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湖北省黄冈市长冲高中2012届高三下学期高考交流试卷数学(理)试题


湖北省黄冈市长冲高中 2012 届高三下学期高考交流试卷数 学(理)试题
(全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 ) 注意事项: 1 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置,用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 B 后的方框涂黑。 2 选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题

目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。咎在试题卷、草稿纸上无效。 3 填空题和解答题用 0.5 毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。答在试题卷、草稿纸上无效。 4 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题:本大题共 l0 小题.每小题 5 分,共 50 分在每小题给出的四个选项中,只 有一项是满足题目要求的.
2 1. 集合 P ? { x ? Z 0 ? x ? 3} , M ? { x ? Z x ? 9} ,则 P ? M =

(A) {1,2}

(B) {0,1,2}

(C){1,2,3}

(D){0,1,2,3}

2.设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? ? 时, f ( x ) ? ? x ? x ,则 f (? ) ? (A) ? ? (B) ? ? (C)1 (D)3

?

【答案】A 【命题意图】本题考查函数的奇偶性,考查函数值的求法.属容易题. 【解析】 f (1) ? ? f ( ? 1) ? ? [ 2 ( ? 1) ? ( ? 1)] ? ? 3 .
2

故选 A. [答]( )

3. “ x ? 2 k ? ?

?
4

(k ? Z ) ”是“ tan x ? 1 ”成立的 (B)必要不充分条件.

(A)充分不必要条件. (C)充分条件. 【解析】 x ? 2 k ? ? 当 时, x ? k ? ?
?
4

(D)既不充分也不必要条件.
?
4

( k ? Z ) ta n x ? ta n ( 2 k ? ? 时,
?
4

?
4

) ? ta n

?
4

?1, 反之, tan x ? 1 当

(k ? Z ) ,所以“ x ? 2 k ? ?

(k ? Z ) ”是“ tan x ? 1 ”成立的充分不

必要条件,选 A. 【命题意图】本题主要考查三角函数的诱导公式、特殊角的三角函数以及终边相同的角等 基础知识,考查简易逻辑中充要条件的判断.记错诱导公式以及特殊角的三角函数,混淆条

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件的充分性和必要性,是这类问题出错的重要原因. 4 在等比数列 ? a n ? 中, a 1 ? 1 ,公比 q ? 1 .若 a m ? a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 ,则 m= (A)9 (B)10 (C)11 (D)12

命题意图:考查等比数列的通项公式和有关性质,幂的运算性质。 【答案】C
m ?1 5 2 5 m ?1 10 ? a 3 ? ( a 1 q ) ,又 a 1 ? 1 ,所以 q 【解析】由 a m ? a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 得 a 1 q ? q ,

解得 m=11,故选 C。 5.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的 i 值等于( A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】由程序框图可知,该框图的功能是 输出使和 S ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? ? ? i ? 2 ? 1 1
1 2 3 i



时的 i 的值加 1,因为 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 1 0 ? 1 1 , 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 1 1 ,
1 2 1 2 3

所以当 S ? 1 1 时, 计算到 i ? 3 ,故输出的 i 是 4,选 C。 【命题意图】本题属新课标新增内容,考查认识程序框图的基本能力。 6.若 x 0 是方程 ( ) ? x 3 的解,则 x 0 属于区间 (
x

1

1


1 2
3x

2

(A) (

2 3

,

1 ).

(B) (
1

1 2

,

2 3

).

(C) , (
3

1

) (D) 0 , (
1 3

1 3


1 2 1 3 1 6

【解析】 ( ) ? x3 ? ( )
x

1

1

3x

2
3

2

?1? ? x , 设 f (x) ? ? ? ?2?

? x ,则 f (

)?

?

?

? 0,

1 1 1? 2 ? 1 ?2 1 ?1 f( )?? ? ? ? ? ? ? 0 ,所以 x 0 ? ? , 2 2 2 2 2 2 2 ?2? ?3 1

1? ? ,选 C. 2?

