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3.1.1空间向量及其加减运算今天用董金臣


复习回顾: 平面向量

这是什么?

向量

平面向量的有关概念: 平面向量:在平面中,具有大小和方向的量.

? ? ? b c 常用 a 、 、 ……等小写字母来表示. ? ? 1.向量 a 的大小叫做向量的长度或模,记为 a . ??? ? ??? ? 2.可用一条有向线段 A B 来表示向量,向量 A B ??? ? ? 的模又记为 A B 就是线段 AB 的长度.

B
起点

终点

? a

c

A

? b

2、平面向量的加法、减法与数乘运算

b

b

a
向量加法的三角形法则

a
向量加法的平行四边形法则

a
b a
向量减法的三角形法则

ka

(k>0) (k<0)

向量的数乘

ka

3、平面向量的加法、减法与数乘运算律

加法交换律: a ? b ? b ? a 加法结合律: ( a ? b ) ? c ? a ? ( b ? c ) 数乘分配律: k ( a ? b ) ? k a+ k b

推广:

(1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量;
A1 A 2 ? A 2 A 3 ? A 3 A 4 ? ? ? A n ? 1 A n ? A1 A n

(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形,则它们的和为零向量。
A1 A 2 ? A 2 A 3 ? A 3 A 4 ? ? ? A n A1 ? 0

一个质量分布均匀的正三角形钢板,重量 为500N,在它的三个顶点处同时受力,每个力 与它相邻的三角形两边之间的夹角都是60o, 且大小均为200N,问钢板将如何运动? F3 F1 F2

500kg



可以发现:这个问题中的三个力F1、
→ →

F2、F3是既有大小又有方向的量,它们 是不在同一平面内的向量。因此解决这 个问题需要空间向量的知识。

从建筑物上找向量的影子

在空间里既有 大小又有方向 的量叫做空间 向量。

1、空间向量 在空间里既有大小又有方向的量
2、长度或模 向量的大小叫做向量的长度或模 3、向量的 表示方法
起点

用有向线段进行表示,记作a或AB





B

终点

A

4、零向量 5、单位向量 6、相反向量 7、相等向量

长度为0的向量 长度为1的向量 长度相同而方向相反的向量 长度相同而且方向也相同的向量

注意:这些概念和平面向量都 是一样的哦!

思考:如何理解零向量的方向?

B B

A

零向量的方向是任意的

探究一:空间任意两个向量是否都可以平移
到同一平面内?为什么?
B

a

结论:空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内,
内,成为同一平面内的两个向量。

结论:空间任意两个向量 b 都是共面向量,所以它们 A O 可用同一平面内的两条有 思考:平面是否唯一? 向线段表示。因此凡是涉 及空间任意两个向量的问 O′ 题,平面向量中有 关结论仍适用于它们。

探究二:空间向量如何进行加减运算?
C a
A
+

b

B

b

O

a
a ? b ? OA ? OC ? OA ? AB ? OB a ? b ? OA ? OC ? CA

探究三:空间向量的加法是否满足交换律?
C a
A
+

b

B

b

O

a

空间向量加法交换律: a + b =b + a

空间向量的加法是否满足结合律?
(a ? b) ? c
O

= a ? (b ? c )
O

a
A

a b
C A
+

c
B

C

b

B

c

b

c

1、空间向量的加减运算 加法:三角形法则和平行四边形法则 减法:三角形法则 2、空间向量的加法的运算律: 加法交换律:

a+b=b+a

加法结合律:

(a + b)+c = a +(b + c)

新课讲授
3. 空间向量加法的运算律要注意以下几点:
(3) 两个向量相加的平行四边形法则在空间 仍然成立.

新课讲授
3. 空间向量加法的运算律要注意以下几点:
(3) 两个向量相加的平行四边形法则在空间 仍然成立. 因此,求始点相同的两个向量之和时,可以 考虑用平行四边形法则.

新课讲授
注意:常用的关系:

(1)在平形四边形中, ? AD ? AC AB

BC ? AC ? AB
(2)在三角形中, AB ? BC ? CA ? 0 (3)在长方体中, AC ? AB ? AD ? AA
'

我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算, 其运算律是否也与平面向量完全相同呢?

定义: 数乘空间向量的运算法则
? ?a

? 与平面向量一样,实数 ? 与空间向量 a

的乘积

仍然是一个向量.

?

? ⑴当 ? ? 0 时, ? a ? ⑵当 ? ? 0 时, ? a ? ⑶当 ? ? 0 时, ? a

? 与向量 a ? 与向量 a

的方向相同; 的方向相反;

是零向量.

例如:
? 3a

? a

? ?3a

显然,空间向量的数乘运算满足分配律 及结合律 ? ? ? ?

即 : ? (a ? b) ? ? a ? ? b ? ? ? ( ? ? ?) ? ? a ? ? a a ? ? ? ( ? a ) ? (? ? )a 其 中 ?、 ? 是 实 数 。

例1、给出以下命题:
(1)两个空间向量相等,则它们的起点、终点相同; ? ? ? ?

