当前位置:首页 >> 高三数学 >> 茂名市2012年第二次高考模拟考试 数学试卷(理数)

茂名市2012年第二次高考模拟考试 数学试卷(理数)


茂名市 2012 年第二次高考模拟考试 数学试卷(理科) 数学试卷(理科)
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1、答卷前,考生务必填写答题卷上的有关项目. 2、选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上. 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区 域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使 用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4、考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回. 5、参考公式: V锥体 =

1 S ·h 3 底

S球面积 = 4π R 2
n(2n + 1)( n + 1) 6

V球体 = 4 π R 3 3

12 + 22 + 32 + ??? + n 2 =

第一部分 选择题(共 40 分) (本大题共 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题: 本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 选择题: ( 一项是符合题目要求的. 一项是符合题目要求的.) 1.若集合 A A= x | x ≤ 1 x ∈ R , B = {x | y = , A.

{

}

x } ,则 A I B =(
C.

) D. ?

{ x | 0 ≤ x ≤ 1}

B.

{ x | x ≥ 0}


{ x | ?1 ≤ x ≤ 1}

2.双曲线

y2 x2 ? = 1 的焦距为( 9 4
B. 26

A. 13

C. 2 13

D. 2 5 ) D. y = x 2

3.下列函数,其中既是偶函数又在区间 0,1 上单调递减的函数为( ( ) A. y =

1 x

B. y = lg x

C. y = cos x

4. a > b > 0 ”是“ a 2 > b 2 ”的( “ A.充分不必要条件 C.充要条件

) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

5.如右图所示的程序框图,若输出的 S 是 30 ,则①可以为 (

A. n ≤ 2 ? B. n ≤ 3 ? C. n ≤ 4 ? D. n ≤ 5 ? 6. 已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 3, 4, x ,且它的 8 个顶点都在同一个球面上, 这个球面的表面积为 125π则该球的半径为( A. 25 2 B.10 C. 5 5 ) D. 5 2 5

1

7.已知函数 f ( x ) 满足: f ( m + n) = f ( m) f ( n ) , f (1) =3,

f 2 (1) + f (2) f 2 (2) + f (4) f 2 (3) + f (6) f 2 (4) + f (8) 则 + + + 的值等于( f (1) f (3) f (5) f ( 7)
A.36 B.24 C.18 D.12

)

.类似的,我们 8. 在实数集 R 中,我们定义的大小关系“ > ”为全体实数排了一个“序” 在平面向量集 D = {a | a = ( x, y ), x ∈ R, y ∈ R} 上也可以定义一个称为“序”的关系, .定义如下: 记为“ f ” 对 于 任 意 两 个 向 量 a1 = ( x1 , y1 ), a2 = ( x2 , y2 ), , a1 f a2 当 且 仅 当 “ x1 > x2 ” 或 “ x1 = x2且y1 > y2 ” . ,给出如下四个命题: 按上述定义的关系“ f ” ①若 e1 = (1,0 ), e2 = (0,1) , 0 = (0,0) 则 e1 f e2 f 0 ; ②若 a1 f a2 , a2 f a3 ,则 a1 f a3 ; ③若 a1 f a2 ,则对于任意 a ∈ D , a1 + a f a2 + a ; ④对于任意向量 a f 0 , 0 = (0,0) ,若 a1 f a2 ,则 a ? a1 > a ? a2 . 其中真命题的序号为( ) A.①②④ B.①②③

C.①③④

D.②③④

第二部分 非选择题(共 110 分) 非选择题( 填空题: (本大题共 小题, 14、 小题任选一题作答, 小题给分, 二、填空题: 本大题共 7 小题,第 14、15 小题任选一题作答,多选的按第 14 小题给分,共 30 ( 分) 9. 复数

