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高考数学圆锥曲线知识点小结


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圆锥曲线知识点小结
1.圆锥曲线的两个定义: (1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件 定点 F1 (?3,0), F2 (3,0) ,在满足下列条件的平面上动点 P 的轨迹中,是椭圆的是( ) A. PF ? PF2 ? 4 1 B. PF ? PF2 ? 6 1 C. PF ? PF2 ? 10 1 D. PF1
2

? PF2

2

? 12

(2)方程 ( x ? 6) 2 ? y 2 ? ( x ? 6) 2 ? y 2 ? 8 表示的曲线是_____ (3)利用第二定义 已知点 Q(2 2 ,0) 及抛物线 y ? 2.圆锥曲线的标准方程 (1)已知方程

x2 上一动点 P(x,y),则 y+|PQ|的最小值是___ 4

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,则 k 的取值范围为____ 3? k 2?k

(2)若 x, y ? R ,且 3x2 ? 2 y 2 ? 6 ,则 x ? y 的最大值是___, x 2 ? y 2 的最小值是 (3)双曲线的离心率等于 程_______ (4)设中心在坐标原点 O ,焦点 F1 、 F2 在坐标轴上,离心率 e ? 过点 P(4,? 10) ,则 C 的方程为_______ 3.圆锥曲线焦点位置的判断: 椭圆: 已知方程

x2 y2 5 ,且与椭圆 ? ? 1 有公共焦点,则该双曲线的方 9 4 2

2 的双曲线 C

x2 y2 则 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆, m 的取值范围是( ) m ?1 2 ? m

4.圆锥曲线的几何性质: (1)椭圆若椭圆

x2 y2 10 ,则 m 的值是__ ? ? 1 的离心率 e ? 5 m 5

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(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时,则椭圆长 轴的最小值为__ (3)双曲线的渐近线方程是 3x ? 2 y ? 0 ,则该双曲线的离心率等于______

(4)双曲线 ax 2 ? by 2 ? 1的离心率为 5 ,则 a : b =

x2 y2 (5)设双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)中,离心率 e∈ 2 ,2],则两条渐近线夹角 θ [ a b
的取值范围是________ (6)设 a ? 0, a ? R ,则抛物线 y ? 4ax2 的焦点坐标为________ 5、点 P( x0 , y0 ) 和椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的关系: a2 b2

6.直线与圆锥曲线的位置关系: (1)若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支有两个不同的交点,则 k 的取值范围 是_______ (2)直线 y―kx―1=0 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 恒有公共点,则 m 的取值范围是______ 5 m

(3)过双曲线

x2 y2 ? ? 1 的右焦点直线交双曲线于 A、B 两点,若│AB︱=4, 1 2

则这样的直线有_____条.

(4)过双曲线 况如下:

x2 y2 ? =1 外一点 P( x0 , y0 ) 的直线与双曲线只有一个公共点的情 a2 b2

(5)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一 条平行于对称轴的直线。 (6)过点 (2,4) 作直线与抛物线 y 2 ? 8x 只有一个公共点,这样的直线有__ (7)过点(0,2)与双曲线 ______

x2 y2 ? ? 1 有且仅有一个公共点的直线的斜率取值范围为 9 16

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(8)过双曲线 x 2 ?

y2 ? 1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若 AB ? 4,则 2

满足条件的直线 l 有____条 (9)对于抛物线 C: y 2 ? 4 x ,我们称满足 y0 ? 4x0 的点 M ( x0 , y0 ) 在抛物线的内
2

部,若点 M ( x0 , y0 ) 在抛物线的内部,则直线 l : y0 y ? 2( x ? x0 ) 与抛物线 C 的位置关系 是_______ (10) 过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、 两点, Q 若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p 、 q ,则

1 1 ? ? _______ p q

(11)设双曲线

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F ,右准线为 l ,设某直线 m 交其左支、 16 9