【命题意图】本题考查了函数的零点与方程根的关系,隐含着对指数函数的性质、分数指 数幂、连续函数的性质等知识的考查,把对方程的根的研究转化为对函数零点的考察是解 题的关键.
?x ? 1 ? 7 . 设 不 等 式 组 ? x -2 y+ 3 ? 0 所 表 示 的 平 面 区 域 是 ? 1 , 平 面 区 域 是 ? 2 与 ? 1 关 于 直 线 ?y ? x ?

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3 x ? 4 y ? 9 ? 0 对称,对于 ? 1 中的任意一点 A 与 ? 2 中的任意一点 B, | A B | 的最小值等于

( A.
28 5

) B.4 C.
12 5

D.2

【答案】B 【解析】由题意知,所求的 | A B | 的最小值,即为区域 ? 1 中的点到直线 3 x ? 4 y ? 9 ? 0 的距 离的最小值的两倍,画出已知不等式表示的平面区域,如图所示,

可看出点(1,1)到直线 3 x ? 4 y ? 9 ? 0 的距离最小,故 | A B | 的最小值为
2? | 3?1? 4 ?1? 9 | 5 ? 4 ,所以选 B。

【命题意图】 本题考查不等式中的线性规划以及两个图形间最小距离的求解、 基本公式 (点 到直线的距离公式等)的应用,考查了转化与化归能力。 8.在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若 a ? b ?
2 2

3 b c ,sinC=2

3 sinB,

则 A= ( ) (A)30° 【答案】A

(B)60°

(C)120°

(D)150°

【解析】由 sinC=2 3 sinB 结合正弦定理得: c ? 2 3 b ,所以由于余弦定理得:
b ?c ?a
2 2 2

cos A ?

? cos A ?

b ? c ? (b ?
2 2 2

3b c )

?

c ?
2

3b c

?

2bc
( 2 3b ) ?
2

2bc 3 2

2bc

3b ? 2 3b

2 b ? 2 3b

?

,所以 A=30°,选 A。

【命题意图】本小题考查三角形中的正弦定理、余弦定理,特殊角的三角函数等基础知识, 考查同学们的运算能力。 9. 若点 O 和点 F ( ? 2, 0 ) 分别是双曲线
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x a

2 2

? y

2

? 1(a > 0 ) 的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支

上的任意一点,则 O P ? F P 的取值范围为 ( A. [3-2 3 , ? ? ) 【答案】B B. [3 ? 2 3 , ? ? )

??? ??? ? ?

) C. [7 4 , ?? )

D. [ , ? ? )
4

7

【解析】因为 F ( ? 2, 0 ) 是已知双曲线的左焦点,所以 a ? 1 ? 4 ,即 a ? 3 ,所以双曲线方
2

2

程 为

x

2

? y ?1 , 设 点
2

3 x0 3
2

P ( x0 , y0 ) , 则 有
??? ? F P ? ( x0 ? 2, y0 )

x0 3

2

? y 0 ? 1( x 0 ?
2

3)

, 解 得

y0 ?
2

? 1( x 0 ?

3)

, 因 为



??? ? O P ? ( x0 , y0 )

, 所 以

2 2 ??? ??? ? ? x 4 x0 2 ? 2 x 0 ? 1 ,此二次函数对应的抛物 O P ? F P ? x0 ( x0 ? 2 ) ? y 0 = x0 ( x0 ? 2 ) ? 0 ? 1 ? 3 3

线 的 对 称 轴 为 x0 ? ?
4 3

3 4

, 因 为 x0 ?

3 , 所 以 当 x0 ?