1? i 的模为____________ 1+ i
. 2 6

甲 2 2 3 3 4 5 3 4 . 0 1 2 3 4

乙 2 3 1 0 3 1 4 1 4 9

10.如图是某赛季 CBA 广东东莞银行队甲乙两名篮球运动员每场 比赛得分的茎叶图,则甲乙两人比赛得分的中位数之和是 11.已知 0 < α <

3 ,则 cosα = . 2 6 5 12.已知点 A(a , b) 在直线 x + 2 y ? 1 = 0 上,则 2 a + 4b 的最小值为
, cos(α +

π

π

)=

2

13.在数列 {a n } 中, a n =

n( n + 1) .则 2
; (3 分) (2)数列 {S n } 的前 n 项和

(1)数列 {a n } 的前 n 项和 S n =

2

Tn =

.(2 分)

温馨提示:答此题前,请仔细阅读卷首所给的 温馨提示:答此题前,请仔细阅读卷首所给的参考公式。

选做题:以下两题任选一道作答, 题正误给分. 选做题:以下两题任选一道作答,两题都答的按第 14 题正误给分. 14. (坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C 的参数方程为 ? 线 C 上的点到直线 x + y + 2 = 0 的距离的最大值为

? x = 1 + cos θ (θ 为参数) ,则曲 ? y = sin θ

P

E O

15. (几何证明选做题)如图,已知 P 是⊙O 外一点, PD 为⊙O 的切线, D 为切点, 割线 PEF 经过圆心 O ,若 PF = 12 , PD = 4 3 , 则⊙O 的半径长为 .

D

F
第15题图

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 解答题: (本大题共 小题, ( 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 16.( 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = 2 3 sin (1)求函数 f ( x ) 的值域; (2)在△ ABC 中,角 A, B , C 所对的边分别为 a , b, c ,若 f (C ) = 1 ,且 b 2 = ac ,求 sin A 的值

x x x cos ? 2sin 2 . 3 3 3

(本 17. (本小题满分 13 分)

?x > 0 ? (n ∈ N ? ) 表示的平面区域为 Dn , 在平面直角坐标系上,设不等式组 ? y ≥ 0 ? y ≤ ?2n( x ? 3) ?
记 Dn 内的整点(横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为 a n . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn+1 = 2bn + an ,b1 = ?13 .求证:数列 {bn + 6n + 9} 是等比数列,并求出数列 {bn } 的通项公式.

3

18.( 18.(本小题满分 13 分) 在我市“城乡清洁工程”建设活动中,社会各界掀起净化美化环境的热潮.某单位计划 在小区内种植 A, B , C , D 四棵风景树,受本地地理环境的影响, A, B 两棵树的成活的概率

均为

1 ,另外两棵树 C , D 为进口树种,其成活概率都为 a (0 < a < 1) ,设 ξ 表示最终成活 2

的树的数量. (1)若出现 A, B 有且只有一颗成活的概率与 C , D 都成活的概率相等,求 a 的值; ; (2)求 ξ 的分布列(用 a 表示) (3)若出现恰好两棵树成活的的概率最大,试求 a 的取值范围.

19.( 19.(本小题满分 14 分) 如图所示,圆柱底面的直径 AB 长度为 2 2 ,O 为底面圆心,正三角形 ABP 的一个顶 点 P 在上底面的圆周上, PC 为圆柱的母线, CO 的延长线交 F. (1) 求证:平面 ABP ⊥平面 ACF ; (2) 求二面角 F ? CE ? B 的正切值.

O 于点 E , BP 的中点为

P

F

C A

20.(本小题满分 14 分)

O E

B

已知椭圆

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别是 F1 (?c,0) 、 F2 (c,0) , a 2 b2

a2 1 ,椭圆上的动点 P 到直线 l : x = 的最小距离为 2, 2 c uuuu r 延长 F2 P 至 Q 使得 F2Q = 2a , 线段 F1Q 上存在异于 F1 的点 T
离心率为 满足 PT ? TF1 = 0 . (1) 求椭圆的方程; (2) 求点 T 的轨迹 C 的方程;

y
Q T
F1 P
第15题图
O

uuu uuu r r

F2

4

(3) 求证:过直线 l : x =

a2 上任意一点必可以作两条直线 c

与 T 的轨迹 C 相切,并且过两切点的直线经过定点.

