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上海市2017高三数学直线综合


辅导讲义
学员编号: 学员姓名: 授课类型 授课日期及时段 教学内容 T(直线的方程) 年 级:高二 辅导科目:数学 T(直线的倾斜角和斜率) 课 时 数:3 学科教师: T(直线的位置关系及点到直线的距离)

一、直线的方程
知识点 1:直线的点方向式方程
? x ? x0 y ? y 0 ? , 其中( x 0 , y 0 )为直线所过定点, d ? (u, v) 为直线的方向向量 u v

(注意方程中 u, v 不能为 0),若 u ? 0 ,直线为 x ? x0 ;若 v ? 0 ,直线为 y ? y 0 ;分别表示两条特殊直线。

知识点 2:直线的点法向式方程 a( x ? x0 ) ? b( y ? y0 ) ? 0 ,其中( x0 , y 0 )为直线所过定点, n ? (a, b) 为直线的法
向量

?

知识点 3: 直线的点斜式方程 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) , 其中( x 0 , y 0 )为直线所过定点,k 为直线的斜率 (斜率必须存在) ,
当斜率不存在时,方程为 x ? x0

知识点 4:直线的斜截式方程 y ? kx ? b ,其中 k 为斜率(存在),b 为直线在 y 轴上的截距

知识点 5:直线的一般式方程 ax ? by ? c ? 0(a2 ? b2 ? 0)

二、直线的倾斜角
1、 倾 斜角 的定 义: 若直 线 l 与 x 轴 相 交于 点 M , 将 x 轴 绕点 M 逆 时 针方 向旋 转至 与直 线 l 重 合时 所成的 最小正角 ? 叫做直线 l 的倾斜角. 【注】 :当直线 l 与 x 轴平行或重合(即 l 与 y 轴垂直)时,规定其倾斜角 ? ? 0 。所以根据定义,直线 l 的倾斜角

? 的取值范围是 [0, ? ) .特别地, l 与 x 轴垂直时, ? ?
2、 斜率:当 ? ?

?
2

.

?
2

时,记 ? 的正切值为 k ,把 k ? tan ? 叫做直线 l 的斜率

1

【注】 :当 ? ?

?
2

时,直线 l 的斜率 k 不存在.

3、直线 l 的倾斜角 ? 、斜率 k 的计算公式:

?acr tan k , k ? 0 ?? ? 倾斜角 ? ? ? , 斜率k 不存在时 (注意反正切函数表示的理解) ?2 ? ?? ? arctan k 或? -arctan(-k ),k ? 0
斜率 k = tan? ?

v a y ? y1 (斜率存在时) ?? ? 2 u b x2 ? x1

4、倾斜角 ? 和斜率 k 的变化关系(正切函数图象)理解 作出正切函数 y ? tan x 在 [0,
k ? 2 O

?

) ? ( , ? ) 的图像,参照图形如下: 2 2

?

?

?

得到以下结论: (1) 0 ? ? ? (2)

?
2

,随着倾斜角 ? 的不断增大,直线斜率不断增大, k ? [0, ??) .

?
2

? ? ? ? ,随着倾斜角 ? 的不断增大,直线的斜率不断增大, k ? (??, 0) .

三、直线与直线的位置关系 1、两直线的位置关系 (1)平面内两条直线的位置关系有三种:重合、平行、相交(垂直) 。 (2)判别方法: 法一:系数行列式判别解的个数方法 ① D ? 0 ? 相交; ② D =0 且 Dx 、 Dy 至少有一个不等于零 ? 平行; ③ D = Dx = Dy =0 法二:当直线不平行于坐标轴时,直线与直线的位置关系可根据下表判定 条 件 关 系 方 程

? 重合

l1 : y ? k1 x ? b1

l1 : a1 x ? b1 y ? c1 ? 0

l 2 : y ? k 2 x ? b2

l 2 : a2 x ? b2 y ? c2 ? 0

2





k1 ? k 2 且 b1 ? b2

a1 b1 c1 ? ? a 2 b2 c2





k1 ? k 2 且 b1 ? b2

a1 b1 c1 ? ? a2 b2 c2
a1 b1 ? a 2 b2

相 垂

交 直

k1 ? k 2

k1 ? k 2 ? ?1

a1a2 ? b1b2 ? 0

2、相交直线交点与夹角 (1)交点坐标:联立方程求解 (2)夹角公式: 向量表示: cos? ?| cos? |?|

d1 ? d 2 | d1 | ? | d 2 |

|?

| a1a2 ? b1b2 | a1 ? b1 ? a2 ? b2
2 2 2 2

.