? ? ?? ? ? ?? 3 时 , O P ? F P取 得 最 小 值

??? ??? ? ? ? 3 ? 2 3 ? 1 ? 3 ? 2 3 ,故 O P ? F P 的取值范围是 [3 ? 2 3 , ? ? ) ,选 B。

【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程,考查平面向量的数量积的坐标运算、二 次函数的单调性与最值等,考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、 运算能力。 10.已知函数 F(x)=|lgx|,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是 (A) ( 2 2 , ? ? ) (B) [ 2 2 , ? ? ) (C) (3, ? ? ) (D) [3, ? ? )

【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域。 【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去),或 b ? 又 0<a<b,所以 0<a<1<b,令 f ( a ) ? a ? 为减函数,所以 f(a)>f(1)=1+
2 1 2 a 1 a

,所以 a+2b= a ?

2 a

,由“对勾”函数的性质知函数 f ( a ) 在 a ? (0,1)上

=3,即 a+2b 的取值范围是(3,+∞).答案选 C。

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位 置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分 11. (2010 年高考山东卷理科 14)若对任意 x> 0 , 围是 【答案】 a ?
1 5 1 x x x ? 3x ? 1
2

? a 恒成立,则 a 的取值范



【解析】因为 x > 0 ,所以 x +

? 2 (当且仅当 x = 1 时取等号) ,所以有

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x x +3x+1
2

? x+

1 1 x +3

?

1 2+3

=

1 5

,即

x x +3x+1
2

的最大值为

1 5

,故 a ?

1 5



【命题意图】本题考查了分式不等式恒成立问题以及参数问题的求解,考查了同学们的转 化能力。属中档题。
1 x

12. (1 ? x ? x )( x ?
2

) 的展开式中的常数项为_________.

6

【答案】-5

13、如图所示,直线 x ? 2 与双曲线 ? :

x

2

? y

2

? 1 的渐近线交于

4

? ???? ? ?? ????? ?? O E E 1 , 2 两点, O E 1 ? e1 , E 2 ? e 2 .任取双曲线 ? 上的点 P , 记

若 O P ? a e1 ? b e2 ( a 、 b ? R ) ,则 a 、 b 满足的一个等式 是 ;

??? ?

?

?? ?

) 【 解 析 】 设 P ( x 0 , y 0 ) , 易 知 e1 ? ( 2 , 1, e 2 ? ( 2 , ? 1) , 由 O P ?

??

?? ?

??? ?

? a1 e ?

?? ? b,得 e 2

( x 0 , y 0 ) ? a ( 2,1) ? b ( 2, ? 1) ,即 ( x 0 , y 0 ) ? ( 2 a ? 2 b , a ? b ) ,∴ x 0 ? 2 a ? 2 b , y 0 ? a ? b ,
x
2

代入

? y

2

? 1 整理得 4 a b ? 1 ,故答案为: 4 a b ? 1 .

4

【命题意图】本题考查双曲线的几何性质,向量的坐标运算,平面向量基本定理等知识, 把向量与解几结合命题,是全国各地高考题中的主流趋势. 14、以集合 U ? ?a , b , c , d ? 的子集中选出 4 个不同的子集,需同时满足以下两个条件: (1) ? , U 都要选出; (2)对选出的任意两个子集 A 和 B,必有 A ? B 或 B ? A .那么共有________种不同 的选法. 【解析】由于 ? , U 都要选出,又 A ? B 或 B ? A ,则对选出的子集 A 中的元素个数分 类:A 是元子集,则满足条件的子集 A 和 B 共有 4 ? (3 ? 3) ? 2 4 种;A 是二元子集,则满
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足条件的子集 A 和 B 共有 6 ? 2 ? 1 2 种;故共有 36 种不同的选法。 【命题意图】本题考查子集的有关概念,两个计数原理的灵活应用.注意到条件“对选出的 任意两个子集 A 和 B,必有 A ? B 或 B ? A ” ,所以分类时 A 中元素个数最多 2 个,这是 解题的突破口. 15.(考生注意:请在下列二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分) (1) (几何证明选做题)如图,已知 Rt ? ABC 的两条直角边 AC , BC 的长分别为 3 cm , 4 cm , , 以 AC 为直径的圆与 AB 交于点 D ,则 A
BD DA ? __________

.