? ? (2)若空间向量 a、 满足| a | ? | b |,则 a ? b b



???? ????? (3)在正方体 A B C D ? A1 B1 C 1 D 1 中,必有 A C ? A1C 1 ; ?? ?? ?? ? ?? ?? ? ? ?? (4)若空间向量 m、、 满足 m ? n , n ? p ,则 m ? p ; n p

(5)空间中任意两个单位向量必相等。 其中不正确命题的个数是( A.1 B.2 C.3

C )
D.4

变式:如图所示,长方体中

??? ? (1)写出与向量A B 相等的其余向量; ???? (2) 写出与向量 A A1 相反的向量。

D1

C1 B1

A1 D A B

C

解: (1 ) 与 AB 相等的向量有
( 2 ) 与 AA 1 相反的向量有

DC , D 1 C 1 , A1 B 1
A1 A , B 1 B , C 1 C , D 1 D

例1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量 表达式,并标出化简结果的向量。(如图)
(1 ) AB ? BC ( 2 ) AB ? AD ? AA 1 (3) 1 3 ( AB ? AD ? AA 1 ) 1 2

D1 A1 B1

C1

( 4 ) AB ? AD ?

CC

D
1

C B

A

D1 A1 B1

C1

a
D A C B D B C

A

平行六面体:平行四边形ABCD平移向量 a 到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. 记做ABCD- A1B1C1D1

例1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量 表达式,并标出化简结果的向量。(如图)
(1 ) AB ? BC ( 2 ) AB ? AD ? AA 1 (3) 1 3 ( AB ? AD ? AA 1 ) 1 2

D1 A1 G D
1

C1 B1

M

( 4 ) AB ? AD ?

CC

C B
1

解:1) AB ? BC = AC ; (

A

( 2 ) AB ? AD ? AA 1 ? AC ? AA 1 ? AC ? CC

? AC

1

始点相同的三个不共面向量之和,等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量

F2

F1=10N
F2=15N F3 F1 F3=15N

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。
(1)
(2) (3)

AB 1 ? A1 D 1 ? C 1 C ? x AC
2 AD ? BD ? x AC

D1 A1 B1

C1

1

1

1

AC ? AB

1

? AD

1

? x AC

1

D B

C

A

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。
(1) 解 (1) AB 1 ? A1 D 1 ? C 1 C ? x AC AB 1 ? A1 D 1 ? C 1 C
D1 A1 B1 C1

? AB 1 ? B 1 C 1 ? C 1 C ? AC ? x ? 1.
(2) (3) 2 AD
1

D A
1

C B

? BD

? x AC

1

AC ? AB

1

? AD

1

? x AC

1

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。
(2) 2 AD
1

? BD

1

? x AC

1

(3)

AC ? AB 1 ? AD

1

? x AC

1

(2)

2 AD
1

1

? BD
1

1

? AD

? AD

? BD

1

? AD 1 ? ( BC

1

? BD 1 )

D1 A1 B1

C1

? AD 1 ? D 1 C 1 ? AC
1

? x ? 1.
A

D B

C

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。
(3) AC ? AB 1 ? AD
1

? x AC

1

( 3 ) AC ? AB 1 ? AD 1
? ( AD ? AB ) ? ( AA 1 ? AB ) ? ( AA 1 ? AD ) D1 ? 2 ( AD ? AB ? AA 1 )
? 2 AC

C1 B1

A1

1

? x ? 2.
A

D B

C

练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A

(1)

AB ?

1 2

( BC ? BD )

(2)
D G B

AG ?

1 2

( AB ? AC )

M

C

练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A

(1)

AB ?

1 2

( BC ? BD )

(2)
D G B

AG ?

1 2

( AB ? AC )

(1) 原式= AB ? BM ? MG ? AG

(2)原式
= AB ? BM ? MG ? 1 2 ( AB ? AC )

M

C

= BM ? MG ?

1 2

( AB ? AC )
? MG

= BM ? MG ? MB

练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D
'

(1) AC

? x ( AB ? BC ? CC )
' '

( 2 ) AE ? AA

? x AB ? y AD

A

D

B

C

练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D
'

(1) AC

? x ( AB ? BC ? CC )
' '

( 2 ) AE ? AA

? x AB ? y AD

A

D

B

C

练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D ( 2 ) AE ? AA
'

? x AB ? y AD

A

D

B

C

作业
空间四边形 ABCD 中,AB ? a ,BC = b ,AD ? c ,

试用 a , b , c来表示 CD , , BD . AC

如图,已知空间四边形

???? ? A D ? c ,若 M 为 B C 的中点, G ? ? ? 试用 a 、 b 、 c 表示下列向量: ???? ? ???? ⑴ DM ⑵ AG

??? ? ? A B C D 中,向量 A B ? a
A

???? ? , AC ? b

,

为 △ B C D 的重心,

? 1 ? ? (a ? b ) ? c 2 1 ? ? ? (a ? b ? c ) 3

D

B
M

G C


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