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3.2立体几何中的向量方法(平行、垂直、夹角、距离)(高中数学人教版选修2-1)


3.2立体几何中的向量方法
(1)方向向量与法向量 (2)平行关系

(3)垂直关系
(4)夹角问题

(5)距离问题
(6)综合问题

(1)方向向量与法向量 探究:P102“思考”
1、空间中点的位置的确定:

点的位置向量 基点 目标点

/>OP

2、空间中直线位置的确定: 直线的向量式方程

AP ? t a

? 如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a ? 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量。

A?

?

l

? a

P

3、平面的确定:
空间中平面 ? 的位置可以由 ? 内两条相 交直线来确定. ? n ? 对于平面 ? 上的任一点 P , P b ( x , y ) 存在有序实数对 , 使得 ? ??? ? ? ? ? O a OP ? xa ? yb

除此之外, 还可以用垂直于平面的直线的 方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面 的位置.

3、空间中平面位置的确定:
(1)通过平面上的一个定点和两个 向量来确定: OP ? x a ? yb (2)通过平面上的一个定点和一个 向量来确定: 思考:平面的法向量有多少条? 它们的方向相同吗?

平面的法向量

2、平面的法向量

换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面

的法向量
平面 α的向量式方程

l

? ??? ? a?AP ? 0

? a

?

A
P

? 平面的法向量:如果表示向量 n 的有向线段所在 ? ,则称这个向量垂直于平 直线垂直于平面 ? ? ? 面 ? ,记作 n ⊥? ,如果 n⊥? ,那 么 向 量 n 叫做平面 ? 的法向量. ? n 给定一点 A 和一个向量 , 那么 ? l 过点A,以向量 n 为法向量的平面是 ? 完全确定的.
n
A
几点注意: 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都 互相平行 ? ; 3.向量 ?? n 是平面的法向量,向 量m 是与平面平行或在平面 ? ?? 内,则有 n ? m ? 0

?

例1. 如图所示, 正方体的棱长为1 (1,0,0) (1)直线OA的一个方向向量坐标为___________

(0,0,1) (2)平面OABC 的一个法向量坐标为___________ (3)平面OAA1O1 的一个法向量坐标为___________

z
O1 A1 B1 C1

o
A B

C

y

x

例 2.在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) , ? C (0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量. n ? (4, 3, 6)
? 解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ? ( x , y , z ) ? ??? ? ? ???? ??? ? ???? n ? AC .∵ AB ? ( ?3, 4, 0) , AC ? ( ?3, 0, 2) 则 n ? AB ,

3 ? y? x ? ( x , y , z ) ? ( ?3, 4, 0) ? 0 ? ?3 x ? 4 y ? 0 ? ? 4 ∴? 即? ∴ ? ( x , y , z ) ? ( ? 3, 0, 2) ? 0 ? 3 x ? 2 z ? 0 ? ? 3 ? z? x ? ? ? 2 取 x ? 4 ,则 n ? (4, 3, 6) ? ∴ n ? (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量.

总结:如何求平面的法向量 ?

⑴设平面的法向量为 n ? ( x , y , z )
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 ? ? 坐标 a ? (a1 , b1 , c1 ), b ? (a2 , b2 , c2 )

⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程 ? ? ? ?n ? a ? 0 组 ?? ? ? ?n ? b ? 0

⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.

例1. 如图所示, 正方体的棱长为1 (-1,-1,1) 平面AB1C 的一个法向量坐标为___________

(1,1, -1)

z
O1 A1 B1 C1

o
A B

C

y

x

? 解:设平面的法向量为n ? (x,y,z),
? ??? ? ? ???? 则n ? AB, n ? AC ? (x,y,z) ?(2, 2,1) ? 0,(x,y,z) ?(4,5,3) ? 0,

1 ? ?2 x ? 2 y ? z ? 0 ?x ? 即? , 取z ? 1,得 ? 2 ?4 x ? 5 y ? 3z ? 0 ? ? y ? ?1
? 1 ? n ? ( , ?1,1), 2

??? ? ???? 例2:已知 AB ? (2, 2,1), AC ? (4,5,3), 求平面ABC的 单位法向量。
? 解:设平面的法向量为n ? (x,y,z),
? ??? ? ? ???? 则n ? AB, n ? AC ? (x,y,z) ?(2, 2,1) ? 0,(x,y,z) ?(4,5,3) ? 0,

1 ? ?2 x ? 2 y ? z ? 0 ?x ? 即? , 取z ? 1,得 ? 2 ?4 x ? 5 y ? 3z ? 0 ? ? y ? ?1

1 2 2 ? 求平面ABC的单位法向量为 ? ( , - ,) 3 3 3

? 1 ? n ? ( , ?1,1), 2

? 3 | n |? 2

三、简单应用
设直线 练习1: ? ?l,m的方向向量分别 为 a, b ,根据下列条件判断 l,m的位置关系:

? ? (1)a ? ( 2,?1,?2), b ? (6,?3,?6) ? ? ( 2)a ? (1,2,?2), b ? ( ?2,3,2) ? ? ( 3)a ? (0,0,1), b ? (0,0,?3)

设平面 , 的法向量分别 ? ? 练习2: ? ? 为 u, v ,根据下列条件判 断? , ? 的位置关系:

? ? (1)u ? (?2,2,5), v ? (6,?4,4) ? ? (2)u ? (1,2,?2), v ? (?2,?4,4) ? ? (3)u ? (2,?3,5), v ? (?3,1,?4)

用向量方法解决几何问题

因为方向向量与法向量可以确定 直线和平面的位置,所以我们可以利 用直线的方向向量与平面的法向量表 示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角、距离等位置关系.