D O

B

C

【解析】 (方法一)∵易知 AB ?
4
2

3 ? 4
2

2

? 5 ,又由切割线定理得 BC

2

? BD ? AB ,∴

? BD ? 5 ? BD ?

16 5

.
16 5 ? 9 5

于是, DA ? AB ? BD ? 5 ?

.故所求

BD DA

?

16 5

?

5 9

?

16 9

.
2

(方法二)连 CD ,∵易知 CD 是 Rt ? ABC 斜边上的高,∴由射影定理得 BC
BD DA BD ? AB DA ? AB BC AC
2 2

? BD ? AB ,

AC

2

? DA ? AB .故所求

?

?

?

4 3

2 2

?

16 9

.

【试题评析】本题主要考查平面几何中的直线与圆的综合,要注意有关定理的灵活运用. (2)(坐标系与参数方程选做题).已知圆 C 的圆心是直线 ? 点,且圆 C 与直线 ? ? ? ? 3 ? 0 相切。则圆 C 的方程为 【答案】 ( x ? 1) ? y ? 2
2 2

?? ? t ?? ? 1 ? t

( t 为参数)与 ? 轴的交



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【解析】令 y=0 得 t=-1,所以直线 ?

?? ? t ?? ? 1 ? t

( t 为参数)与 ? 轴的交点为(-1,0) ,因为

直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即 r ?

| ?1 ? 0 ? 3 | 2

?

2 ,故圆 C 的方程

为 ( x ? 1) ? y ? 2 。
2 2

【命题意图】本题考查直线的参数方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等基础知识。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 设 S 是不等式 x ? x ? 6 ? 0 的解集,整数 m , n ? S .
2

(Ⅰ)记使得“ m ? n ? 0 成立的有序数组 ( m , n ) ”为事件 A,试列举 A 包含的基本事件; (Ⅱ)设 ? ? m ,求 ? 的分布列及其数学期望 E ? .
2

命题意图. 本小题主要考查概率与统计、 不等式等基础知识, 考查运算求解能力、 应用意识, 考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想,满分 12 分.
2 解: (Ⅰ)由 x ? x ? 6 ? 0 得 ? 2 ? x ? 3 ,即 S ? ? x | ? 2 ? x ? 3? .

由于 m , n ? Z , m , n ? S 且 m ? n ? 0 ,所以 A 包含的基本事件为:
( ? 2, 2 ), ( 2, ? 2 ), ( ? 1,1), (1, ? 1), (0, 0 ) .

17. (本小题满分 12 分)
某 港 口 O要 将 一 件 重 要 物 品 用 小 艇 送 到 一 艘 正 在 航 行 的 轮 船 上 . 在 小 艇 出 发 时 ,

轮船位于港口 O 北偏西 3 0 且与该港口相距 20 海里的 A 处,并以 30 海里/小时的航行速度
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?

沿正东方向匀速行驶.假设该小船沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小 时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向 与航行速度的大小) ,使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由. .. 命题意图:本小题主要考察解三角形、二次函数等基础知识,考查推理论证能力、抽象概括 能力、运算求解能力、应用意识,考查函数与方程思想、树形结合思想、化归与转化思想、 分类与整合思想,满分 13 分. 解法一:

即,小艇以 3 0 3 海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小. (Ⅱ)设小艇与轮船在 B 处相遇,则
v t ? 4 0 0 ? 9 0 t0 ? ? 2 ?2 0 t? 0 3
2 2 2

c o s?( 9 0? ?

30 )

v

2

? 900 ?

600 t

?

400 t
2

故 ∵ 0 ? v ? 30
900 ? 600 t 2 3 t ?

400 t
2

? 900


?

即t

2

? 0, 解 得 t ?

2 3

t ?

2 3 时, v ? 3 0



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t ?

10 30

?

