?2 3 , ] 3 3
Y

2、求函数 y ? x ?1 ? x ? 3 的值域。 分析:此题首先是如何去掉绝对值,将其做成一个分段函数。
y=-2x+4 y=2x-4

? ?2 x ? 4, x ? (??,1], ? y ? ? 2, x ? (1,3) , ? 2 x ? 4, x ? [3, ??), ?
在对应的区间内,画出此函数的图像,如图 1 所示,易得出函数的 值域为 [2,??) 。 七、不等式法(能利用几个重要不等式及推论来求得最值。 (如:

4

2 1 O 图1 3 X

,利用此法求函数的值域,要合理地添项和拆项,添项和拆 a 2 ? b 2 ? 2ab, a ? b ? 2 ab ) 项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量,同时,利用此法时应注意取 " ?" 成立的条 件。 )

4 的最值,并指出 f ( x) 取最值时 x 的值。 x2 4 4 因 为 f ( x) ? 8 x ? 2 ? 4 x ? 4 x ? 2 可 利 用 不 等 式 a ? b ? c ? 33 abc 即 : x x
1、当 x ? 0 时,求函数 f ( x ) ? 8 x ?

f ( x) ? 3 ? 3 4 x ? 4 x ?

4 4 所以 f ( x) ? 12 当且仅当 4 x ? 2 即 x ? 1 时取“ = ”当 x ? 1 时 2 x x

f ( x) 取得最小值 12。
2、双曲线

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? ? 1 的离心率为 e 2 ,则 e1 ? e2 的最 e 的离心率为 ,双曲线 1 a2 b2 b2 a2

小值是() 。 A2 2 B4 C2 D 2

根据双曲线的离心率公式易得:e1 ? e2 ?

a2 ? b2 a2 ? b2 ? , 我们知道 x ? y ? 2 xy a b

a2 ? b2 a2 ? b2 所以 e1 ? e2 ? 2 (当且仅当 ? a ab

a2 ? b2 时取“=” )而 a 2 ? b 2 ? 2ab b

故 e1 ? e2 ? 2 2 (当且仅当 a ? b 时取“=” ) 所以(e1 ? e2 )nm ? 2 2。 i 说明:利用均值不等式解题时一定要注意“一正,二定,三等”三个条件缺一不可。 3、求函数 y ? 解答: y ?
x?2 x ?1

的值域。

x?2 x ?1

?

x ?1 ?

1 x ?1

? 2 , 当 且 仅 当 x ? 1 时 " ?" 成 立 。 故 函 数 的 值 域 为

y ? [2,??) 。
此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是若能变通地运用此法,可以省去判别式法中介二次不等式的过程。 4、求函数 y ?
x2 ?2 x?2 x ?1

的值域。

解答:此题可以利用判别式法求解,这里考虑运用基本不等式法求解此题,此时关键是在分 子 中 分 解 出 " ( x ? 1)" 项 来 , 可 以 一 般 的 运 用 待 定 系 数 法 完 成 这 一 工 作 , 办 法 是 设 :

( x ? 1)(x ? b) ? c ? x 2 ? 2x ? 2 ,
将上面等式的左边展开,有: x ? (b ? 1) x ? (b ? c) ,
2

故而 b ? 1 ? 2 , b ? c ? 2 。 解得 b ? 1 , c ? 1 。 从而原函数 y ?
( x ?1)( x ?1) ?1 x ?1

; ? ( x ? 1) ? x1 ?1
1 x ?1

ⅰ)当 x ? ?1 时, x ? 1 ? 0 ,

? 0 ,此时 y ? 2 ,等号成立,当且仅当 x ? 0 。
1 x ?1

ⅱ)当 x ? ?1 时, ? ( x ? 1) ? 0 , ?

? 0 ,此时有

y?

( x ? 1)(x ? 1) ? 1 1 1 ? ? ? ( x ? 1) ? ? ??? ( x ? 1) ? ? ?2 , x ?1 x ?1 x ? 1? ? ?

等号成立,当且仅当 x ? ?2 。 综上,原函数的值域为: y ? (??,?2] ? [2,??) 。 八、部分分式法(分离常数法) (分式且分子、分母中有相似的项,通过该方法可将原函数 转化为为 y ? k ? f ( x) ( k为 常数)的形式) 1、求函数 y ?

x2 ? x 的值域。 x2 ? x ?1

2 观察分子、分母中均含有 x ? x 项,可利用部分分式法;则有

x2 ? x x2 ? x ?1?1 y? 2 ? ? 1? x ? x ?1 x2 ? x ?1

1 不妨令: 1 3 (x ? )2 ? 2 4

1 3 1 ?3 f ( x) ? ( x ? ) 2 ? , g ( x) ? ( f ( x) ? 0) 从而 f ( x) ? ? ,?? ? 2 4 f ( x) ?4
注意:在本题中应排除 f ( x) ? 0 ,因为 f ( x) 作为分母。所以 g ( x) ? ? ? 0, 4 ? 故 y ? ?? 3,1?

? ?

3? ?

? 1 ?