小结 :
在计算和证明立体几何问题时, 如果能够在原图中建立适当的空间直 角坐标系,将图形中有关量用坐标来 表示,利用空间向量的坐标运算来处 理,则往往可以在很大程度上降低对 空间想象的要求;求向量坐标的常用 方法是先设出向量坐标,再待定系数.

3.2立体几何中的向量方法
(2)平行关系

用向量运算处理平行关系
? ? 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? ? ? 的法向量分别为 u, v ,则

线线平行 线面平行

面面平行

? ? ? ? l ∥ m ? a ∥ b ? a ? kb ; ? ? ? ? l ∥? ? a ? u ? a ? u ? 0 ; ? ? ? ? ? ∥ ? ? u ∥ v ? u ? kv .

注意:1.这里的线线平行包括线线重合,线面平行 包括线在面内,面面平行包括面面重合。

? ? 设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则
一. 平行关系:
? ? ? ? (1) l / / m ? a / / b ? a ? ? b ;
? a ? b

l
m

? ? ? ? (2) l / /? ? ① a ? u ? a ? u ? 0 ;
? u
α

? ? 设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则

? a

? ??? ? ? ② a∥AC
? ??? ? ???? ? ③ a ? x AB ? y AD

? ? 设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则
? ? ? ? (3) ? / / ? ? ① u / / v ? u ? ? v .
? u
α

? v

β

l

m

? a ? b
? ? ? ? l // m ? a // b ? a ? ?b

? a

? u

l

?
? ? ? ? l // ? ? a ? u ? a ? u ? 0

? u
?
?

? v

? ? ? ? ? // ? ? u // v ? u ? ?v

1. 证明平行问题

a, b 设直线 l、m 的方向向量分别为:
平面α、β的法向量分别为:

u, v

l // m ? a // b ? a ? ? b l // ? ? a ? u ? a ? u ? 0

? // ? ? u // v ? u ? ? v

例1 四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方 形, PD⊥底面ABCD,PD=DC=6, E是PB的

中点,DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证:AE//FG. 证 :如图所示, 建立 Z E(3,3,3), 空间直角坐标系. A(6,0,0), P

F(2,2,0), G(0,4,2), ?? ? ?? ? AE =(-3,3,3),FG =(-2,2,2) ?? ? 3 ?? ? ?? ? ?? ? AE = FG AE // FG 2 AE与FG不共线
AE//FG
A X

几何法呢?

E
D

G
C Y

F

B

例2 如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是 C1C、B1C1的中点,求证:MN∥平面A1BD 分析:证明线面问题 ,可利用三 ???? ? 种方法:一是证明 MN与平面 A1BD的法向量垂直;二是在平 ???? ? 面A1BD内找一向量与 MN A1BD中的两不共线向量线性 表示.
D! N A! B! C! M C B

???? ? 平行;三是证明 MN 可以用平面

D A

???? ? 方法:一是证明 MN与平面A1BD的法向量垂直;

法1:建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1,则可求得 M(0,1,1/2),N(1/2,1,1),D(0,0,0), A1(1,0,1),B(1,1,0).于是
? 设平面A1BD的法向量是 n ? ( x , y , z )
???? ? 1 1 MN ? ( , 0, ) 2 2
A!

z D! N B! C! M C y A B

D



? ???? ? ? ??? ? n ? DA1 ? 0且 n ? DB ? 0, 得

?0 ?x ? zx ? ?x ? y ? 0

???? ? ? ???? ? ? 1 1 又 MN ? n ? ( , 0, ) ? (1, ?1, ?1) ? 0,∴ MN ⊥ n 2 2 ???? ? ∴ MN ∥ 平面A1 BD

? 取x=1,得y=-1,z=-1, ∴ n ? (1, ?1, ?1)

法二:在平面A1BD内找一向 ???? ? 量与 MN 平行;
法2:
???? ? ????? ????? 1 ????? 1 ???? ? ∵ MN ? C1 N ? C1 M ? C1 B1 ? C1C 2 2 ? 1 ???? ? 1 ????? ???? ? ( D1 A1 ? D1 D ) ? DA1 , 2? ???? 2 ???? ? ???? ?
D!
N A! C! M

∴ MN ∥ DA1 ,∴ MN ∥ 平面A 1 B D

B!

D
A B

C

???? ? 法三:证明 MN可以用平面A1BD中的两不共线向量

线性表示. 法3:

D! N A! B!

C! M

???? ? ???? ? ????? 1 ????? 1 ???? ? ∵ MN ? C1 N ? C1 M ? D1 A1 ? D1 D D C 2 2 ? ??? ? ? 1 ??? 1 ????? ???? ? ( DB ? BA) ? ( D1 A1 ? A1 D ) A B 2 2 ? 1 ???? ? 1 ??? ? ??? ? ? 1 ???? ? 1 ??? ? 1 ???? ? ??? ? 1 ??? 1 ??? ? DB ? DA1 ? ( BA ? DA) ? DB ? DA1 ? BD ? DA1 ? 0 ? BD 2 2 2 2 2 2 2

? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? ???? ? ???? 即MN可用 DA1与 DB 线性表示,故MN与 DA1 , DB

是共面向量,∴MN∥平面A1BD

例2.在正方形ABCD - A 中, 1B 1C1 D 1 求证 : 平面A 1 BD // 平面CB 1D 1
三边所在的直线为x, y, z轴建立空间 A 直角坐标系.设正方体的棱长为1,
则A1 (1, 0, 0), B1 (1,1, 0),
X Z
D

证明 : 如图分别以D1 A1、D1C1、D1 D

C

B
D1

C1
B1

C (0, 0,1), D (0, 0,1) ???? ? ???? 则A1 D ? ( ?1, 0,1), B1C ? ( ?1, 0,1) ???? ? ???? ? A1 D // B1C.即直线A1 D // B1C,

A1

Y

则A1 D // 平面CB1 D1.同理右证:A1 B // 平面CB1 D1.

