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湖北省稳派教育2013-2014学年高二上学期期中考试数学(理)试题


参考答案
一、选择题: 1.命题意图和考查点:本题主要考查程序框图有关基础知识 答案:B 2. 命题意图和考查点:本题主要考查统计中随机抽样等有关知识 答案:C 3. 命题意图和考查点:本题主要考查概率中随机事件等基础知识 答案:D 4. 命题意图和考查点:本题主要考查程序框图等基础知识 答案:B 第一次 n ? 3 ? 5 ? 1 ? 16, k ? 1 ;第

二次 n ? 第三次 n ?

16 ? 8, k ? 2 ; 2

8 4 2 ? 4, k ? 3 ;第四次 n ? ? 2, k ? 4 ;第五次 n ? ? 1, k ? 5 此时满足条件输 2 2 2 出k ?5。
[来源:学科网]

5. 命题意图和考查点:本题主要考查概率及计算等知识,同时考查学生阅读理解能力 答案:A 6. 命题意图和考查点:本题主要考查程序框图及分段函数等有关知识 答案:C

? x ? 1, x ? ? ??, ?2? ? ? 2, ?? ? ? f ? x? ? ? ,如图 2 x , x ? ? ?2, 2 ? ? ?
x 1 ? 2 ? 3 或 x ? 1 ? 3 ,所以 0 ? x ? log 2 或 x ? 2
3

7.“命题意图和考查点:本题主要考查统计中变量间 的相关关系等
[来源:学|科|网]

答案:C 依上面的解释,可设 x ? (m, n) 当 x ? n 时, y ? x ? 0 ,当 x ? m 时, y ? x ? 0 , 于是估计,存在 t ? (m, n) 使得当 x ? (m, t ) 时, y ? x ? 0 ,当 x ? (t , n) 时, y ? x ? 0 .

由 y ? x ? x(b ? 1) ? a 是 x 的一次函数,且在区间 x ? (m, t ) 时, y ? x ? 0 在 x ? (t , n) 时, y ? x ? 0 ,于是 x(b ? 1) ? a 递减, b ? 1 ? 0 , b ? 1 . 若 b ? 0 ,则 y ? bx ? a ? a 与题意不符;

[来源:学科网 ZXXK]

若 b ? 0 ,则 y ? bx ? a 是减函数,与父母高者子女相矛盾,舍去,于是 0 ? b ? 1 . 8. 命题意图和考查点:本题主要考查二项式定理及变形运用能力 答案:A
10 20 20 通分,考虑 ?1 ? x ? x a10 展开最高次幂 x 系数由 ?1 ? 2x ? 有 C20 ? 2 x ? , 10 20 20 10 10 20

9 20 19 19 系数为 220 ,所以 ?1 ? x ? x a10 中 x 系数为 C10 ? a10 ? 10 ? 2 ,而 ?1 ? 2x ? 中 x 系数为 19 19 C20 219 ,故 ?1 ? x ? x 9 a9 中 a9 = C20 219 - 10 ? 220 =0
10

9. 命题意图和考查点:本题主要考查程序框图、二分法、函数与方程等知识 答案:B 10.命题意图和考 查点:本题主要考查排列组合、圆、向量等综合 答案:C

二、填空题: 11.命题意图和考查点:本题主要考查算法初步中算法语句等基础知识
1 n(n ? 3) 答案: 2

12. 命题意图和考查点:本题主要考查古典概型 及运算、分类思想等

答案: 因为 (a, b) 所有情况有 6 种,于是此试验基本事件个数 n ? 36 .点 P (a, b) 落在区 域
2

? x?0 ? ? y ? 0 内可分为 2 类 ?x ? y ? 4 ?