1 3

,v ?

10 3 1 3

? 30 3

此时,轮船航行时间

即,小艇以 3 0 3 海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小. (Ⅱ)猜想 v ? 3 0 时,小艇能以最短时间与轮船在 D 处相遇,此时 A D ? D O ? 3 0 t
A D ? D O ? O A ? 20, 解 得 t ? 2 3

又 ? O A D ? 6 0 ? ,所以

据此可设计航行方案如下 航行方向为北偏东 3 0 ? ,航行速度的大小为 30 海里/小时,这样,小艇能以最短时间 与轮船相遇. 证明如下: 如图,由(Ⅰ)得 OC= 1 0 3 , A C ? 1 0 , 故 O C ? A C ,且对于线段 A C 上任意点 P, 有 O P ? O C ? A C . 而小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时, 故小艇与轮船不可能在 A,C 之间(包含 C)的任意位置相遇.
? C O D ? ? (0 ? ? ? ? 9 0 ? )
C D ? 1 0 3 ta n ? , O D ? 10 3 cos ? .



,则在 R t ? C O D 中,

由于从出发到相遇,轮船与小艇所需要的时间分别为
t ? 1 0 ? 1 0 3 ta n ? 30 和t ? 10 3 v cos ? ,

1 0 ? 1 0 3 ta n ?

?

10 3 v cos ?

,

所以,

30

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于是,当 ? ? 3 0 ? 时,

t ?

1 0 ? 1 0 3 ta n ? 30

2

.

取得最小值,且最小值为 3

解法三: (Ⅰ)同解法一或解法二 (Ⅱ)设小艇与轮船在 B 处相遇,依据题意得:
v t
2 2 2

? 4 0 0 ? 9 0 0 t ? 2 ? 2 0 ? 3 0 t ? co s(9 0 ? ? 3 0 ? ),
2 2

(v ? 9 0 0 )t ? 6 0 0 t ? 4 0 0 ? 0 .

(1)

若 0 ? v ? 3 0 ,则由
2

? ? 360000 ? 1600(v ? 900)

= 1 6 0 0 ( v ? 6 7 5) ? 0,
2

得 v ? 15 3.
t ? ?300 ? 20 v ? 675
2

从而,
t ?

v ? 900
2

, v ? [1 5 3 , 3 0 )



?300 ? 20 v ? 675
2

① 当

v ? 900
2

时,[来源: http://wx.jtyjy.com/]
t ? ?300 ? 20 x x ? 225
2

令 x?

2 ) v ? 6 7 5 , 则 x ? [ 0 , 1 5,

?

?20 x ? 15

?

4 3 ,当且仅当 x ? 0 即

v ? 1 5 3 时等号成立.
?300 ? 20
2

t ?

v ? 675
2

2

② 当

v ? 900

? t ?

4 3 .

时,同理可得 3
t ? 2 3 .

由①、②得,当

v ? [1 5 3 , 3 0 )

时,

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(2) 若 v ? 3 0 , 则

t ?

2 3

;

2

综合(1)(2)可知,当 、

v ? 30,

;

时,t 取最小值,且最小值等于 3

此时,在 ? O A B 中, O A ? O B ? A B ? 2 0 ,故可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东 30°,航行速度为 30 海里/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇. 18.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA ⊥平面 ABCD,AP=AB=2,BC= 2 2 , E,F 分别是 AD,PC 的中点. (Ⅰ)证明:PC ⊥平面 BEF; (Ⅱ)求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小. 命题意图. 本小题主要考查直线与直线、 直线与平面、 平面与平面的位置关系, 以及几何体的体积、 几何概型等基础知识; 考查空间想象能力、 推理论证能力、 运算求解能力;考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想.满分 12 分. 解法一: (Ⅰ)如图,以 A 为坐标原点,AB,AD,AP 所在直线分别为 x,y,z 轴建立 空间直角坐标系. ∵AP=AB=2,BC=AD= 2 2 ,四边形 ABCD 是矩形. ∴A,B,C,D,P 的坐标为 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, 2 2 ,0),D(0, 2 2 ,0),P(0,0,2), 又 E,F 分别是 AD,PC 的中点, ∴E(0, 2 ,0),F(1, 2 ,1). ∴ P C =(2, 2 2 ,-2) B F =(-1, 2 ,1) E F =(1,0, 1) ,
B E ∴ P C · F =-2+4-2=0, P C · F =2+0-2=0,

????