? 平面A1 BD // 平面CB1 D1.

例2.在正方形ABCD - A 中, 1B 1C1 D 1
Z
D

求证 : 平面A 1 BD // 平面CB 1D 1

A
D1

C

B
C1

评注: A1 1B 由于三种平行关系可以相互转化, 所以本题可用逻辑推理来证明。 X 用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化, 在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系, 方能减少运算量。本题选用了坐标法。

Y

? ? 设直线l,m的方向向量分别为 ,b , ?a ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u , v
? ? ? ? 线线平行 l // m ? a // b ? a ? ?b ? ? ? ? 线面平行 l // ? ? a ? u ? a ? u ? 0 ? ? ? ? 面面平行 ? // ? ? u // v ? u ? ?v
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(2)平行关系

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三、练习:
1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P在A1B1上,Q在BC 上,且A1P=QB,M、N分别为AB1、PQ的中点。求证:

MN//平面ABCD。

证明:建立如图所 示的空间直角坐标 系o-xyz

z

D1

C1

B1 P 设正方形边长为2, 又设A1P=BQ=2x 则P(2,2x,2)、 N M Q(2-2x,2,0) o C D 故N(2-x, 1+x, 1), Q A 而M(2, 1, 1) B x 所以向量 MN ? (-x, x, 0),又平面 AC 的法 ? ? ? 向量为 n ? (0, 0, 1),∴ MN ? n ? 0 ∴MN ? n

A1

y

又M不在平面AC 内,所以MN∥平面AC

2、 四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正 方形,PD⊥底面ABCD,PD=DC, E是PC的 中点, (1)求证:PA//平面EDB.
Z

解1 立体几何法

P E

D A X
G

C B

Y

解2:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1
(1)证明:连结AC,AC交BD于点G,连结EG

依题意得A(1, 0, 0), P(0, 0,1), 1 1 1 1 E (0, , ) G( , ,0) 2 2 2 2 ??? ? ??? ? 1 1 PA ? (1, 0, ?1), EG ? ( , 0, ? ) 2 2
Z

P E

所以PA ? 2 EG,即PA // EG

而EG ? 平面EDB, 且PA ? 平面EDB
D A X
G

C B

Y

所以,PA // 平面EDB

解3:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1

1 1 1,0) 依题意得A(1, 0, 0), P (0, 0,1), E (0, , ), B(1, (1)证明: 2 2 ??? ? ???? ?? ? 1 1 PA ? (1, 0, ?1), DE ? (0, , ) Z DB =(1, 1, 0) 2 2 ? 设平面EDB的法向量为 n ? ( x, y,1) P ? ???? ? ??? ? 则n ? DE , n ? DB
1 ?1 ? y? ?0 ? 于是 ? 2 ? n ? ?1, ? 1, 1? 2 ? ?x ? y ? 0

E

??? ?? ??? ? ? ? PA?n ? 0 ? PA ? n

而PA ? 平面EDB
所以,PA // 平面EDB

D A X B

C

Y

解4:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1

1 1 1,0) 依题意得A(1, 0, 0), P (0, 0,1), E (0, , ), B(1, (1)证明: 2 2 ??? ? ???? ?? ? 1 1 PA ? (1, 0, ?1), DE ? (0, , ) Z DB =(1, 1, 0) 2 2

??? ? ???? ??? ? 设 PA ? xDE ? yDB

P E

解得 x=-2,y=1 ??? ? ???? ??? ? 即PA ? ?2 DE ? DB ??? ? ???? ??? ? 于是PA、 DE、 DB共面
而PA ? 平面EDB
所以,PA // 平面EDB
A X D

C B

Y

3.2立体几何中的向量方法
(3)垂直关系

设 u , v 分别是平面α,β的法向量,根据 下列条件,判断α,β的位置关系.

(1)u ? (?2,2,5), v ? (6,?4,4)

垂直

(2)u ? (1,2,?2), v ? ( ?2,?4,4) 平行 (3)u ? ( 2,?3,5), v ? (?3,1,?4) 相交

(3)垂直关系

? ? 设直线l,m的方向向量分别为 , , a ? ?b 平面 ? , ? 的法向量分别为 u , v
? ? ? ? 线线垂直 l ? m ? a ? b ? a ? b ? 0 ? ? ? ? 线面垂直 l ? ? ? a // u ? a ? ?u ? ? ? ? 面面垂直 ? ? ? ? u ? v ? u ? v ? 0
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l

? a ? b

m

? ? ? ? l ? m ? a ? b ? a?b ? 0

l

? a
?

? u

? ? ? ? l ? ? ? a // u ? a ? ?u

? u
?

? v
?

? ? ? ? ? ? ? ? u ? v ? u? v ? 0

(3) 证明垂直问题

a, b 设直线 l、m 的方向向量分别为:
平面α、β的法向量分别为: u, v

l ? m ? a ? b ? a ?b ? 0 l ? ? ? a // u ? a ? ? u

? ? ? ? u ? v ? u ?v ? 0

? ? 设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则

? ? ? ? (1) l ? m ? a ? b ? a ? b ? 0
l
? a ? b

m

?? 设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , ?? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则 ? ? ? ? (2) l ? ? ? a // u ? a ? ? u
l
? a

? u
C A

?