21.( 21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) = x 2 ? ax( a ≠ 0) , g ( x) = ln x , f ( x ) 图象与 x 轴异于原点的交点 M 处 的切线为 l1 , g ( x ? 1) 与 x 轴的交点 N 处的切线为 l2 , 并且 l1 与 l2 平行. (1)求 f (2) 的值; (2)已知实数 t∈R,求函数 y = f [ xg ( x)+t ], x ∈ [1, e] 的最小值; (3) F ( x ) = g ( x ) + g '( x) ,给定 x 1 , x2 ∈ (1, +∞), x 1 < x2 ,对于两个大于 1 的正数 α , β , 令 存在实数 m 满足: α = mx1 + (1 ? m) x 2 , β = (1 ? m) x1 + mx2 ,并且使得不等式

| F (α ) ? F ( β ) |<| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | 恒成立,求实数 m 的取值范围.

5

参考答案和评分标准
( 小题, 一、选择题: 共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 选择题: 1 2 3 4 题号 答案 部分试题提示:
25 + x 2 ,所以有 4π ( 2

5 C

6 D

7 B

8 B

A

C

C

A

6、因为球的半径为R=

25 + x 2 2 ) = 125π , 所以x = 10 ,所以球 2

的半径R为 5 2 5 。 8、 (1)①显然正确 (2)设 a1 = ( x1 , y1 ), a2 = ( x2 , y2 ), a3 = ( x3 , y3 ) 由 a1 由 a2

f a2 ,得“ x1 > x2 ”或“ x1 = x2且y1 > y2 ”
f a3 ,得“ x2 > x3 ”或“ x2 = x3且y2 > y3 ”

若x1 > x2 > x3 ,则 a1 f a3
若“ x1 > x2 ”且“ x2 = x3且y2 > y3 ”,则 x1 > x3 ,所以 a1 f a3 若“ x1 = x2且y1 > y2 ” 且“ x2 > x3 ”,则 x1 > x3 ,所以 a1 f a3 若“ x1 = x2且y1 > y2 ” 且“ x2 = x3且y2 > y3 ”,则 x1 = x3且y1 > y3 ,所以 a1 f a3 综上所述,若 a1 f a2 , a2 f a3 ,则 a1 f a3 (3)设 a1 所以②正确

= ( x1 , y1 ), a2 = ( x2 , y2 ), a = ( x, y ) ,则

a1 + a = ( x1 + x , y1 + y ), a2 + a = ( x2 + x, y2 + y)
由 a1

f a2 ,得“ x1 > x2 ”或“ x1 = x2且y1 > y2 ”

若 x1 > x2 ,则 x1 + x > x2 + x ,所以 a1

+ a f a3 + a + a f a3 + a

若 x1 = x2且y1 > y2 ,则 x1 + x = x2 + x且y1 + y > y 2 + y ,所以 a1

综上所述,若 a1 f a2 ,则对于任意 a ∈ D , a1 + a f a2 + a 所以③正确

6

(4) a1

= ( x1 , y1 ), a2 = ( x2 , y2 ), a = ( x, y )

由a 由 a1

f 0得

“ x > 0 ”或“ x = 0且y > 0 ”

f a2 得 “ x1 > x2 ”或“ x1 = x 2且 y 1 > y 2 ”

若“ x = 0且y > 0 ”且“ x1 > x2 且y1 < y2 ” ,则 x x1 = xx2 = 0 且yy1 < yy2 , 所以 xx1 + yy1 < xx2 + yy2 所以 a ? a1 < a ? a 2

所以④不正确 综上所述,①②③正确,选 B 填空题( 小题, 14、 小题任选一题作答, 小题给分, 二、填空题(本大题共 7 小题,第 14、15 小题任选一题作答,多选的按第 14 小题给分,共 30 分) 9. 1 10. 58 11.