斜率表示:同样地,由于不是所有的直线都有斜率,因此需要按“斜率存在、斜率不存在”分类讨论. (1)若两直线的斜率都存在,当 ? ?

?
2

时,有公式 tan? ?

k 2 ? k1 ; 1 ? k1k 2

(2)如果直线 l1 和 l 2 中有一条斜率不存在, “夹角”可借助于图形,通过直线的倾斜角求出. 3、点到直线的距离 (1)点到直线的距离 点 P( x0 , y 0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ? (2)点在直线的同侧或异侧的问题 另? ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

,当两点在直线 l 的同侧,则它们的 ? 同号;当两点在直线 l 的异侧,

则它 们的 ? 异号. (3)平行直线间的距离 若两条平行线直线 l1 : a1 x ? b1 y ? c1 ? 0 , l 2 : a2 x ? b2 y ? c2 ? 0 的距离 d ? (4)两点间的距离公式: AB ?

| c1 ? c2 | a ?b
2 2

, ( a ? b ? 0 ).
2 2

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2

四、对称问题

3

(1)点关于点的对称 ①若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 AB 的中点坐标是 (

x1 ? x2 y1 ? y2 , ); 2 2

② P ( x, y ) 关于 M (a, b) 的对称点坐标是 (2a ? x, 2b ? y) . (2)点关于线的对称问题 ① P ( x, y ) 关于 x ? a 的对称点为 (2a ? x, y )

② P ( x, y ) 关于 y ? b 的对称点为 ( x, 2b ? y )

③ P ( x, y ) 关于 y ? x ? b 的对称点为 ( y ? b, x ? b) (巧记:代入 x 求 y ,代入 y 求 x )

④ P ( x, y ) 关于 y ? ? x ? b 的对称点为 (b ? y, ? x ? b) (巧记:代入 x 求 y ,代入 y 求 x )

⑤求解 P ( x, y ) 关于 l : Ax ? By ? C ? 0 的对称点一般步骤:

i 设对称点 P?( a, b)

b? y ? a?x ? B? ? C ? 0 ( PP?中点在l上) ?A? ii 列方程 ? 2 2 ? ( PP?与l垂直) ? B(a ? x) ? A(b ? y ) ? 0
iii 求解 a , b (3)线关于线的对称 ①思路:转化为点关于线的对称问题. ②求解 l1 : A1 x ? B1 y ? C ? 0 关于 l : Ax ? By ? C ? 0 的对称直线一般步骤:

i 在 l1 上取一点 P ( x, y ) ii 设 P ( x, y ) 关于 l : Ax ? By ? C ? 0 对称点为 P?( a, b)

4

b? y ? a?x ? B? ? C ? 0 ( PP?中点在l上) ?A? iii 列方程 ? 2 2 ? ( PP?与l垂直) ? B(a ? x) ? A(b ? y ) ? 0
iv 求解 a , b

五、 圆的方程
1. 圆的标准方程与一般方程 (1)圆的标准方程为 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,其中圆心为 ( a, b) ,半径为 r ;
2 2 2

(2)圆的一般方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,圆心坐标 (?
2 2

D2 ? E 2 ? 4F D E , ? ) ,半径为 .方程表示圆的充要 2 2 2

条件是 D2 ? E 2 ? 4F ? 0 .
2 2 【注意】二元二次方程 Ax ? Bxy ? Cy ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆的充要条件是 A ? C ? 0 且 B ? 0

且 D ? E ? 4 AF ? 0 ).
2 2

(3)圆的参数方程:

a ? r cos? ?xy ? ? b ? r sin ?

( ? 为参数) ,其中圆心为 ( a, b) ,半径为 r .

【注意】圆的参数方程的主要应用是三角换元:

x2 ? y 2 ? r 2 ? x ? r cos? , y ? r sin ? ;
x2 ? y 2 ? t ? x ? r cos? , y ? r sin ? (0 ? r ? t ) .
2.点 M ( x0 , y0 ) 与圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 的位置关系:
2 2

M 在圆内 ? x0 ? y0 ? Dx0 ? Ey0 ? F ? 0 M 在圆上 ? x0 ? y0 ? Dx0 ? Ey0 ? F ? 0 M 在圆外 ? x0 ? y0 ? Dx0 ? Ey0 ? F ? 0
3.判断直线与圆的位置关系的两种方法: (1)几何法:通过圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断,设圆心到直线的距离为 d ,圆半径为 r .若直线与圆相 离,则 d ? r ;若直线与圆相切,则 d ? r ;若直线与圆相交,则 d ? r . (2)代数法:通过直线与圆的方程联立的方程组的解的个数来判断, 即通过判别式来判断,若 ? ? 0 ,则直线与圆相离; 若 ? ? 0 ,则直线与圆相切;若 ? ? 0 ,则直线与圆相交. 4.两圆的的位置关系
2 2 2 2