B

?? 设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , ?? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则 ? ? ? ? (3)? ? ? ? u ? v ? u ? v ? 0
β

? u

? v

α

棱长为a 的正方体 OABC ? O' A' B' C' 中,E、F分别是棱AB,OA上的动点,且AF=BE,求证: 例1 :
1

A F ?O E
1

解:如图所示建立空间 O’ 直角坐标系,设AF=BE=b. C’ 1 A (a, a, a ) F (0, a ? b,0)
O1 (0,0, a)
???? ? A1 F ? (?a, ?b, ?a ) ???? ? O1 E ? (a ? b, a, ?a) x ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? A1 F ? O1 E A1 F ? O1 E ? 0

Z
A’ B’

E (a ? b, a,0)

O C
1 1

F A

y

B

E

A F ?O E

例2

正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F分别

是BB1,,CD中点,求证:D1F ? 平面ADE. 正交 基底,建立如图所示坐标系D-xyz,
??? ? ???? 1 DA ? (1, 0, 0), DE ? (1,1, , ) 2 ???? ? 1 D1 F ? (0, , ?1) 2 ???? ??? ? ???? ???? 则 DF , ?? DF 1 ? DA ? 0?? 1 ? DE ? 0 ???? ??? ? ???? ???? 则 DF , ?? DF 1 ? DA? 1 ? DE.
D1

??? ? ???? ???? ? 以DA??, ??DC ??,??DD1为单位 证明:设正方体棱长为1,

z

C1 B1 E

A1

D A
x

F B

C y

所以

D1 F ? 平面ADE

例2

正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F分别

是BB1,,CD中点,求证:D1F ? 平面ADE. 证明2: z
D1

C1

A1

B1
E D C

F
A
x

y
B

例3 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,E是AA1中点, 求证:平面EBD ? 平面C1BD. 证明: 设正方体棱长为2, 建立如图所示坐标系
E(0,0,1) B(2,0,0) D(0,2,0)

??? ? EB ? (2, 0, ?1) ??? ? ED ? (0, 2, ?1)

E

设平面EBD的一个法向量是

? ??? ? ? ??? ? 由u ? EB ? u ? ED ? 0
? ? ???? 1 1 得u ? ( , ,1) 平面C1BD的一个法向量是 v ? CA ? (?1, ?1,1) 1 2 2

? u ? ( x, y,1)

? ? u ? v ? 0,

平面EBD ? 平面C1BD.

例3 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,E是AA1中点, 求证:平面EBD ? 平面C1BD. 证明2:

E

?

练习:如图所示,PA ? 矩形ABCD所 在平面,M, N分别是AB, PC的中点。 (1)求证:MN ?CD (2)若平面PDC与平面ABCD成45度 的角,求证:MN ?平面PDC. (3)当AD:AP为何值时,MN ?面PDC P 并证明。
A B
M

N

D

C

:如图所示,PA ? 矩形ABCD所在 平面,M, N分别是AB, PC的中点。 (1)求证:MN ?CD
练习

设AB=2a,AD=2b,AP=2c,则 M(a,0,0), C(2a,2b,0), D(0,2b,0),P(0,0,2c)
P
A N B
M

D

N(a,b,c)

C

:如图,PA ? 矩形ABCD所在平面, M, N分别是AB, PC的中点。 (2) 若平面PDC与平面ABCD成45度 的角,求证:MN ? 平面PDC. ?PDA=450,∴PA=AD, P 易证: 设AB=2a, PA=AD=2b,则
练习

M(a,0,0), C(2a,2b,0),

A N B
M

D

D(0,2b,0),P(0,0,2b)
N(a,b,b)

C

练习:如图所示,PA

面,M, N分别是AB, PC的中点。 (3)当AD:AP为何值时,MN ?面PDC, 并证明。 P 设AD:AP=λ时, MN ?面PDC, D A N 设AB=2a, AD=2b, M B AP=2c,则b=λc, C

矩形ABCD所在平 ?

PD ? MN ? (1 ? ? ) ? c ?? ? 1时,MN ? PD
2

2

3.2立体几何中的向量方法
(4)夹角问题

复习引入
1. 直线与直线所成角

? ? 设直线 l , m 的方向向量分别为a , b
2

? ? (0 ≤ ? ≤ ), 则 若两直线 l , m 所成的角为

? ? a?b cos ? ? ? ? a b

l

l

? a

?

m

? ? a b ?

m

2. 线面角

? ? 设直线l的方向向量为 a,平面? 的法向量为 u ? ),则 ? 所成的角为 直线 l 与平面 ( ? 0 ≤? ≤

,且

? ? a u
?

? ? a?u sin ? ? ? ? a u

2

? a
?

l

?

?

? u

? ? a u
?

l

? a
?

l

?

?

? ? ? |a?u| cos( ? ? ) ? ? ? l , ?的夹角为 ?, 2 | a || u |

? u

3. 二面角

②法向量法 将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。 ? ? 如图,向量 n ? ?,m ? ? ,

? ? 则二面角? ? l ? ? 的大小 ? =〈m, n 〉 ? ? ? ? m, n

m

n

? ? u?v ) 则 cos ? ? ? ? . 若二面角? ? l ? ? 的大小为 ? (0 ? ? ? ? , u v

L

?

?

注意法向量的方向:同进 同出,二面角等于法向量 夹角的补角;一进一出, 二面角等于法向量夹角

?

? u ? v
?

?

?

? ? | u?v | ? , ?的夹角为 ?, cos ? ? ? ? | u || v |

? u

?

? v

?

?

? ? | u?v | cos ? ? ? ? ? , ?的夹角为 ?, | u || v |

基础自测 1.如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射 影的方向向量分别是 a=(1,0,1), b=(0,1,1), 那么,这条斜线与平面所成的角是( D ) A.90° B.30° C.45° D.60°
1 1 解析 ∵cos〈a,b〉= = , 2· 2 2 又∵〈a,b〉∈[0° ,180° ],∴〈a,b〉=60° .