3 13. (1) C n + 2 或

n( n + 1)(n + 2) , 分) (3 6

3 3 2 + 10 5
4 (2) C n +3或

12. 2 2

n( n + 1)(n + 2)( n + 3) 24

(2

分) 14.

3 2 +1 2

15. 4

部分试题提示: 11. α = (α + π ) ? π 6 6 12. 2 a + 4 b = 2 a + 2 2b ≥ 2 2 a + 2b = 2 2 ,当且仅当 a = 2b = 立 13.法一、Q an =

1 1 1 即a = 且b = 时等号成 2 2 4

n(n + 1) n 2 n 2 = + = Cn +1 2 2 2

∴ Sn = =

1 2 1 (1 + 2 2 + 3 2 + ? ? ? + n 2 ) + (1 + 2 + 3 + ? ? ? + n) 2 2

2n3 + 3n 2 + n n(n + 1) n(n + 1)(n + 2) 3 + = = C n+2 12 4 6

3 3 3 3 3 3 4 3 3 3 3 3 ∴ Tn = C 3 + C 4 + C 5 + C 6 + ? ? ? + Cn +1 + Cn + 2 = C 4 + C 4 + C 5 + C 6 + ? ? ? + C n+1 + C n + 2 3 3 3 3 4 3 3 3 3 3 = C54 + C5 + C 6 + ? ? ? + C n+1 + C n + 2 = C 6 + C6 + ? ? ? + C n+1 + C n+ 2 = C74 + ? ? ? + C n+1 + C n+ 2 4 3 3 4 3 4 = C n +1 + C n+1 + C n + 2 = C n + 2 + C n + 2 = C n +3 n(n + 1)(n + 2)(n + 3) = 24

法 2: (1) a n =

n(n + 1) n(n + 1)[(n + 2) ? (n ? 1)] 1 = = × [n(n + 1)(n + 2) ? (n ? 1)n(n + 1)] 2 6 6 1 S n = × [(1 × 2 × 3 ? 0 × 1 × 2) + (2 × 3 × 4 ? 1 × 2 × 3) + (3 × 4 × 5 ? 2 × 3 × 4) + ? ? ? 6
7

+ n × ( n + 1) × ( n + 2) ? ( n ? 1) × n × ( n + 1)] n × ( n + 1) × ( n + 2) = 6 n( n + 1)(n + 2) n( n + 1)( n + 2)[( n + 3) ? ( n ? 1)] (2) S n = = 6 24 1 = × [ n( n + 1)( n + 2)( n + 3) ? ( n ? 1) n( n + 1)( n + 2)] 24 1 Tn = × [(1× 2 × 3 × 4 ? 0 × 1× 2 × 3) + ( 2 × 3 × 4 × 5 ? 1× 2 × 3 × 4) + ? ? ? 24 + n × ( n + 1) × ( n + 2) × ( n + 3) ? ( n ? 1) × n × ( n + 1) × ( n + 2)] n × ( n + 1) × ( n + 2) × ( n + 3) = 24
小题, 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 解答题( 16. (本小题满分 12 分) 解 : ( 1 )

f ( x ) = 3 sin


2x 2x 2x π + cos ? 1 = 2sin( + ) ? 1 3 3 3 6
∵ x∈R, ∴

……………………………………3

?1 ≤ sin(

2x π + ) ≤1 3 6


…………………………………………………………4 分

?3 ≤ 2 sin(

2x π + ) ? 1 ≤ 1 ……………………………………………………………5 分 3 6
∴函数 f ( x ) 的值域为 [ ?3,1] …………………………………6 分

(2) f (C ) = 2sin( ∴

sin(

C=

π
.