2

2

5

设两圆半径分别为 r1 , r2 ,圆心距为 d 若两圆相外离,则 d ? R ? r ,公切线条数为 4 若两圆相外切,则 d ? R ? r ,公切线条数为 3 若两圆相交 R ? r ? d ? R ? r ,则公切线条数为 2 若两圆内切,则 d ? R ? r ,公切线条数为 1 若两圆内含,则 d ? R ? r ,公切线条数为 0

典型例题 题型一:直线的方程
例 1:若直线 l1 : 2 x ? my ? 1 ? 0 与直线 l2 : y ? 3x ? 1平行,则 m = 【答案】 ? .

2 3

? 例 2:经过点 A (1, 0) 且法向量为 n ? (2, ? 1) 的直线 l 的方程是

【答案】 2 x ? y ? 2 ? 0 例 3:在平面直角坐标系 xOy 中,若圆 x 2 ? ( y ? 1)2 ? 4 上存在 A , B 两点,且弦 AB 的中点为 P(1, 2) ,则直线 AB 的 方程为 【答案】 x ? y ? 3 ? 0 例 4:已知点 A(?2,3)、B(1, ?4) ,则直线 AB 的点法向式方程是 【答案】 7( x + 2) + 3( y - 3) = 0 也可以是 7( x - 1) + 3( y + 4) = 0 ; . .

题型二:直线的倾斜角
例 1:已知直线的方向向量 d ? (1,?2) ,则直线的斜率为 答案:斜率为 ? 2 ,倾斜角为 ? ? arctan 2 例 2:若直线的斜率为 2,则直线的一个法向量为 (答案不唯一)答案: (2,?1)
?

,倾斜角为

例 3:直线 ax ? by ? ab ? a ? 0, b ? 0? 的倾斜角为(



b a ? b? ? a? A. arctan ? ? ? B. arctan ? ? ? C. ? ? arctan D. ? ? arctan 答案:D a b ? a? ? b?
6

例 4:设 ? 是直线 l 的倾斜角,且 cos ? ? a ? 0 ,则 ? 的值为( ) A. ? ? arccos a ; B. arccos a C. ? arccos a D. ? ? arccos a 解析:理解反三角表示及倾斜角范围对应答案:B 例 5:已知 ? ∈(0, ? ),则直线 x ? tan? ? y ? 1 ? 0 的倾斜角 解析:三角诱导关系及倾斜角范围问题答案: ? ? ?

1 2

(用 ? 的代数式表示)

例 6:已知直线的斜率 k ? [? 3 ,

3 ] ,则倾斜角的范围为 3
2? ? , ? ) ? [0, ] 3 6

解析:用正切函数图像去分析可得答案: [ 例 7:已知直线的倾斜角 ? ? [

? 3?
3 , 4

] 且? ?

?

2

,则直线的斜率的取值范围为

解析:用正切函数图像去分析可得答案: (??,?1] ? [ 3,??) 例 8:求直线 y ? x sin ? ? 1 的倾斜角的范围 [说明]本题主要涉及倾斜角和斜率关系的应用. 解:设倾斜角为 ? ,由题意知斜率 k ? sin ? ?[?1,1] ; 当 k ? [?1, 0) 时, ? 为钝角, ? ? ? ? arctan k ,由 arctan k ? [ ? ? , 0) , 得 ? ? ? ? arctan k ? [ ? , ? ) ; 当 k ? (0,1] 时, ? 为锐角,得 ? ? arctan k ? (0, 当 k ? 0 时, ? ? 0 ; 综上所述,倾斜角的取值范围是 [0, 检测题: 1.已知直线 2 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角大小是 ? ,则 tan 2? ? .

1 4

3 4

?
4

];

?

3 ] ?[ ? ,? ) 4 4

【答案】

4 3

2.直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角的大小为____________. 【答案】

5? 6

7

3.已知直线 l 的一个法向量是 n ? 1, ? 3 ,则此直线的倾斜角的大小为

?

?

?

【答案】

? 6

题型三:直线与直线的位置关系
例 1: “a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的 ( )

( A) 充分不必要条件 (C ) 充分必要条件
【答案】A

( B) 必要不充分条件 ( D) 既不充 zxxk 分也不必要条件

例 2:已知直线 l1: 2 x ? y ? 1 ? 0,l2:x ? 3 y ? 5 ? 0 ,则直线 l1与l2 的夹角的大小是 表示) 【答案】 arccos

. (结果用反三角函数值

2 (或 arctan 7) 10
.