2.已知两平面的法向量分别为 m=(0,1,0), n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小 为( C ) A.45° C.45° 或 135°
解析

B.135° D.90°

1 2 m· n cos〈m,n〉=|m||n|= =2, 1× 2

即〈m,n〉=45° ,其补角为 135° , ∴两平面所成的二面角为 45° 或 135° .

3.已知三点A(2,3,-3,),B(4,5,-2), C(6,8,0)及向量 a ? (5,5,5), 求 a 与 平面ABC的法向量的夹角的余弦。

解 : 设n ? ( x, y, z )是平面ABC的一个法向量
1 ? ? 2 x ? 2 y ? z ? 0 ?n ? AB ? 0 ? ? x? z 即 解得 ?4 x ? 5 y ? 3z ? 0 2 ? ? ? ? ?n ? AC ? 0 ? ? y ? ?z

3 ? cos ? a, n ?? ? 9

例 2:
解1 建立直角坐标系.
????? 则B1C1 ? (0,-1, 0),

的棱长为 1.

求B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值.
z
D1

A1
B1

???? ? D1B = (1,1, ? 1)

平面AB1C的一个法向量为

C1
D

E

???? ? ????? 0 ?1 ? 0 3 cos BD1, B1C1 ? ?? 3 1? 3

F
x

A y

C

B

3 所以B1C1与面AB1C所成的角的正弦值为 。 3

例题3. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中,

AB=2,BC=4,AA1=2,点Q是BC的中点,
求此时二面角A—A1D—Q的余弦. 解 : 如图2,建立空间直角坐标系. 依题意:A1(0,0,2),Q(2,2,0), D(0,4,0), 面AA1D的法向量 n1
???? ? ???? ? A1Q ? (2, 2, ?2), QD ? (?2, 20)

z ? (1,0,0)
A1

D1 B1 D

设面A1DQ的法向量为

C1

?? ? n2 ? (a1 , a2 , a3 ),

2

y
Q

C B

4 2

O(A)

x



?? ? ???? ? ? ?n2 ? A1Q ? 2a1 ? 2a2 ? 2a3 ? 0, ? ???? ??? ? ?n2 ? QD ? ?2a1 ? 2a2 ? 0,

?? ? ? n2 ? (a1 , a1 , 2a1 )

?a 2 ? a 1 , ?? ?a 3 ? 2a 1 ,

?? ? 则 n2 ? (1,1, 2), ?? ? ?? ? . ?? ? ?? ? n1 ? n2 1 6 ? cos ? n1 , n2 ?? ?? ? ? ?? ? ? 6 n1 ? n2 1? 6

令a1=1,

? ? 设直线l,m的方向向量分别为 , , a b ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u , v ? ?

(4)夹角

|a?b | ?, cos ? ? ? ? 线线夹角 l , m的夹角为 ? | a || b | (0 ? ? ? ) ? ? 2 |a?u| ?, sin? ? ? ? 线面夹角 l , ?的夹角为 ? | a || u | (0 ? ? ? ) ? ? 2 | u?v | 面面夹角 ? , ?的夹角为 ?, cos ? ? ? ? | u || v | (0 ? ? ? ? )

变式训练 2 如图所示,已知点 P 在正方体 ABCD—A′B′C′D′的对角线 BD′上,∠PDA =60° . ????1?求 DP 与 CC′所成角的大小; ?2?求 DP 与平面 AA′D′D 所成角的大小.



??? ? ???? ? CC ' 建立空间直角坐标系 Dxyz. DA =?1, 0, 0? ,
???? ? BB′D′D 中, ,延长 DP 交 B′D′于 H.设 DH

如图所示,以 D 为原点,DA 为单位长度

= ?0 , 0 , 1?., 连 接 BD , B′D′. 在 平 面 = ?m, m,1? ?m>0?,由已知
???? ? ??? ? ???? ? ??? ? ??? ? ???? ? DH ? DA ? DA ? DH cos DH , DA
2 2

???? ? ???? DH , DA = 60° ,由
?m ?+? . 解

,可得 2m=


得m=

???? ? ,所以 DH =(

2 2

2 2



1)

(1)因为 cos 所以
???? ? ???? ? DH , CC '

2 2 ? 0 ? ? 0 ? 1? 1 ???? ? ???? ? 2 2 DH , CC ' ? 2 ? . 2 1? 2

=45° , 即 DP 与 CC′所成的角为 45° .
2 2 ?0? ? 0 ? 1? 0 1 2 2 ? 2 1? 2

???? (2)平面 A A 'D D '的一个法向量是 DC =(0,1,0). 因

为 cos

???? ? ???? DH , DC

=

,所以

???? ? ???? DH , DC



60° ,,可得 DP 与平面 AA′D′D 所成的角为 30° .

3
求二面角A-BD1 -C的大小.
解1

的棱长为 1.

D1 C1
D B1

A1

A

C

B

练3:

的棱长为 1.

求二面角A-BD1 -C的大小.
解2 建立直角坐标系.

z
D1

平面ABD1的一个法向量为
???? ? DA1 ? (0,1,1)
C1

A1
B1

平面CBD1的一个法向量为

???? ? ???? ? cos ? DA1 , DC1 ?? 1 / 2
cos ? ? ?1/ 2, ? ? 120?

???? ? DC1 ? (1, 0,1)

D

A y
B

x

C

二面角A-BD1 -C的大小为120?.