2C π + ) =1 3 6

2C π + ) ?1 = 1, 3 6


……………………………………7 分



C ∈ (0, π )





…………………………………………8 分 在 Rt ?ABC 中, b 2 = ac , c 2 = a 2 + b 2 ,

2
………………………………9 分

∴ c 2 = a 2 + ac , 得 ( ) 2 +

a c

a ?1 = 0 c

……………………………10 分

解得

a ?1 ± 5 = c 2

…………………………………………11 分

∵ 0 < sin A < 1 , ∴ sin A =

a 5 ?1 . = c 2

………………………12 分

8

17. (本小题满分 13 分)

?x > 0 ? 得 0 < x ≤ 3 ,……………………………1 分 解: (1)由 ? y ≥ 0 ? y ≤ ?2n( x ? 3) ?
所 以 平 面 区 域 为 Dn 内 的 整 点 为 点 ( 3,0 ) 或 在 直 线 x = 1和x = 2 上. …………2 分 直线 y = ?2n ( x ? 3) 与直线 x = 1和x = 2 交点纵坐标分别为 y1 = 4n和y 2 = 2n

Dn 内 在 直 线 x = 1和x = 2 上 的 整 点 个 数 分 别 为
2n+1, ……………………………4 分

4n+1



∴ a n = 4 n + 1 + 2n + 1 + 1 = 6n + 3
(2)由 bn+1 = 2bn + an 得 bn +1 = 2bn + 6n + 3

………………………………5 分

…………………………6 分

∴ bn +1 + 6(n + 1) + 9 = 2(bn + 6n + 9)
Q b1 + 6 × 1 + 9 = 2

…………………………………9 分

……………………………………………10 分

∴{bn + 6n + 9} 是 以

2















2









列…………………………………………………11 分

∴ bn + 6n + 9 = 2 n ∴ bn = 2n ? 6n ? 9
18. (本小题满分 13 分) 本小题满分 解: (1)由题意,得 2 ×

……………12 分

……………………13 分

1 1 2 . × (1 ? ) = a 2 ,∴ a = 2 2 2

………2 分

(2) ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3,4.

………………………3 分

1 1 0 0 ………………………4 分 p(ξ = 0) = C2 (1 ? ) 2 C2 (1 ? a) 2 = (1 ? a) 2 2 4 1 0 1 1 1 1 0 1 ……………5 分 p(ξ = 1) = C2 (1 ? )C2 (1 ? a)2 + C2 (1 ? ) 2 C2 a(1 ? a) = (1 ? a) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 0 1 1 0 2 p(ξ = 2) = C22 ( ) 2 C2 (1 ? a) 2 + C2 (1 ? )C2 a(1 ? a) + C2 (1 ? )2 C2 a 2 = (1 + 2a ? 2a 2 ) 2 2 2 2 4
…………6 分

1 1 a 1 1 1 p(ξ = 3) = C22 ( ) 2 C2 a(1 ? a) + C2 (1 ? )C22 a 2 = 2 2 2 2

……………………7 分

9

1 a2 p (ξ = 4) = C22 ( ) 2 C22 a 2 = 2 4
得 ξ 的分布列为:

…………………………………………………8 分

………………………………………9 分

ξ
p

0

1

2

3

4

1 (1 ? a ) 2 4

1 (1 ? a ) 2

1 (1 + 2a ? 2a 2 ) 4

a 2

a2 4

(3)由 0 < a < 1 ,显然 ∴ p (ξ = 2) ? p (ξ = 1) =

a2 a 1 1 (1 ? a )2 < (1 ? a ) , < 4 2 4 2

………………………10 分

1 1 1 (1 + 2a ? 2a 2 ) ? (1 ? a ) = ? (2a 2 ? 4a + 1) ≥ 0 ……11 分 4 2 4 1 a 1 p (ξ = 2) ? p (ξ = 3) = (1 + 2a ? 2a 2 ) ? = ? (2a 2 ? 1) ≥ 0 ………………12 分 4 2 4
2? 2 2 .………………………13 分 ≤a≤ 2 2