[来源:Z§xx§k.Com]

(1)当 a ? b ? 2 时有 1 种情况(2)当 a ? b ? 3 时有 2 种情况 故事件 A 所含的基本事件为 m ? 3 ,因此 P( A) ?

m 3 1 . ? ? n 36 12

13. 命题意图和考查点:本题主要考查统计、程序框图逻辑思维

答案:6000 14.命题意图和考查点:本题主要考查几何概型基本知识及运用等 答案:

5 9

15. 命题意图和考查点:本题综合考查直线、圆,数形结合思想 答案: 5 ? 2 由题可知动直线 ax ? by ? c ? 0 过定点 A(1, ? 2) .设点 M ( x, y ) ,由

MP ? MA 可求得点 M 的轨迹方程为圆 Q : x 2 ? ( y ? 1)2 ? 2 ,故线段
MN 长度的最大值为 QN ? r ? 5 ? 2

三、解答题: 16.命题意图和考查点:本题主要二项式定理、函数思想等 16 5-r r 20-5r 16 1 16 - 1 解: 由( x2+ )5, Tr+1=Cr ( x2)5 r( )r=( ) · 5· 得 C x , --------------------------4 5 5 5 2 5 x x 分 16 4 令 Tr+1 为常数项,则 20-5r=0,∴r=4,∴常数项 T5=C5× =16, 5 又(a +1) 展开式的各项系数之和等于 2 ,由题意得 2 =16,∴n=4, 由二项式系数的性质可知,(a +1) 展开式中系数最大的项是中间项 T3,∴C4a =54, ∴a=± 3. --------------------------12 分
2 4 2 4 2 n n n

17.命题意图和考查点:本题考查随机抽样、方差等统计学知识和简单的概率计算,考查用 样本估计总体的思想性及 化简计算观察. 400 2 解:(?)由题意可知: --------------------------3 分? = 600 3 。?????????????????? (?)由题意可知:
200+60+40 3 --------------------------7 分? = 1000 10 。????????????????

1 (?)由题意可知: s 2 ? ( a 2 ? b2 ? c 2 ?120000),因此有当 a ? 600 , b ? 0 , c ? 0 时,有 3

s2 ? 80000 .???????????????????????????????????????????????? --------------------------12 分?

18.命题意图 和考查点:考查分层抽样等统计学基本知识及概率计算、数据分析处理能力. 解:(1)由题意可知,

x ? 0.15 ∴ x =15(人). 100

--------4 分

(2)由题意可知,优秀人数为 y ? z ? 40 (人). 设应在优秀中抽取 m 人,则

m 20 ,∴ m ? 8 (人)所以应在优秀中抽 8 名 ? 40 100

--------8 分

(3)由题意可知, y ? z ? 40 ,且 y ? 17, z ?18 , 满足条件的 y, z ) 有(17,23), ( (18,22),(19,21),(20,20),(21,19),(22,18),共有 6 组. 设事件 A 为“优秀学生中男生不少于女生”,即 y ? z ,满足条件的 y, z ) 有(20,20), ( (21,19),(22,18)共有 3 组,所以

P ? A? ?

3 1 1 ? .即优秀学生中 女生少于男生的概率为 . -----------------12 分 2 6 2

19.命题意图和考查点:考查圆与直线的位置关系,、圆的几何性质,并考查逻辑推理和计 算能力 解:(1)由 P(1, 3), A(?2, 0),?直线 AP 的方程为 y ? 3 ( x ? 2) . 3 令 x ? 2 ,得 F (2, 4 3 ) . 3

3 ( x ? 2) , 由 E (1, 3 ), A(?2, 0), 则直线 AE 的方程为 y ? 6 2
2 2

? 2 3? 4 所 以 , 所 求 圆 的 方 程 为 ? x ? 2? ? ? y ? ? ? , 且 P 在圆上 ? 3 ? 3 ? ?
--------------------------4 分 (2)证明:设 P ? x0 , y0 ? ,则 E ? x0 , 在此方程中令 x ? 2, 得 C ? 2,

????????

? ?

y0 y0 ? ? , 直线 AE 的方程为 y ? 2 x ? 2 ? x ? 2 ? , 2 ? ? 0 ?

?

直线 PC 的斜率 K pc 令 x ? 2 ,得 C (2, 等于

? 2 y0 ? y0 x0 ? 2 x y x y x ? ? ? 0 0 2 ? ? 0 20 ? ? 0 , 2 ? x0 4 ? x0 y0 y0

2 y0 ? ? x0 ? 2 ?