3.2立体几何中的向量方法
(5)距离问题

(5)空间“距离”问题

? ? 设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则
(1) A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), 则

AB ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? ( z1 ? z2 )
2 2

2

? ? 设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则
(2) 点P与直线l的距离为d , 则

距离问题:

??? ? ???? ? d ? AP sin ? AP, a ?

? a

? ? 设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则
(3) 点P与平面α的距离为d , 则
??? ? ? ??? ? ? ??? ? | AP ? u | ? d =| AP | ? |cos ? AP , u? |= ?? . |u|

距离问题:

? u

?P

d

?

A?

?O

3. 点到平面距离的向量计算公式 点B到平面α的距离: B β

??? ? ? AB ? n d? ? |n|

? n 是平面 ? 的法向量

α

? n

C

A

这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面 上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的 绝对值.

向量法求点到平面的距离:

P

如图,已知点P(x0,y0,z0), 在平面? 内任意取一点A(x1,y1,z1),

? n

? 一个法向量 n

A

n ? AP ? n ? AP cos? 其中 ? ?? n, AP ?

? n ? AP AP cos? ? ? , n ??? ? AP cos ?的绝对值就是点P到平面?的距离。

???? ? | n ? AP| d ? ? n

?

也就是AP在法向量n上的投影的绝对值

? ? 设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则
(4) 平面α与β的距离为d , 则
??? ? ? ??? ? ? ??? ? | AP ? u | ? d =| AP | ? |cos ? AP , u? |= ?? . |u| m

距离问题:

? u

D P

?

l

C

A

? b ? a

(5)异面直线间的距离
已知a,b是异面直线,n为?的法向量

b

CD为a,b的公垂线
A,B分别在直线a,b上 则 | CD |?

? n
?
a

C A

D

B

n ? AB |n|

即 l1 , l 2 间的距离可转化为向量 CD 在n上的射影长,

例1

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长

为1,E为D1C1的中点,求点E到直线A1B的距离.
???? ???? 1 cos ? A1 E , A1 B ?? 10 ???? ???? 3 sin ? A1 E , A1 B ?? 10
???? ? ???? ? 1 解 : 建立坐标系. A1E = (-1, ,0), A 1B = (0,1,-1) 2

z
D1
A1
E

C1

点E到直线A1B的距离为
???? ???? ???? 3 d ? A1E sin ? A1E , A1B ?? 2 4

B1
D
C

A

y

x

B

例2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱 长为1,E为D1C1的中点, 求B1到面A1BE的距离;

z

???? ???? 1 解:A1 E =(-1, ,0),A1B =(0,1,-1) 2 ? 设n ? ( x, y, z )为面A1 BE的法向量, A1 ? ???? 1 ? 则 ? ?n ? A1E ? 0, ? ? x ? y ? 0, ? y ? 2 x, 2 ? ? ???? 即? ? z ? 2 x, ? ? ?n ? A1B ? 0, ? y ? z ? 0, ? ? 取x=,得平面 1 A1BE的一个法向量n ? (1, 2, 2) A ???? ? 选点B1到面A1 BE的斜向量为A1 B1 ? ? 0,1, 0 ? , ???? ? ? A1B1 ? n 2 得B1到面A1BE的距离为d ? ? ? 3 n

D1

E

C1

B1
D
C

y

x

B

面到面的距离

例3 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为
1,求面A1DB与面D1CB1的距离. 法1:∵面D1CB1∥面A1BD ∴ D1到面A1BD的距离即 为面D1CB1到面A1BD的距离
平面A1 BD的一个法向量为 ???? ? ????? AC1 ? ( ?1,1,1), 且 D1 A1 ? (1, 0, 0)
????? ???? ? D1 A1 ? AC1 3 d? ? ???? ? 3 AC1

z
D1
C1

A1

B1
D
C

x

A

B

y

例4: 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长 为1,E为D1C1的中点,求异面直线D1B与A1E的距离.
1 解:∵ D1 (0, 0,1), B(1,1, 0), A1 (1, 0,1), E (0, ,1) 2 ???? ? ???? ? 1 ? ? A1 E ? ? ?1, , 0 ? , D1 B ? ?1,1, ?1? 2 ? ???? ? ? ? ???? ? 设n ? (1, y , z )与 A1 E , D1 B都垂直 ? ???? ? ? ? D ? n ? A1 E ? 0, 1 得 n ? (1, 2, 3) 由 ? ? ???? ? ? ? n ? D1 B ? 0, A1 ????? D1 A1 ? ? 1, 0, 0 ? ,

z

E

C1

B1
C

A1 E与BD1的距离为 ????? ? D1 A1 ? n 14 d? ? ? 14 n

D
A

x

B

y

用空间向量解决立体几何问题的步骤: 面面距离 ? 点面距离 ? 向量的模 ? 回归图形 二面角 ? 平面角 ? 向量的夹角 ? 回归图形

用向量法解空间图形问题
练习 3.已知直三棱柱 ABC ─A1 B1C1 的侧棱 AA1 ? 4 ,底面
△ABC 中 , AC ? BC ? 2 , ?BCA ? 90 , E 是 AB 的中点, 求异面直线 CE 与 AB1 的距离. 解:如图建立坐标系 C ? xyz, 则C(0,0,0), E(1,1,0), A(2,0,0), B1 (0,2,4). ? ? z ? CE ? (1,1,0), AB1 ? (2,2,4), C1 ? ? ? 设CE , AB1的公垂线的方向向量为n ? ( x, y, z ).则 A1 B1 ? ? x ? y ? 0 n ? CE ? 0 即 ? ? ?2 x ? 2 y ? 4 z ? 0 n ? AB1 ? 0 C
?

