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2015-2016学年高中数学 3.2.2用向量方法解决垂直问题课后习题 新人教A版选修2-1


第二课时
课时演练·促提升

用向量方法解决垂直问题

A组 1.若直线 l 的方向向量为(2,1,m),平面 α 的法向量为,且 l⊥α ,则 m 的值为( ) A.1 B.2 C.4 D.-4 解析:∵l⊥α , ∴l 的方向向量与平面 α 的法向量共线. ∴(2,1,m)=λ ,解得 m=4. 答案:C 2.已知平面 α 内

有一个点 M(1,-1,2),它的一个法向量为 n=(6,-3,6),则下列点 P 中,在平面 α 内 的是( ) A.P(2,3,3) B.P(-2,0,1) C.P(-4,4,0) D.P(3,-3,4) 解析:因为 n=(6,-3,6)是平面 α 的一个法向量,所以 它应该和平面 α 内的任意一个向量垂直,只有 在选项 A 中,=(2,3,3)-(1, -1,2)=(1,4,1),·n=(1,4,1)·(6,-3,6)=0,所以点 P 在平面 α 内. 答案:A 3.在菱形 ABCD 中,若是平面 ABCD 的法向量,则 以下等式中可能不成立的是( ) A.=0 B.=0 C.=0 D.=0 解析:∵PA⊥平面 ABCD,∴BD⊥PA. 又∵AC⊥BD,∴PC⊥BD. 故选项 B 正确,选项 A 和 D 显然成立.故选 C. 答案:C 4.如图,设 a 为正方体 ABCD-A1B1C1D1 的三个顶点确定的平面 A1BD 的一个法向量,则( )

A.a∥ B.a⊥ C.a 与相交但不垂直 D.a 与不共面 解析:由于 AC1⊥平面 A1BD,即也是平面 A1BD 的一个法向量,因此必有 a∥. 答案:A 5.平面 α 与平面 β 的法向量分别是 m,n,直线 l 的方向向量是 a,给出下列论断: ①m∥n? α ∥β ;②m⊥n? α ⊥β ; ③a⊥m? l∥α ;④a∥m? l⊥α . 其中正确的论断为 (把你认为正确论断的序号填在横线上). 解析:①中 α 与 β 还有可能重 合;②④正确;③中 l 有可能在 α 内. 答案:②④ 6.若正三棱锥 P-ABC 侧面互相垂直,则棱锥的高与底面边长之比为 . 解析:设高为 h,底边长为 1,建立如图所示的空间直角坐标系,则点 P(0,0,h),A,B,C, 得平面 PAB,PAC 的法向量分别为,则 3-9+=0,解得 h=.

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故高与底面边长之比为∶6. 答案:∶6 7.如图,已知在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC⊥BC,D 为 AB 的中点,AC=BC=BB1.

求证:(1)BC1⊥AB1; (2)BC1∥平面 CA1D. 证明:如图,以 C1 点为原点,分别以 C1A 1,C1B1,C1C 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.

设 AC=BC=BB1=2,则 A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0),C1(0,0,0),D(1,1,2). (1)由于=(0,-2,-2),=(-2,2,-2), 因此=0-4+4=0,因此, 故 BC1⊥AB1. (2)取 A1C 的中点 E,连接 DE,由于 E(1,0,1), 所以=(0, 1,1), 又=(0,-2,-2), 所以=-. 又 ED 和 BC1 不共线,所以 ED∥BC1. 又 DE? 平面 CA1D,BC1?平面 C A1D,故 BC1∥平面 CA1D. 8.如图,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.

求证:(1)AF∥平面 BDE; (2)CF⊥平面 BDE. 证明:(1)设 AC 与 BD 交于点 G. ∵EF∥AG,且 EF=1,AG=AC=1, ∴四边形 AGEF 为平行四边形,∴AF∥EG. ∵EG? 平面 BDE,AF?平面 BDE, ∴AF∥平面 BDE.

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(2)连接 FG. ∵正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在平面互相垂直,且 CE⊥AC,∴CE⊥平面 ABCD. 如图,以 C 为原点,CD,CB,CE 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系, 则 C(0,0,0),A(,0),B(0,,0),D(,0,0),E(0,0,1),F,∴=(0,-,1),=(-,0,1), ∴=0-1+1=0,=-1+0+1=0. ∴,∴CF⊥BE,CF⊥DE. 又∵BE∩DE=E,∴CF⊥平面 BDE. 9.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 BC 的中点,试在棱 CC1 上求一点 P,使得平面 A1B1P⊥平面 C1DE. 解:如图,以 D 为原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.