由上述不等式解得 a 的取值范围是

19. (本小题满分 14 分) 解: (1)证明: 正三角形 ABP 中, F 为 BP 的中点, ∴ AF ⊥ PB ………1 分 ∵ PC 为圆柱的母线, ∴ PC ⊥平面 ABC , 而 AC 在平面 ABC 内 ∴ PC ⊥ AC ……………………2 分 ∵ AB 为 O 的直径,∴ ∠ACB = 90 °即 AC ⊥ BC ………3 分 PC I BC =C ,∴ AC ⊥平面 PBC , ……………………4 分 而 PB 在平面 PBC 内, ∴ AC ⊥ PB ………………………5 分 AC I AF =A ,∴ PB ⊥平面 ACF ,……………………………6 分 而 PB 在平面 ABP 内,∴平面 ABP ⊥平面 ACF …………………7 分 (2) 由(1)知 AC ⊥ BC , PC ⊥ AC ,同理 PC ⊥ BC , 而 PA = PB = AB = 2 2 ,可证 Rt ?PAC ≌ Rt ?PBC , ∴ AC = BC = PC = 2 ……8 分 以 C 为原点, CA, CB , CP 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系 则 C (0, 0, 0), F (0,1,1), O (1,1, 0), P (0, 0, 2) …………………………………9 分

∵ PC ⊥平面 ABC ,∴ CP = (0, 0, 2) 为平面 CEB 的一个法向量…………10 分 设 n = ( x, y, z ) 平面 CEF 的一个法向量, CF = (0,1,1), CO = (1,1, 0)

uuu r

r

uuu r

uuu r



uuu r ?CF ? r ? uuu ?CO ?

r n=0 r n=0



?y + z = 0 ? ?x + y = 0





y = ?1



10

r n = (1, ?1,1)

……………………11 分

设二面角 F ? CE ? B 的平面角为 θ ,

uuu r r CP ? n 0 ×1 + 0 × (?1) + 2 ×1 3 r r = ∴ cos θ = uuu ……………………………12 分 = 2 2 2 3 | CP | ? | n | 2 × 1 + (?1) + 1
6 , ……………………………………………13 分 3
sin θ = 2 …………………14 分 cos θ

∴ sin θ = 1 ? cos 2 θ =

所以二面角 F ? CE ? B 的正切值 tan θ = 20. (本小题满分 14 分)

?c 1 ?a = 2 ? 解: (1)依题意得 ? 2 , ?a ? a = 2 ?c ?
解得 ?

……………………………………2 分

?c = 1 ,∴ b 2 = a 2 ? c 2 = 3 ……………………………………3 分 ?a = 2 x2 y 2 + =1 4 3

椭圆的方程为

…………………………………………4 分

(2)解法 1:设点 T 的坐标为 ( x, y ) . 当 P、T 重合时,点 T 坐标为 (2, 0) 和点 ( ?2, 0) ,

……………………5 分

当 P、T 不重合时,由 PT TF1 = 0 ,得 PT ⊥ TF1 . ………………………6 分 由

uuu uuu r r

uuu r

uuu r

uuuu r F2Q = 2a = 4















uuu r uuuu uuuu r r uuuu uuur r PQ = QF2 ? PF2 = 2a ? PF2 = PF1 ,

……………7 分

所以 PT 为线段 F1Q 的垂直平分线, T 为线段 F1Q 的中点 在 ?QF1F2 中, OT = 所以有 x 2 + y 2 = 4 . 综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x 2 + y 2 = 4 . 解法 2:设点 T 的坐标为 ( x, y ) . 当 P、T 重合时,点 T 坐标为 (2, 0) 和点 ( ?2, 0) ,
11

uuu r

r 1 uuuu F2Q = a = 2 , ………………………………………8 分 2

……………………………9 分

……………………………5 分

当 P、T 不重合时,由 PT TF1 = 0 ,得 PT ⊥ TF1 .