2 3 ) . ?C 为线段 FB 的中点,以 FB 为直径的圆恰以 C 为圆心,半径 3

2 3 . 3 若 x0 ? 0 ,则此时 PC 与 y 轴垂直,即 PC ? OP ; 若 x0 ? 0 ,则此时直线 OP 的斜率为

kOp ?

y0 x y , ? k PC ? kOP ? ? 0 ? 0 ? ?1, 即PC ? OP. 则直线 PC 与圆 O 相切. x0 y0 x0
???????? --------------------------12 分

20.命题意 图和考查点:考查圆方程及其几何性质,圆和圆、圆与直线的位置关系,并考查 数形结合思想,逻辑推理能力及运算能力. 解:(1)设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 0 .因为直线 l 被圆 C2 截得的弦长为

6 ,而圆 C 的半径为 1,所以圆心 C (3, 到 l : kx ? y ? k ? 0 的距离为 4k ? 4 ? 4 .化简, 4) 2 2 5 k2 ?1 5
得 12k 2 ? 25k ? 12 ? 0 , 解 得 k ? 4 或 k ? 3 . 所 以 直 线 l 的 方 程 为 4x ? 3y ? 4 0 ? 或 3 4
3x ? 4 y ? 3 ? 0 .

???????? --------------------------6 分
2

) 1 ? ? ) ) ? (2) ①证明: 设圆心 C ( x, ) , 得 即 y 由题意, CC1 ? CC2 , ( x ? 2? y 2? ( x 3 ( 2 4y

. 化

简得 x ? y ? 3 ? 0 ,即动圆圆心 C 在定直线 x ? y ? 3 ? 0 上运动. ②圆 C 过定点,设 C (m, ? m) ,则动圆 C 的半径为 1 ? CC12 ? 1 ? (m ? 1)2 ? (3 ? m)2 . 3 于是动圆 C 的方程为 ( x ? m)2 ? ( y ? 3 ? m)2 ? 1 ? (m ? 1)2 ? (3 ? m)2 .整理,得
? x ? 1 ? 3 2, ? x ? y ? 1 ? 0, ? 2 得? 或 x ? y ? 6 y ? 2 ? 2m( x ? y ? 1) ? 0 .由 ? 2 2 x ? y ? 6 y ? 2 ? 0, ? y ? 2 ? 3 2; ? ? 2
2 2

? x ? 1 ? 3 2, ? 2 所以定点的坐标为 1 ? 3 2, ? 3 2 , 1 ? 3 2, ? 3 2 . 2 2 ? 2 2 2 2 3 2. ? y ?2? ? 2

?

? ?

?

???????? --------------------------13 分 21. 命题意图和考查点:考查二项式定理的求解,以及变形、计算能力和应用,并考查
[来源:Z_xx_k.Com]

分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力. 解:⑴由二项式定理,得 an ? Cn ? Cn 2 ? Cn ( 2) ? Cn ( 2) ? ? ? Cn ( 2) ,
0 1 2 2 3 3 n n
2 所以 a ? C0 ? Cn ( 2)2 ? C4 ( 2) 4 ? ? ? 1 ? 2C2 ? 22 C4 ? ? , n n n n

因为 2C2 ? 22 C4 ?? 为偶数,所以 a 是奇数. n n

???????? --------------6 分

⑵由⑴设 an ? (1 ? 2)n ? a ? b 2(a ,b ? Z) ,则 (1 ? 2)n ? a ? b 2 , 所以 a 2 ? 2b2 ? (a ? b 2)(a ? b 2) ? (1 ? 2)n (1 ? 2) n ? (1 ? 2) n , 当n 为偶数时, a 2 ? 2b2 ? 1 ,存在k ? a 2 ,使得an ? a ? b 2 ? a 2 ? 2b2 ? k ? k ? 1 , 当n 为奇数时,a 2 ? 2b2 ? 1 ,存在k ? 2b2 ,使得an ? a ? b 2 ? a 2 ? 2b 2 ? k ? 1 ? k , 综上,对于任意 n ? N? ,都存在正整数 k ,使得 an ? k ? 1 ? k . -----------14 分


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