??? ?

??? ?

???? ??? ? ????

???? ??? ?

∴ PC ⊥BF , PC ⊥EF , ∴PC⊥BF,PC⊥EF,BF ∩ EF=F, ∴PC⊥平面 BEF, (II)由(I)知平面 BEF 的法向量 n1 ? P C ? ( 2 , 2 2 , ? 2 ) , 平面 BAP 的法向量 n 2 ? A D ? (0, 2 2 , 0 ) , ∴ n1 ?n 2 ? 8 . 设平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 θ ,
n1 ? n 2 n1 n 2 8 4?2 2 2 2

??? ?

????

??? ?

????

????

则 c o s ? ? c o s ( n1 , n 2 ) ?
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?

?

,

∴ θ=45°, ∴ 平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 45°. 解法二 (I)连接 PE,EC 在 R t ? P A E 和 R t ? C D E 中. PA=AB=CD, AE=DE, ∴ PE= CE, 即 △PEC 是等腰三角形, 又 F 是 PC 的中点,∴EF⊥PC, 又 BP ?
AP ? AB
2 2

? 2

2 ? B C ,F 是 PC 的中点,

∴ BF⊥PC. 又 B F ? E F ? F ,∴ P C ? 平 面 B E F . (II)∵ P A ? 平 面 A B C D , ∴ P A ? B C , 又 ABCD 是矩形,∴AB ? BC ∴BC ? 平面 BAP,BC ? PB, 又由(Ⅰ)知 PC ? 平面 BEF, ∴ 直线 PC 与 BC 的夹角即为平面 BEF 与平面 BAP 的夹角, 在 ? P B C 中, P B ? B C , ? P B C ? 9 0 ? , ∴ ? P C B ? 4 5 ? . 所以平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 45。 19.已知等差数列 ? a n ? 满足: a 3 ? 7 , a 5 ? a 7 ? 2 6 , ? a n ? 的前 n 项和为 S n . (Ⅰ)求 a n 及 S n ; (Ⅱ)令 bn=
1 an ? 1
2

(n ? N*),求数列 ? b n ? 的前 n 项和 T n . (本题 12 分)

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和公式的应用、裂项法求数列的和,熟 练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。 【解析】 (Ⅰ)设等差数列 ? a n ? 的公差为 d,因为 a 3 ? 7 , a 5 ? a 7 ? 2 6 ,所以有
? a1 ? 2 d ? 7 ,解得 a1 ? 3, d ? 2 , ? ? 2 a1 ? 1 0 d ? 2 6
2 所以 a n ? 3 ? ( n ? 1)= 2 n + 1 ; S n = 3 n +
n (n -1 ) 2
1
2

? 2 = n +2n 。
2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 a n ? 2 n + 1 ,所以 bn=

an ? 1 (2n+1) ? 1
2

=

1

=

1

?

1

=

1 4

?(

1 n

-

1 n+1

),

4 n (n + 1 )

所以 T n =

1 4

? (1 -

1 2

+

1 2

?

1 3

+? +

1 n

-

1 n+1

)=

1 4

? (1 -

1 n+1

)=

n 4 (n + 1 )



即数列 ? b n ? 的前 n 项和 T n =

n 4 (n + 1 )



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20. (本小题满分 13 分) 已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3) ,且点 F(2,0)为其右焦点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)是否存在平行于 OA 的直线 l ,使得直线 l 与椭圆 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的距离 等于 4?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 命题意图:本小题主要考查直线、椭圆等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考 查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.满分 13 分. 解法一: (Ⅰ)依题意,可设椭圆 C 的方程为 且可知左焦点为 F '( ? 2, 0 ) .
?c ? 2, ? ? 2 a ? A F ? A F ' ? 3 ? 5 ? 8, ?