uuu uuu r r

uuu r

uuu r

…………6 分

由 F2Q = 2a = 4 及椭圆的定义, PQ = QF2 ? PF2 = 2a ? PF2 = PF1 , 所以 PT 为线段 F1Q 的垂直平分线, T 为线段 F1Q 的中点

uuuu r

uuu r

uuuu r

uuuu r

uuuu r

uuur

7分

? ?x = ? 设点 Q 的坐标为 ( x′, y ′) ,则 ? ?y = ? ?
因此 ?

x′ ? 1 2 , y′ 2

? x′ = 2 x + 1 ? y′ = 2 y



…………………………………8 分

2 2 由 F2Q = 2a = 4 ,得 ( x′ ? 1) + y′ = 16 , 2 2 将 代入 ,可得 x + y = 4 .

uuuu r



综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程式 x 2 + y 2 = 4 .③ (3) 直线 l : x =

………………………9 分

a2 = 4 与 x 2 + y 2 = 4 相离, c
…10 分

过直线上任意一点 M (4, t ) 可作圆 x 2 + y 2 = 4 的两条切线 ME、MF 所以 OE ⊥ ME、OF ⊥ MF 所以 O、E、M 、F 四点都在以 OM 为直径的圆上, 其方程 x ? 2) 2 + ( y ? ) 2 = 4 + ( ) 2 ④ (

…………11 分

t 2

t 2

……………………12 分

EF 为两圆的公共弦,③-④得: EF 的方程为 4 x + ty ? 4 = 0
显然无论 t 为何值,直线 EF 经过定点 (1, 0) . 21. (本小题满分 14 分)

…………13 分

……………14 分

解: y = f ( x ) 图象与 x 轴异于原点的交点 M ( a , 0) , f '( x ) = 2 x ? a

y = g ( x ? 1) = ln( x ? 1) 图象与 x 轴的交点 N (2, 0) , g '( x ? 1) =
由题意可得 kl1 = kl2 ,即 a = 1 ,

1 x ?1

…………………………………2 分

∴ f ( x) = x 2 ? x, , f (2) = 22 ? 2 = 2

………………………………3 分

(2) y = f [ xg ( x )+t ] = [ x ln x +t ]2 ? ( x ln x +t ) = ( x ln x ) 2 + (2t ? 1)( x ln x ) + t 2 ? t ……4 分

12

令 u = x ln x ,在 x ∈ [1, e] 时, u ' = ln x + 1 > 0 , ∴ u = x ln x 在 [1, e] 单调递增, 0 ≤ u ≤ e, …………………………5 分

y = u 2 + (2t ? 1)u + t 2 ? t 图象的对称轴 u =
①当 u = ②

1 ? 2t 1 ≤ 0 即 t ≥ 时, ymin = y |u =0 = t 2 ? t 2 2 1 ? 2t 即 当 u= ≥e 2

1 ? 2t ,抛物线开口向上 2
……………………6 分

t≤

1 ? 2e 2





ymin = y |u =e = e 2 + (2t ? 1)e + t 2 ? t
③当 0 <

………………………………7 分

1 ? 2t 1 ? 2e 1 < e即 < t < 时, 2 2 2
u= 1? 2 t 2

ymin = y |

1 ? 2t 2 1 ? 2t 2 1 =( ) + (2t ? 1) +t ?t = ? 2 2 4

… …………………8 分

(3) F ( x ) = g ( x ) + g '( x ) = ln x +

1, 1 1 x ?1 F '( x ) = ? 2 = 2 ≥ 0 得x ≥ 1 x x x x
……………………………………9 分

所以 F ( x ) 在区间 (1, +∞ ) 上单调递增 ∴ 当x ≥ 1 时, F(x) F(1) 0 ≥ >

①当 m ∈ (0,1) 时,有 α = mx1 + (1 ? m) x2 > mx1 + (1 ? m) x1 = x1 ,

α = mx1 + (1 ? m) x2 < mx2 + (1 ? m) x2 = x2 ,
得 α ∈ ( x1 , x2 ) ,同理 β ∈ ( x1 , x2 ) , ∴ 由 f (x ) 的单调性知 ……………………10分