? 取x=1,z则y=-1,z=1,所以 n ? (1,?1,1)

? 在两直线上各取点C , A,? C A ??? ? ? (1,0,0). ? ??? ? ???? ? | n ? CA | 2 3 ? CE与 AB1的距离d ? ? . ? |n| 3

A

B

x

E

y

自学课本 P118 例 4

例1 如图,60°的二面角的棱上有A、B两点,直线AC、
BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直AB,已

知AB=4,AC=6,BD=8,求CD的长.
??? ? ??? ? ??? ? 解: CA ? 6 , AB ? 4 , BD ? 8 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? 且 CA ? AB, BD ? AB , CA, BD ? 120
? C
A B
D

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ∵ CD ? CA ? AB ? BD ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ∴ CD ? CA ? AB ? BD ? 2CA ? AB ? 2 AB ? BD ? 2CA ? BD

?

??? ? ∴ CD ? 2 17

1 ? 6 ? 4 ? 8 ? 0 ? 0 ? 2 ? 6 ? 8 ? = 68 2
2 2 2

答: CD 的长为 2 17 .

注 : 利用本题中的向量关系我们还可以倒过来求二 面角的大小.

用向量法解空间图形问题
课本例2.如图甲站在水库底面上的点A处,乙站在水坝斜面上的点B 处。从A,B到直线 l(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为 a 和 b ,CD的长为 c, AB的长为 d .求库底与水坝所成二面角的余弦值. BD ? b, CD ? c , AB ? d . ? 分析:如图,AC ? a , B C 化为向量问题 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? D 由图可知有向量关系 AB ? AC ? CD ? DB A

? 进行向量运算尝试 ? 2 ??? ?2 ???? ??? ? ???? ???? ??? ? ???? ??? ? 2 ???? ??? ? ??? ? 2 ???? 2 ??? AB ? ( AC ? CD ? DB ) ? AB ? CD ? BD ? 2( AC ? CD ? AC ? DB ? CD ? DB ) ??? ? ??? ? 求解目标:库底与水坝所成的二面角的余弦值即 CA 与 DB 的夹角的余弦值.

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? CA ? DB CA ? DB ∵ cos CA, DB ? ??? ,∵只要求出 CA ? DB 即可. ? ??? ? ? ab CA ? DB

??? ? ??? ? 刚才的式子把有关数据代入就能求出 CA ? DB ,搞定! ??? ? ??? ? 2 2 2 2 d ? a ? c ? b ? 2CA ? DB
第115页的思考解答(由学生课外学习)

3.2 立体几何中的向量方法 (6)综合问题

例1:如图3,甲站在水库底面上的点A处,乙站在水坝斜面上的点B 处。从A,B到直线 l(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为 a 和 b ,CD的长为 c, AB的长为 d。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 思考: (1)本题中如果夹角 ? 可以测出,而AB未知,
?
C D A 图3 B

其他条件不变,可以计算出AB的长吗?
分析:由 AB ? ( AC ? CD ? DB ) 2
2

?

? AB ? CD ? BD ? 2( AC ? CD ? AC ? DB ? CD ? DB )

2

2

2

? a 2 ? c 2 ? b2 ? 2ab cos?

∴ 可算出 AB 的长。

(2)如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对

D1
A1 B1 D C B

C1

角线的长,并且以同一顶点为端点的各棱间的夹
角都相等,那么可以确定各棱之间夹角的余弦值 吗? 分析:如图,设以顶点 A 为端点的对角线
2

A

长为 d ,三条棱长分别为 a , 各棱间夹角为 ? 。 b, c,
则 d ? A1C ? ( AB ? AC ? CC1 ) 2
2

? a 2 ? c 2 ? b 2 ? 2(ab ? bc ? ac) cos ?

?

d 2 ? a 2 ? b2 ? c 2 cos ? ? 2(ab ? bc ? ac)

例2、如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质 量为500kg,在它的顶点处分别受力F1,F2,F3, 每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都 是60°,且|F1|=|F2|=|F3|=200kg.这块钢板在这 些力的作用下将会怎样运动?这三个力最小为多 F3 少时,才能提起这块钢板?
分析:钢板所受重力的大 小为 500kg ,垂直向下作用在 三角形的中心 O ,如果能将各 ?? ? ?? ? ?? ? 顶点出所受的力 F1 、F2 、F3 用 向量形式表示,求出其合力,A 就能判断钢板的运动状态.

F1 F2 o

C

500kg

B

F2
F3

F1 A

F1

F3 F2 O C

B
500kg

F2 F3 F1

?? ? ?? ? ?? ? 合力就是以 F1 、 F2 、 F3

为棱的平行六面体的对角线 向量(如图所示)

解:如图,以点A为原点,平面ABC为xAy坐标 平面, AB方向为y轴正方向, AB 为y轴的单位长度 建立空间直角坐标系Axyz, 则正三角形的顶点 3 1 坐标分别为A(0,0,0), B(0,1,0), C (? , ,0). 2 2 z
F1
O A
x 500kg

F3
C

F2
B

y

设力F1方向上的单位向量坐标为( x, y, z ),
?

由于F1与 AB, AC的夹角均为60 ,利用向量 1 的数量积运算,得cos 60 ? ? ( x, y, z ) ? (0,1,0), 2 1 ? cos 60 ? 2 z 3 1 F3 ? ( x, y , z ) ? ( ? , ,0), 2 2 F1
?