1 1 (3 x ? 2) ? 1 3 ?1? ?1 2、如对于函数 y ? 3x ,利用恒等变形,得到: y ? 3 , x ?2 3x ? 2 3 3(3 x ? 2)
1 容易观察得出此函数的值域为 y ? (??, 1 。 3 ) ? ( 3 ,??)

注意到分时的分子、分母的结构特点,分离出一个常数后,再通过观察或配方等其他方法易 得函数值域。 九、单调性法(利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域) 1、求函数 y ? log 1 (4 x ? x ) 的值域。
2 2

由于函数本身是由一个对数函数(外层函数)和二次函数(内层函数)复合而成,故可令:

f ( x) ? ? x 2 ? 4x( f ( x) ? 0) 配方得:f ( x) ? ?( x ? 2) 2 ? 4所以f ( x) ? (0,4) 由复合函数的
单调性(同增异减)知: y ? [?2,??) 。 当函数 f 在 ( a, b) 上单调,譬如 f 在 ( a, b) 上递增时,自然有函数 f 在 ( a, b) 上的值域为

f ( x), f (b ? 0) ? lim f ( x) , 当 x ? a ? 时 , ( f (a ? 0), f (b ? 0)) ( 其 中 f (a ? 0) ? lim ? ?
x ?a x ?b

f ( x) ? ?? 也称其存在,记为 f (a ? 0) );若 f 在 ( a, b) 上递减,函数 f 在 ( a, b) 上的值域
为 ( f (b ? 0), f (a ? 0)) 。在闭区间 [ a, b] 上也有相应的结论。 2、求函数 y ? 3x ? 6 ? 8 ? x 的值域。 此题可以看作 y ? u ? v 和 u ? 3x ? 6 , v ? ? 8 ? x 的复合函数,显然函数 u ? 3x ? 6 为单调递增函数,易验证 v ? ? 8 ? x 亦是单调递增函数,故函数 y ? 3x ? 6 ? 8 ? x 也 是单调递增函数。而此函数的定义域为 [?2, 8] 。 当 x ? ?2 时, y 取得最小值 ? 10 。当 x ? 8 时, y 取得最大值 30 。

故而原函数的值域为 [? 10, 30] 。 十、利用导数求函数的值域(若函数 f 在(a、b)内可导,可以利用导数求得 f 在(a、b) 内的极值,然后再计算 f 在 a,b 点的极限值。从而求得 f 的值域) 求函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 在 (?5,1) 内的值域。 分 析 : 显 然 f 在 (?5,3) 可 导 , 且 f ?( x) ? 3x 2 ? 3 。 由 f ?( x) ? 0 得 f 的 极 值 点 为

x ? 1, x ? ?1。 f (?1) ? 2, f (1 ? 0) ? ?2 。 f (?5 ? 0) ? 140。

所以,函数 f 的值域为 (?2,140) 。 十一、最值法(对于闭区间[a,b]上的连续函数 y=f(x),可求出 y=f(x)在区间[a,b]内的极值, 并与边界值 f(a)、f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数 y 的值域) 已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足 x+y=1,求函数 z=xy+3x 的值域。 点拨: 根据已知条件求出自变量 x 的取值范围, 将目标函数消元、 配方, 可求出函数的值域。 解:∵3x2+x+1>0,上述分式不等式与不等式 2x2-x-3≤0 同解,解之得-1≤x≤3/2,又 x+y=1,将 y=1-x 代入 z=xy+3x 中,得 z=-x2+4x(-1≤x≤3/2), ∴z=-(x-2)2+4 且 x∈[-1,3/2],函数 z 在区间[-1,3/2]上连续,故只需比较边界的大小。 当 x=-1 时,z=-5;当 x=3/2 时,z=15/4。 ∴函数 z 的值域为{z∣-5≤z≤15/4} 。 点评:本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间,若存在最值,也可通过求出 最值而获得函数的值域。 十二、构造法(根据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结合) 求函数 y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。 点拨:将原函数变形,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域。 解:原函数变形为 f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22 作一个长为 4、宽为 3 的矩形 ABCD,再切割成 12 个单位 正方形。设 HK=x,则 ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22,KC=√(x+2)2+1。 由三角形三边关系知,AK+KC≥AC=5。当 A、K、C 三点共线时取等号。 ∴原函数的知域为{y|y≥5} 。 点评:对于形如函数 y=√x2+a±√(c-x)2+b(a,b,c 均为正数),均可通过构造几何图形, 由几何的性质,直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。 十三、比例法(对于一类含条件的函数的值域的求法,可将条件转化为比例式,代入目标函 数,进而求出原函数的值域) 已知 x,y∈R,且 3x-4y-5=0,求函数 z=x2+y2 的值域。 点拨:将条件方程 3x-4y-5=0 转化为比例式,设置参数,代入原函数。 解:由 3x-4y-5=0 变形得,(x3)/4=(y-1)/3=k(k 为参数) ∴x=3+4k,y=1+3k, ∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。

当 k=-3/5 时,x=3/5,y=-4/5 时,zmin=1。 函数的值域为{z|z≥1} 。 点评:本题是多元函数关系,一般含有约束条件,将条件转化为比例式,通过设参数,可将 原函数转化为单函数的形式,这种解题方法体现诸多思想方法,具有一定的创新意识。


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