0 < F ( x1 ) < F (α ) 、 F ( β ) < F ( x2 )
…………………11 分

从而有 | F (α ) ? F ( β ) |<| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | ,符合题设. ②当 m ≤ 0 时, α = mx1 + (1 ? m) x2 ≥ mx2 + (1 ? m) x2 = x2 ,

β = (1 ? m) x1 + mx2 ≤ (1 ? m) x1 + mx1 = x1 ,
由 f (x ) 的单调性知 0 < F ( β ) ≤ F ( x1 ) < F ( x2 ) ≤ F (α ) , ∴ | F (α ) ? F ( β ) |≥| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | ,与题设不符 ………………………12 分 ③当 m ≥ 1 时,同理可得 α ≤ x1 , β ≥ x2 , 得 | F (α ) ? F ( β ) |≥| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | ,与题设不符.
13

………………13 分

∴综合①、②、③得 m ∈ (0,1)

……………………………………14 分

说明:各题如有其它解法,按照相应的步骤给分.

14


更多相关文档:

广东省茂名市2012届高三第二次模拟考试(理科数学)

广东省茂名市2012届高三第二次模拟考试(理科数学)广东省茂名市2012届高三第二次模拟考试(理科数学)隐藏>> 茂名市 2012 年第二次高考模拟 理数 试卷类型: 试卷类...

广东省茂名市2012届高三下学期第二次模拟考试数学理

【2012汕头一模】(理数) 4页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要...广东省茂名市 2012 届高三下学期第二次高考模拟考试 数学(理科)试卷试卷分选...

茂名市2016年第二次高考模拟考试理科数学试卷

绝密★启用前 试卷类型:A 茂名市 2016 年第二次高考模拟考试 数学试卷(理科) 2016.4 本试卷分选择题和非选择题两部分,共 6 页,24 小题,满分 150 分,考试...

广东省茂名市2012理科数学二模

2012 届高三佛山二模(理科) 第 4 页共 12 页 届高三佛山二模(理科) 茂名市 2012 年第二次高考模拟考试 数学试卷(理科) 数学试卷(理科)参考答案和评分...

广东省茂名市2013年第二次高考模拟考试理科数学试卷

2012大纲全国卷高考数学(理... 2012大纲全国卷高考数学(文... 2012年高考新课标...茂名市 2013 年第二次高考模拟考试 数学试卷(理科)本试卷共 4 页,21 小题...

广东省茂名市2012届高三第二次高考模拟考试数学(理)试题

试卷类型:A 广东省茂名市 2012 届高三下学期第二次高考模拟考试 数学(理科) 数学(理科)试卷试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页.满分 150 分.考试时间 ...

茂名市2012届高三第二次高考模拟考试(数学文)

2012大纲全国卷高考数学(理... 2012大纲全国卷高考数学(文... 2012年高考新课标...广东省茂名市 2012 届高三 4 月第二次高考模拟考试 数学( 数学(文)本试卷...

茂名市2012届第二次高考模拟考试(文综)

2012大纲全国卷高考数学(理... 2012大纲全国卷高考数学(文... 2012年高考新课标...茂名市2012第二次高考模拟考试 文科综合试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第II...

(理数)茂名市2010届高三第二次高考模拟试题

(理数)茂名市2010届高三第二次高考模拟试题 隐藏>> 茂名市 2010 年第二次高考模拟考试 数学试题(理科)本试卷分选择题和非选择题两部分,满分 150 分。考试时间...

高考模拟考试数学试卷(理科)

2012大纲全国卷高考数学(理... 2012大纲全国卷高考数学(文... 2012年高考新课标...卢湾区2012年高考二模模拟... 4页 5财富值 广东省茂名市2012年第二次... ...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com