C

F2

1 1 解得x ? ? ,y? . 12 2
x

O A
500kg

B

y

2 又因为x ? y ? z ? 1,因此z ? 3
2 2 2

1 1 2 所以F1 ? 200 (? , , ) 12 2 3 类似地

1 1 2 F2 ? 200 (? ,? , ) 12 2 3 1 2 F3 ? 200 ( ,0, ) 3 3
x

z

F1
O A

F3
C

F2
B

500kg

y

它们的合力F1+F2 ? F3 1 1 2 1 1 2 1 2 ? 200[( ? , , ) ? (? ,? , ) ? ( ,0, )] 12 2 3 12 2 3 3 3 ? 200 (0,0, 6 )
这说明,作用在钢板上 的合力方向向上, 大小为200 6k g, 作用点为O. 所以钢板仍静止不动。
x z

F1
O A

F3
C

F2
B

由于200 6 ? 500 ,

500kg

y

1

如 图 所 示 , 已 知 直 平 行 六 面 体 ABCD—A1B1C1D1 中,AD⊥BD,AD=BD=a, AA1= 2a,E 是 CC1 的中点. (1)求证:A1D⊥平面 BDE; (2)求点 D1 到平面 BDE 的距离; (3)求二面角 B—DE—C 的余弦值.



如图所示,以 D 为原点,DA、DB、DD1

所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角 坐标系,则 B(0,a,0),A1(a,0, 2a), ? 2 ? ? C(-a,a,0),E?-a,a, a? ?, 2 ? ?
???? ∴ AD =(-a,0,- 2a),

2 ? → → ? ? DB=(0,a,0),BE=?-a,0, a? . ? 2 ? ?

???? → (1)证明∵ AD DB=0+0+0=0,

∴A1D⊥DB,同理 A1D⊥BE. 又 DB∩BE=B,∴A1D⊥平面 BDE.

??? ? ? ?n1 ? BD ? 0, ? ? ??? (2)解 设平面 BDE 的一个法向量 n1=(x, y, z), 则 ? n ? BE ? 0. ? 1 ay=0, ? ? ? ?y=0, 即? ∴? 2 ? -ax+ 2 az=0. ?z= 2x. ? ?
令 x=1,得 n1=(1,0, 2). ???? ? 又 DD1 =(0,0, 2a),∴点 D1 到平面 BDE 的距离为 ???? ? ? ???? ? | n ? DD1 | ???? 2× 2a 2 d? ?| DD1 | ? | cos DD1 , n1 | = 2a× = 3a. | n1 | 2a× 3 3

(3)解 设平面 DEC 的一个法向量 n2=(x,y,z), ??? ? ? 2 ? n1 ? CE ? 0, ? ? ? ?x=y, az = 0 , ???? ? 2 即? ∴? n ? DC ? 0. ? ? 1 ? ?z=0. ? ?-ax+ay=0. 令 x=1,得 n2=(1,1,0). 6 n1· n2 ∴cos〈n1,n2〉= = . |n1|· |n2| 6 ∵点 B 在平面 CDE 的射影落在 CDE 内, ∴二面角 B—DE—C 为锐角. 6 ∴二面角 B—DE—C 的余弦值为 6 .

例4、如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC, E是PC的中点,作EF ⊥PB交PB于点F。 (1)求证:PA∥平面EDB; (2)求证:PB ⊥平面EFD; (3)求二面角C-PB-D的大小。
P F E C B

D
A

解:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点, 设DC=1 (1)证明:连结AC,AC交BD于点G,连结EG

依题意得A(1, 0, 0), P (0, 0,1), 1 1 E (0, , ) 2 2

Z

P F
D
G

因为底面ABCD是正方形, 所以点G是此正方形的中心, 1 1 故点G的坐标为( , , 0) 2 2
A X

E

C B

Y

1 1 且PA ? (1,0,?1), EG ? ( ,0,? ) 所以PA ? 2 EG,即PA // EG 2 2

而EG ? 平面EDB, 且PA ? 平面EDB

所以,PA // 平面EDB

Z

P F
D A X
G

E

C B

Y

(2)证明:依题意得B(1,1,0), PB ? (1,1,?1)
1 1 1 1 又DE ? (0, , ), 故PB ? DE ? 0 ? ? ? 0 2 2 2 2

所以PB ? DE

由已知EF ? PB, 且EF ? DE ? E ,
所以PB ? 平面EFD

Z

P F
D A X
G

E

C B

Y

(3)解:已知PB ? EF ,由(2)可知PB ? DF , 故?EFD是二面角C ? PB ? D的平面角。

设点F的坐标为( x, y, z ), 则PF ? ( x, y, z ? 1) 因为PF ? k PB

所以( x , y , z ? 1) ? k (1,1, ?1) ? (k , k , ? k )

Z

即x ? k , y ? k , z ? 1 ? k
因为PB ? DF ? 0

P F
D
G

所以(1,1,?1) ? (k , k ,1 ? k ) ? k ? k ? 1 ? k ? 3k ? 1 ? 0 1 所以k ? 3 A
X

E

C B

Y

1 1 2 点F的坐标为( ,, ) 3 3 3

1 1 又点E的坐标为(0, , ) 2 2

1 1 1 所以FE ? (? , ,? ) 3 6 6
因为cos ?EFD ? FE ? FD FE FD

1 1 1 1 1 2 1 ( ? , ,? ) ? ( ? ,? ,? ) 1 3 6 6 3 3 3 6 ? ? ? 1 2 6 6 ? 3 6 3

所以?EFD ? 60? ,即二面角C ? PB ? D的大小为60?.

小结
利用空间向量解决立体几何中的问题, 首先要探索如何用空间向量来表示点、 直线、平面在空间的位置以及它们的关 系.即建立立体图形与向量之间的联系,这 样就可以将立体几何问题转化成空间向 量的问题.解决立体几何中的问题,有三种 常用方法:综合方法、向量方法、坐标方 法,对具体问题要会选用合适得方法.


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