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) ,

从而有 ?

解得 ?

?c ? 2, ?a ? 4.

又 a ? b ? c ,所以 b ? 1 2 ,故椭圆 C 的方程为
2 2 2 2

x

2

?

y

2

? 1.

16

12

解法二:
x a
2 2

(Ⅰ)依题意,可设椭圆 C 的方程为

?

y b

2 2

9 ? 4 ? 2 ? 2 ? 1, ? 1( a ? b ? 0 ) ,且有: ? a b 2 ?a ? b 2 ? 4. ?

解得 b ? 1 2 或 b ? ? 3 (舍去) .从而 a ? 1 6 .所以椭圆 C 的方程为
2

2

2

x

2

?

y

2

? 1.

16

12

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(Ⅱ)同解法一. 21、(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ?
x ,g(x)= a ln x , a ? R .
[来源: http://wx.jtyjy.com/ HTTP://WX.JTYJY.COM/]

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x ) 与曲线 y ? g ( x ) 相交,且在交点处有相同的切线,求 a 的值及该 切线的方程;
[来源: http://wx.jtyjy.com/ HTTP://WX.JTYJY.COM/]

(Ⅱ)设函数 h ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ,当 h ( x ) 存在最小值时,求其最小值 ? ( a ) 的解析式; (Ⅲ)对(Ⅱ)中的 ? ( a ) 和任意的 a ? 0 , b ? 0 时,证明:
? ?(
a?b 2 )?

? ?( a ) ? ? ?( b )
2

? ? ?(

2ab a?b

).

命题意图.本小题主要考查函数、导数等基础知识,考察抽象概括能力、推理论证能力、运 算求解能力、考查函数与方程思想,数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想.满 分 14 分.

解: (Ⅰ) f ? ? x ? =
2

1 x

, g ?( x ) =

a x

(x>0),

? x ? a ln x , ? 由已知得 ? 1 a ? , ? x ?2 x

解得 a=

e 2

,x=e2,

∴ 两条曲线交点的坐标为(e2,e) ∴ 切线的方程为 y ? e ? (Ⅱ)由条件知 h ( x ) ? ∴ h ?( x ) ?
2 1 x a x

2 切线的斜率为 k ? f ? ( e ) ?

1 2e

,

1 2e

? x ? e ?.
2

x ? a ln x ( x ? 0 ),
x ? 2a 2x
2

?

?

,

(1) 当 a.>0 时,令 h ? ( x ) ? 0, 解得 x ? 4 a , ∴ 当 0 < x < 4 a 时, h ? ( x ) ? 0, , h ( x ) 在(0, 4 a )上递减;
2 2

当 x> 4 a 时, h ? ( x ) ? 0, , h ( x ) 在 ( 4 a , ? ? ) 上递增.
2
2

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(iii)由(Ⅱ)知 ? ? ( a ) ? ? ln 2 a ). 对任意的 a ? 0, b ? 0,
? ?( a ) ? ? ?( b )
2 a?b 2 ? ? 2 ln 2 a ? 2 ln 2 b 2 ) ? ? 2 ln ( 2 ? a?b 2
) ? ? 2 ln ( 2 ? 2ab a?b ) ? ? 2 ln 4ab 2 ab ? ? ln 4 a b ,

? ? ln 4 a b ,
2

① ②

? ?(

) ? ? ln ( a ? b ) ? ? ln 4 a b ,

? ?(

2ab a?b



故由①,②,③得 ? ? (

a?b 2

)?

? ?( a ) ? ? ?( b )
2

? ? ?(

2ab a?b

).

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