例 3:已知直线 l1 : ax ? y ? 2a ? 1 ? 0 和 l2 : 2x ? ? a ?1? y ? 3 ? 0 ? a ? R? ,若 l1 ? l2 ,则 a ? 【答案】

1 3

题型四:直线的对称
例 1:已知点 A(1, 2) , B(3, 4) ,点 M , N 满足: M 为 AB 中点, B 为 AN 中点,
(1)求 M 的坐标。 (2)求 N 的坐标。 【答案】 : (1) M 为 AB 中点,坐标为 (

1? 3 2 ? 4 , ) ,即 (2,3) ; 2 2

?1 ? x ?3 ? 1? x 2 ? y ? 2 , ) ? (3, 4) ,所以 ? (2)解法一:设 N ( x, y) ,则 ( 2 2 ?2 ? y ? 4 ? ? 2
解得 ?

?x ? 5 ,所以 N 的坐标为 (5, 6) ?y ? 6

解法二:因为 B 为 AN 中点,所以 N 的坐标为 (2 ? 3 ? 1, 2 ? 4 ? 2) ,即为 (5, 6)

例 2:已知 P 为直线 l : 2 x ? y ? 3 ? 0 上的动点, P 关于 M (3, 2) 的对称点为 P? ,记 N (2, ?1) ,当线段 NP? 的长度
为 5 的时候,求 P 的坐标. 【答案】 :设 P( x,3 ? 2 x) ,则 P?(6 ? x,1 ? 2 x) ,
8

?| NP? |? (4 ? x) 2 ? (2 ? 2 x) 2 ? 5 ,求得 x ? ?1
所以 P 的坐标为 (1,1) 或 (?1,5)

例 3:求直线 2 x ? 11y ? 16 ? 0 关于点 P(0,1) 对称的直线方程.
【分析:本题可以利用两直线平行,以及点 P 到两直线的距离相等求解,也可以先在已知直线上取一点,再求该点 关于点 P 的对称点,代入对称直线方程待定相关常数】 解法一 由中心对称性质知,所求对称直线与已知直线平行, 故可设对称直线方程为 2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式, 得

| 11 ? 16 | 2 ? 11
2 2

?

| 11 ? c | 2 ? 11
2 2

,即|11+c|=27,得 c=16(即为已知直线,舍去)或 c= -38.

例 4:求直线 l1 : x ? y ? 1 ? 0 关于直线 l2 : x ? y ? 1 ? 0 对称的直线 l 的方程.
【分析:由题意,所给的两直线 l1,l2 为平行直线,求解这类对称总是,我们可以转化为点关于直线的对称 问题,再利用平行直线系去求解,或者利用距离相等寻求解答】 解 根据分析,可设直线 l 的方程为 x-y+c=0, 在直线 l1:x-y-1=0 上取点 M(1,0) , 则易求得 M 关于直线 l2:x-y+1=0 的对称点 N(-1,2) , 将 N 的坐标代入方程 x-y+c=0,解得 c=3, 故所求直线 l 的方程为 x-y+3=0. 故所求对称直线方程为 2x+11y-38=0.

题型五:含参数的直线
例 1:不论 m 为何实数,直线 (m ? 1) x ? y ? 2m ? 1 ? 0 恒过定点 .

解析:方程转化为 m( x ? 2) ? ( x ? y ? 1) ? 0 ,要恒过定点则参数取任意值都不影响,则 x ? 2 ? 0 和 x ? y ? 1 ? 0 得

x ? ?2, y ? 3
答案: (?2,3) 例 2:已知点 ( a, b) 在直线 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 上,则直线 ax ? by ? 2 ? 0 必过定点 解析:由题则 2a ? 3b ? 6 ? 0 ,对比 ax ? by ? 2 ? 0 ,可将 2a ? 3b ? 6 ? 0 化为 答案: ( .

2 2 a ? b ? 2 ? 0 ,则过定点( , ?1 ) 3 3

2 ,?1 ) 3

例 3: (1 )已知直线 l : y ? kx ? 1 与两点 A(?1,5)、B(4, ?2) ,若直线 l 与线段 AB 相交,则实数 k 的取值范围
9

是 . 解析:直线 l : y ? kx ? 1 恒过(0,1) ,数形结合,可以找到两边界直线即可得 答案: (?? ,?4] ? [?