右支和右准线分别于 P, Q, R ,则 ?PFR 和 ?QFR 的大小关系为___________(填大于、 小于或等于) (12)求椭圆 7 x 2 ? 4 y 2 ? 28上的点到直线 3x ? 2 y ? 16 ? 0 的最短距离 (13)直线 y ? ax ? 1 与双曲线 3x 2 ? y 2 ? 1交于 A 、 B 两点。 ① a 为何值时, A 、 B 分别在双曲线的两支上? 当 ② a 为何值时,以 AB 为直径的圆过坐标原点? 当 7、焦半径 (1)已知椭圆 离为____ (2)已知抛物线方程为 y 2 ? 8x ,若抛物线上一点到 y 轴的距离等于 5,则它到抛物 线的焦点的距离等于____; (3)若该抛物线上的点 M 到焦点的距离是 4,则点 M 的坐标为__ (4)点 P 在椭圆 点 P 的横坐标为____ (5)抛物线 y 2 ? 2 x 上的两点 A、 到焦点的距离和是 5, B 则线段 AB 的中点到 y 轴

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3,则点 P 到右准线的距 25 16

x2 y2 ? ? 1 上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则 25 9

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的距离为______ (6)椭圆

x2 y2 ? ? 1 内有一点 P(1,?1) ,F 为右焦点,在椭圆上有一点 M,使 4 3

MP ? 2 MF 之值最小,则点 M 的坐标为____
8、焦点三角形 (1)短轴长为 5 ,离心率 e ?

2 的椭圆的两焦点为 F1 、 F2 ,过 F1 作直线交椭圆 3

于 A、B 两点,则 ?ABF2 的周长为________ (2)设 P 是等轴双曲线 x 2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0) 右支上一点,F1、F2 是左右焦点,若

PF2 ? F1 F2 ? 0 ,|PF1|=6,则该双曲线的方程为
(3)椭圆

x2 y 2 → → ? ? 1 的焦点为 F1、F2,点 P 为椭圆上的动点,当PF2 · 1 <0 时, PF 9 4

点 P 的横坐标的取值范围是 (4)双曲线的虚轴长为 4,离心率 e=

6 ,F1、F2 是它的左右焦点,若过 F1 的直 2

线与双曲线的左支交于 A、 两点, AB 是 AF2 与 BF2 等差中项, AB =_______ B 且 则 (5)已知双曲线的离心率为 2,F1 、F2 是左右焦点,P 为双曲线上一点,且

?F1 PF2 ? 60? , S ?PF1F2 ? 12 3 .求该双曲线的标准方程
9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质: 10、弦长公式: (1)过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点,若 x1+x2=6,那么|AB|等于_______ (2)过抛物线 y 2 ? 2 x 焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,已知|AB|=10,O 为坐 标原点,则 ΔABC 重心的横坐标为_______ 11、圆锥曲线的中点弦问题: (1)如果椭圆

x2 y 2 ? ? 1 弦被点 A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是 36 9

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(2)已知直线 y=-x+1 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A、B 两点,且线段 a 2 b2

AB 的中点在直线 L:x-2y=0 上,则此椭圆的离心率为_______ (3)试确定 m 的取值范围,使得椭圆

x2 y2 ? ? 1 上有不同的两点关于直线 4 3

y ? 4 x ? m 对称
特别提醒:因为 ? ? 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦 长、对称问题时,务必别忘了检验 ? ? 0 ! 12.你了解下列结论吗? 与双曲线

x2 y2 ? ? 1 有共同的渐近线,且过点 (?3,2 3) 的双曲线方程为_______ 9 16

13.动点轨迹方程: (1)已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线 x ? 3 的距离之和等于 4,求 P 的轨迹方程. (2)线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M(m,0) (m ? 0) ,端点 A、B 到 x 轴距离之 积为 2m,以 x 轴为对称轴,过 A、O、B 三点作抛物线,则此抛物线方程为
(3)由动点 P 向圆 x ? y ? 1作两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,∠ APB=600,则
2 2

动点 P 的轨迹方程为 (4)点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线 l:x ? 5 ? 0 的距离小于 1,则点 M 的轨迹方程是 _______ (5) 一动圆与两圆⊙ M: x ? y ? 1 和⊙ N: x ? y ? 8x ? 12 ? 0 都外切,则动圆圆
2 2 2 2

心的轨迹为 (6)动点 P 是抛物线 y ? 2x 2 ? 1 上任一点,定点为 A(0,?1) ,点 M 分 PA 所成的比为 2, 则 M 的轨迹方程为__________
? ??