设正方体的棱长为 1,P(0,1,a),则 A1(1,0,1),B1(1,1,1),E,C1(0,1,1),=(0,1,0),=(-1,1,a1),=(0,1,1). 设平面 A1B1P 的一个法向量为 n1=(x1,y1,z1), 则 令 z1=1,得 x1=a-1,∴n1=(a-1,0,1). 设平面 C1DE 的一个法向量为 n2=(x2,y2,z2), 则 令 y2=1,得 x2=-2,z2=-1,∴n2=(-2,1,-1). ∵平面 A1B1P⊥平面 C1 DE, ∴n1⊥n2,即 n1·n2=0. ∴-2(a-1)+0+(-1)=0,∴a=. 故 P. B组 1.如图,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,E 是 CD 的中点,F 是 AD 上一点,当 BF⊥PE 时,AF∶FD 的值为( )

A.1∶2 B.1∶1 C.3∶1 D.2∶1 解析:建立如图所示的空间直角坐标系.

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设正方形边长为 1,PA=a, 则 B(1,0,0),E,P(0,0,a). 设点 F 的坐标为(0,y,0), 则=(-1,y,0),. ∵BF⊥PE,∴=(-1)×+y=0. 解得 y=,即点 F 的坐标为. ∴F 为 AD 的中点.∴AF∶FD=1∶1. 答案:B 2.如图,四边形 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD,则平面 PQC 与平面 DCQ 的位置关 系为( )

A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.位置关系不确定 解析:由已知可得 PD⊥DC,PD⊥DA,DC⊥DA,如图,以 D 为原点,建立空间直角坐标系,

设 QA=1,则 D(0,0,0),C(0,0,1),Q(1,1,0),P(0,2,0). 故=(1,1,0),=(0,0,1),=(1,-1,0). 故=0,=0, 即, 故 PQ⊥平面 DCQ,平面 PQC⊥平面 DCQ. 答案:B 3.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面是以∠ABC 为直角的等腰三角形,AC=2a,BB1=3a,D 是 A1C1 的中 点,点 E 在棱 AA1 上,要使 CE⊥平面 B1DE,则 AE= .

解析:建立如图所示的坐标系,

则 B1(0,0,3a),D,C(0,a,0).

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设点 E 的坐标为(a,0,z), 则=(a,-a,z),=(a,0,z-3a), ,故=0. 2 2 故要使 CE⊥平面 B1DE,则需,即=0,故 2a +z -3az=0,解得 z=a 或 2a. 答案:a 或 2a 4.如图,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形,O 为底面中心,A1O⊥平面 ABCD,AB=AA1=.求 证:A1C⊥平面 BB1D1D.

证明:由题设易知 OA,OB,OA1 两两垂直,以 O 为原点建立空间直角坐标系,如图.

∵AB=AA1=,∴OA=OB=OA1=1. ∴A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,0,0),D(0,-1,0),A1(0,0,1). 由,易得 B1(-1,1,1). ∵=(-1,0,-1),=(0,-2,0),=(-1,0,1), ∴=0,=0. ∴A1C⊥BD,A1C⊥BB1. ∴A1C⊥平面 BB1D1D. 5.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PC⊥平面 ABCD,PC=2,在四边形 ABCD 中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,点 M 在 PB 上,PB=4PM,PB 与平面 ABCD 成 30°的角.求证:

(1)CM∥平面 PAD; (2)平面 PAB⊥平面 PAD. 证明:以 C 为坐标原点,CB 为 x 轴,CD 为 y 轴,CP 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz.

∵PC⊥平面 ABCD, ∴∠PBC 为 PB 与平面 ABCD 所成的角, ∴∠PBC=30°. ∵PC=2, ∴BC=2,PB=4. ∴D(0,1,0),B(2,0,0),A(2,4,0),P(0,0,2),M, ∴=(0,-1,2),=(2,3,0),. (1)设 n=(x,y,z)为平面 PAD 的一个法向量,
由 令 y=2,得 n=(-,2,1). ∵n·=-+2×0+1×=0, ∴n⊥.又 CM?平面 PAD,∴CM∥平面 PAD. (2)如图,取 AP 的中点 E,连接 BE,

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则 E(,2,1),= (-,2,1). ∵PB=AB,∴BE⊥PA. 又∵=(-,2,1)·(2,3,0)=0, ∴.∴BE⊥DA. 又∵PA∩DA=A,∴BE⊥平面 PAD. ∵BE? 平面 PAB,∴平面 PAB⊥平面 PAD. 6.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=AC=a,AA1=b,点 E,F 分别在棱 BB1,CC1 上,且 BE=BB1,C1F=CC1.设 λ =.当平面 AEF⊥平面 A1EF 时,求 λ 的值.

解:建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz.

则由题意可知 A(0,0,0),E,F, 故. 设平面 AEF 的法向量为 n1=(x,y,z), 则 n1·=0 且 n1·=0, 即 ax+=0 且 ay+=0. 令 z=1,得 x=-,y=-. 故 n1=. 同理可得平面 A1EF 的一个法向量为 n2=. ∵平面 AEF⊥平面 A1EF,∴n1·n2=0. ∴-+1=0, 解得 λ =(负值舍去). ∴当平面 AEF⊥平面 A1EF 时,λ =.

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