3 ,?? ) 4


(2) 已知直线 l : y ? x ? b 与两点 A(?1,5)、B(4, ?2) , 若直线 l 与线段 AB 相交, 则实数 b 的取值范围是 解析:直线 l 代表一系列斜率为 1 平行直线族,两边界分别为过 A, B 点是,则 b ? ?? 6,6?

例 4: 已 知 f ( x) 是 以 2 为 周 期 的 偶 函 数 , 当 x ? [0,1] 时 , f ( x) ? x , 那 么 在 区 间 [?1,3] 内 , 关 于 x 的 方 程

f ( x) ? kx ? k ? 1( k ? R 且 k ? 1 )恰有 4 个不同的根,则 k 的取值范围是
解析:直线恒过定点(-1,1)再数形结合找到两个边界即可得出。

(? , 0) 答案:

1 3

课后练习
1.直线 l 过坐标原点及两直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 与 2 x ? y ? 1 ? 0 的交点,则直线 l 的方程为__________.

2.直线 y ?

3 x 与直线 x ? 1 的夹角为_____________. 3

3.过点 ? ?4,3? 且平行于直线 3x ? 2 y ? 5 ? 0 的直线方程是_______________. 4.直线 2 x ? 3 y ? a ? 0 与 3x ? 3 y ? 6 ? 0 的夹角为_____________. 5.若直线 ax ? 2 y ? 2 ? 0 与 3x ? y ? 2 ? 0 垂直,则 a ? ________. 6.直线 3x ? y ? 3 ? 0 与直线 x ? 2 ? 0 的夹角是 A ( D )

? 6

B

? 3

C

2 ? 3

5 ? 6

7.下列各组直线中,两条直线相互平行的是 A y ? 3x ? 1 与 2 y ? 6 x ? 4 ? 0 C 4 x ? 3 y ? 5 与 8 x ? 6 y ? 10

( B y ? ? x 与 2x ? 2 y ? 5 ? 0 D



3x ? y ?1 ? 0 与 3x ? 3 y ? 6 ? 0
( )

8.直线 2 x ? y ? k ? 0 和 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 的位置关系是 A 平行
10

B 平行或重合

C 重合

D 既不平行也不重合

9.若直线 2 x ? y ? 2 ? 0 和 mx ? y ? 1 ? 0 的夹角为 A ?

1 或 ?3 3

B

1 或3 3

? ,则 m 的值为 ( 4 1 1 C ? 或3 D 或 ?3 3 3



10. 已 知直 线 l1 : y ? x 和 直 线 l2 : ax ? y ? 0 ? a ? R ? , 当 l1 与 l2 的 夹角 在 ? 0, ( A ? ? )

? ? ? ? 之 间 变 动时, a 的 取值 范 围是 ? 12 ?

? 3 ? ,1? ? ? 1, 3 3 ? ?

?

?

B ? ?

? 3 ? , 3? ? ? 3 ?

C

? 0,1?

D 1, 3

?

?

11.已知直线 l1 与 l2 的夹角平分线所在的直线方程为 y ? x ,若 l1 的方程为 ax ? by ? c ? 0

? ab ? 0? ,那么 l2 的方程是
A bx ? ay ? c ? 0 C bx ? ay ? c ? 0





B bx ? ay ? c ? 0 D ax ? by ? c ? 0

12.设 a, b, c 分别是 ? ABC 中 ?A, ?B, ?C 所对的边长,判定直线: x sin A ? ay ? c ? 0 与

bx ? y sin B ? sin C ? 0 的位置关系.

13.(1)求直线 x ? 3 与直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的夹角; (2)直线 l 过点 P ? ?4,1? ,且与直线 m : 3x ? y ? 1 ? 0 的夹角大小为 arccos

3 10 ,求 l 的方程. 10

14.已知直线 l : x ? y ? 2 ? 0 ,一束光线过点 P 0, 3 ? 1 ,以 120°的倾斜角投到 l 上反射,求反射光线所在的直线 方程.

?

?

11

15.已知等腰直角三角形斜边所在的直线为 3x ? y ? 5 ? 0 , 直角顶点的坐标为 ? 3, ?5? , 求两条直角边所在的直线方程.

答案:1. 3x ? y ? 0 5.

2.

? 3

3. 3x ? 2 y ? 6 ? 0 9.C 10A 11A

4.

90°

2 3

6.A

7.A 13.(1)

8.B

12.垂直

?
2

? arctan 2

(2) x ? ?4或4 x ? 3 y ? 19 ? 0

14. y ? 1 ? ?

3 ? x ? 1? 3

12


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