(7)AB 是圆 O 的直径,且|AB|=2a,M 为圆上一动点,作 MN⊥ AB,垂足为 N, 在 OM 上取点 P ,使 | OP |?| MN | ,求点 P 的轨迹。 (8)若点 P( x1 , y1 ) 在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上运动,则点 Q( x1 y1 , x1 ? y1 ) 的轨迹方程是____

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(9)过抛物线 x 2 ? 4 y 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A、B 两点,则弦 AB 的中点 M 的轨迹方程是________ (10) 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别是 a2 b2

F1(-c,0) 2(c,0) 是椭圆外的动点,满足 | F1Q |? 2a. 点 、F ,Q P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点,点 T 在线段 F2Q 上,并且满足

PT ? TF2 ? 0, | TF2 |? 0.
(1)设 x 为点 P 的横坐标,证明 | F1 P |? a ? (2)求点 T 的轨迹 C 的方程; (3)试问:在点 T 的轨迹 C 上,是否存在点 M,使△F1MF2 的面积 S= b 2 . 若存在, 求∠ 1MF2 的正切值;若不存在,请说明理由. F

c x; a

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1.(答 :C)(答 :双曲线的左支) ; (答 :2)

( 2. (答 : ?3, ? ) ? ( ? , 2) ) ; (答 : 5, 2 ) (答 :
3.(答 : ( ?? ,?1) ? (1, ) ) 4.(答 :3 或

1 2

1 2

x2 ; (答 :x 2 ? y 2 ? 6 ) ? y 2 ? 1) 4

3 2

25 ) 3
1 ? ? 13 13 或 )(答 :4 或 )(答 : [ , ] ) (答 : ; ; ; 4 3 2 2 3

5.(答 : 2 2 ) (答 :
(0, 1 ; )) 16 a

6. (答 :(-

15 ,-1))(答 :[1,5)∪ ; (5,+∞); )(答 :3)(答 :① 点在两 ; P 3

条渐近线之间且不含双曲线的区域内时, 有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两 支相切的两条切线,共四条; ② 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和 P 只与双曲线一支相切的两条切线,共四条; ③ 在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条 P 是切线; ④ 为原点时不存在这样的直线; P ) (答 :2; (答 : ? ? , ?

? 4 ? ? 3 ?

4 5? ? ; ; ; ; ? )(答 :3)(答 :相离)(答 :1) 3 ? ?

(答 :等于)(答 : ;

8 13 ) (答 :① ? 3, 3 ;②a ? ?1 ) ; 13

?

?

7.(答 :

35 25 2 6 )(答 : 7, (2, ?4) )(答 : ; ; )(答 :2)(答 : ( ; ; ; ,?1) ) 3 12 3

8.(答 :6)(答 : x2 ? y2 ? 4 )(答 : (? ; ;

3 5 3 5 , ) )(答 : 8 2 ) ; ; 5 5

(答 :

x2 y 2 ? ?1) ; 4 12

10.(答 :8)(答 :3) ; ;

-8-

11.(答 : x ? 2 y ? 8 ? 0 )(答 : ;

? 2 13 2 13 ? 2 )(答 : ? ? ; ? 13 , 13 ? ) ? ; 2 ? ?

12.(答 :

4x2 y2 ? ? 1) (答 : y 2 ? ?12( x ? 4)(3 ? x ? 4) 或 y 2 ? 4 x(0 ? x ? 3) ); 9 4

(答 : y 2 ? 2 x )(答 : x2 ? y 2 ? 4 )(答 : y 2 ? 16 x )(答 :双曲线的一支) ; ; ; ;

1 1 (答 : y ? 6 x 2 ? ); (答 : x2 ? y 2 ? a | y | ); (答 : y 2 ? 2 x ? 1(| x |? ) ); 2 3

(答 : x2 ? 2 y ? 2 );(答 :(1)略;(2) x2 ? y 2 ? a2 ;(3)当
b2 ? a 时存在,此时∠F1MF2=2) c

b2 ?a c

时不存在;当


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