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第一章《集合与函数概念》主要知识点归纳


第一章《集合与函数概念》 第一章《集合与函数概念》 主要知识点归纳
一、集合
对于以下几个问题,你弄清楚了吗? 对于以下几个问题,你弄清楚了吗? 1、集合中的元素有什么特征?(确定性、互异性、无序性) 2、符号“ ∈ ”与“ ? ”有什么区别?分别怎么用? 4、集合的表示方法主要有哪几类?你能用描述法正确表示集合了吗? 5、集合之间的关系主要有几种?他们分别怎

么表示?各个关系怎么理解? 6、下面几个集合中的重要性质,你知道了吗? (1) A ? A ∪ B, A ∩ B ? A, A ∩ B ? A ∪ B. . (2) A ? B ? A ∪ B = B ; A ? B ? A ∩ B = A . 7、空集特殊性你知道了吗?(空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集.) 8、如何用图像法(韦恩图、数轴法)正确表示集合之间的包含关系? 9、一个有限集有多少个子集?有多少个真子集? 10、对于集合 A ∩ B, A ∪ B, C∪ A 的含义,你能正确理解吗? (交集: A ∩ B = { x | x ∈ A, 且x ∈ B} ;并集: A ∪ B = { x | x ∈ A, 或x ∈ B} ; 补集:若 B ? U , 则CU B = { x | x ∈ U , 且x ? B} ;)

11、 对有关含参数问题, 你能正确运用分类讨论解题了吗?你能正确进行分类吗?书写格 式清楚吗? 主要方法: (二)主要方法: 1.解决集合问题,首先要弄清楚集合中的元素是什么; 解决集合问题, 解决集合问题 首先要弄清楚集合中的元素是什么; 2.弄清集合中元素的本质属性,能化简的要化简; 3.抓住集合中元素的 3 个性质,对互异性要注意检验 对互异性要注意检验; 对互异性要注意检验 4.正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化. 5.求交集、并集、补集,要充分发挥数轴或文氏图的作用,正确运用数形结合解题 正确运用数形结合解题。 正确运用数形结合解题 6.含参数的问题,要有讨论的意识 参数的问题, 参数的问题 要有讨论的意识,集合子集分类讨论时要防止在空集上出问题; 7.集合的化简是实施运算的前提,等价转化常是顺利解题的关键. 8.在集合运算过程中应力求做到“三化” 在集合运算过程中应力求做到“ 在集合运算过程中应力求做到 三化” : (1) 意义化:即首先分清集合的类型,是表示数集、点集,还是某类图形?是表 ) 意义化:即首先分清集合的类型,是表示数集、点集,还是某类图形? 示函数的定义域、值域,还是表示方程或不等式的解集? 示函数的定义域、值域,还是表示方程或不等式的解集? (2) 具体化:具体求出相关集合中函数的定义域、值域或方程、不等式的解集等; ) 具体化:具体求出相关集合中函数的定义域、值域或方程、不等式的解集等; 不能具体求出的,也应力求将相关集合转化为最简形式. 不能具体求出的,也应力求将相关集合转化为最简形式. (3)直观化:借助数轴、直角坐标平面、韦恩图等将有关集合直观地表示出来, )直观化:借助数轴、直角坐标平面、韦恩图等将有关集合直观地表示出来, 从而借助数形结合思想解决问题. 从而借助数形结合思想解决问题.

二、函数的概念
对于以下几个问题,你弄清楚了吗 清楚了吗? 对于以下几个问题,你弄清楚了吗? 1、如何从集合与对应的角度来定义函数的概念?函数的三要素分别是什么?如何判断两 个函数相同? 2、求函数的定义域是指什么? 3、求函数的值域是指什么?主要有哪些常用的求法? (观察法、分离常数法、配方法(二次型函数) 、反表示法、换元法、图像法、单调性法) 4、什么叫做映射?映射与函数有什么关系?你会判断一个对应具有映射关系?
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5、你会求两个集合之间可以建立多少个映射吗?(如课本第 10 页 习题 A 组第 10 题) 6、函数表示法具体有哪些? 7、什么叫分段函数?它的表达式有什么特征?如何求它的定义域和值域?如何求它的单 调区间?如何判断它的奇偶性?(图像法) 8、哪些集合可以用区间表示?(一些连续自然数的集合) 9、增(减)函数的图像有什么特征?他们的定义如何?如何利用单调性的可逆性解题? 10、什么叫函数的单调区间?常用方法有哪些? 11、函数单调性的等价含义 f (x1 ) ? f ( x 2 ) 设 x1 , x 2 ∈ [a, b] , > 0 ? f ( x ) 在是增函数; x1 ? x 2 f (x1 ) ? f ( x 2 ) < 0 ? f ( x ) 在是减函数。 x1 ? x 2 12、 Af ( x) 与 f ( x) 以及 f ( x)(≥ 0) 与 f ( x) 单调性之间的关系,你知道了吗? 13、什么是函数的最大(小)值?如何利用单调性求函数的最值? 14、不等式恒成立问题常用的处理办法是什么?它可以转化为怎样的等价问题? 把不等式恒成立问题转化为最值问题解决,即 已知函数 y = f ( x), x ∈ D,M 是实数 (1 ) 如果 f ( x) ≥ M 恒成立, 那么 f min ( x) ≥ M (2) 如果 f ( x) ≤ M 恒成立, 那么 f max ( x) ≤ M 15、 什么叫做函数的奇偶性?它们的图像有什么特征?它们的定义域有什么特殊要求?如 何利用奇偶性的可逆性解题?定义法判断函数奇偶性的步骤,你知道了吗? 16.若奇函数 f ( x) 的定义域包含 0 ,则 f (0) = 0 . 17、函数的奇偶性与单调性有什么联系? 18、函数 f ( x) 关于直线 x = a 对称 ? f (a ? x) = f (a + x) (二)主要方法: 主要方法: 1.对映射有两个关键点:一是有象,二是象惟一,缺一不可; 2.对函数三要素及其之间的关系给以深刻理解 对函数三要素及其之间的关系给以深刻理解,这是处理函数问题的关键; 对函数三要素及其之间的关系给以深刻理解 3.理解函数和映射的关系,函数式和方程式的关系. 4.定义域是函数的基础,考虑函数问题必须先求函数的定义域 考虑函数问题必须先求函数的定义域。 考虑函数问题必须先求函数的定义域 5.图像法可以有效处理许多函数问题,必须掌握函数图像的作图方法 必须掌握函数图像的作图方法:描点法和图像变 必须掌握函数图像的作图方法 换法。 单调性必须在其定义域内进行,因此要研究函数单调性必须先求函数的定义 6.讨论函数单调性必须在其定义域内进行 单调性必须在其定义域内进行 域。函数的单调区间是定义域的子集,且必须用区间来表示 函数的单调区间是定义域的子集 函数的单调区间是定义域的子集,且必须用区间来表示; 7.牢记单调函数的图象特征,有助于求函数的单调区,判断函数的奇偶性。 8.判断函数的单调性和奇偶性的方法有: 1)用定义; 2)图象法; 3)性质法; ( ( ( 增+增=增 增—减=增 减+减=减 奇+奇=奇,奇 × 奇=偶,偶+偶=偶,偶 × 偶=偶,奇 × 偶=奇. 9.判断函数的奇偶性,首先要研究函数的定义域,其次要考虑 f ( x ) 与 f (? x ) 的关系。 f ( x) 10.判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式: f ( x) ± f (? x) = 0 , = ±1 . f (? x) 11.判断函数的的方法有: 1)用定义; 2)图象法; 3)性质法; ( ( (

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