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山东省文登市文登一中2013-2014学年高二下学期期末理科数学试卷(解析版)


山东省文登市文登一中 2013-2014 学年高二下学期期末理科 数学试卷(解析版)
一、选择题 1.在某项测量中,测量结果 X 服从正态分布 N (1, ? 2 )(? ? 0) ,若 X 在 (0,2) 内取值的概 率为 0 .8 ,则 X 在 [0,??) 内取值的概率为 A. 0 .9 【答案】A 【解析】 B. 0 .8 C. 0 .3 D. 0 . 1

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试题分析: 因为 X 服从正态分布 N (1, ? 2 )(? ? 0) , 所以正态分布曲线关于 x ? 1 ; 又因为 X 在 (0,2) 内取值的概率为 0 .8 ,所以 X 在 (0,1) 内取值的概率为 0 .4 ,所以 X 在 [0,??) 内取 值的概率为 0.4 ? 0.5 ? 0.9 . 考点正态分布曲线的特点及意义. 2.曲线 y ? sin x 与 x 轴在区间 [0,2? ] 上所围成阴影部分的面积为 A. ? 4 【答案】D 【解析】 B. ? 2 C. 2 D. 4

试题分析:由分析题意可知:曲线 y ? sin x 与 x 轴在区间 [0, ? ] 上所围成的面积与曲线

y ? sin x 与 x 轴在区间 [? ,2? ] 上所围成的面积相同,所以曲线 y ? sin x 与 x 轴在区间
[0,2? ]
?

























s ? 2? sin xdx ? 2?? cos x ? |? 0 ? 2?? cos? ? cos0? ? 4 .
0

考点:定积分的应用. 3.在各项都为正数的等比数列{ a n ?中,首项 a1 ? 3 ,前三项和为 21 ,则 a3 ? a4 ? a5 等 于 A. 189 【答案】B 【解析】 试 题 分 B. 84 C. 72 D. 33









a1 ? 3, a1 ? a2 ? a3 ? 21







; a1 1 ? q ? q 2 ? 21? 1 ? q ? q 2 ? 7 ? q ? 2, q ? ?3(舍) 所以 a1 q ? q ? q 4 ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 4 ? 84 .
2 3 2 3

?

?

?

?

?

?

考点等比数列的定义及性质. 4. 用反证法证明数学命题时首先应该做出与命题结论相矛盾的假设.否定 “自然数 a, b, c 中 恰有一个偶数”时正确的反设为 A.自然数 a, b, c 都是奇数 B.自然数 a, b, c 都是偶数 C.自然数 a, b, c 中至少有两个偶数 D.自然数 a, b, c 中至少有两个偶数或都是奇数 【答案】D 【解析】 试题分析:用 反 证 法 法 证 明 数 学 命 题 时 , 应 先 假 设 要 证 的 命 题 的 反 面 成 立 , 即 要 证的命题的否定成立,而命题: “ 自 然 数 a, b, c 中 恰 有 一 个 偶 数 ” 的 否 定 为 : “自 然 数 a, b, c 中 至 少 有 两 个 偶 数 或 都 是 奇 数 ” , 故 选 : D. 考点:命题的否定. 5.已知在一次试验中, P( A) ? 0.7 ,那么在 4 次独立重复试验中,事件 A 恰好在前两次发生 的概率是 A. 0.0441 【答案】A 【解析】

B. 0.2646

C. 0.1323

D. 0.0882

试题分析:因为 P( A) ? 0.7 ,所以在 4 次独立重复试验中,事件 A 恰好在前两次发生的概率

P ? ?0.7? ?0.3? ? 0.0441.
2 2

考点:对立性重复试验. 6.某单位为了制定节能减排的目标,先调查了用电量 y (单位:度)与气温 x (单位:?c ) 之间的关系,随机统计了某 4 天的用电量与当天气温,并制作了对照表:

?c ) 17 x (单位:
y (单位: 度) 24
?

14

34

10 38

?1

64

由表中数据得线性回归方程: y ? ?2 x ? a .当气温为 20 ?c 时,预测用电量约为 A. 20 【答案】A 【解析】 B. 16 C. 10 D. 5

试题分析:由表中数据可知:样本中心点为 ?10,40? ,因为线性回归方程为 y ? ?2 x ? a 所

?

以 a ? 60 ,即回归方程为 y ? ?2 x ? 60 所以由此预测当气温为 20 ?c 时,用电量的度数约为 20. 考点:回归直线及样本中心点. 7. 从 1,2,3,4,5,6 这六个数字中,任取三个组成无重复数字的三位数,但当三个数字中有 2 和

?

3 时, 2 必须排在 3 前面(不一定相邻),这样的三位数有 A. 108 个 B. 102 个 C. 98 个
【答案】A 【解析】

D. 96 个

3 试题分析:从 1,2,3,4,5,6 这六个数字中,任取三个组成无重复数字的三位数共有 A6 个,3 在

1 1 1 2 前的数字有 C2 C4 ? C4 ? 12 ,所以满足 2 必须排在 3 前面(不一定相邻),的三位数有 108

个. 考点:排列组合. 8.在吸烟与患肺病这两个事件的统计计算中,下列说法正确的是 A.若 ? 的观测值为 6.635,我们有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,那么在 100 个吸烟
2

的人中必有 99 人患有肺病; B.从独立性检验可知有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时,我们说某人吸烟,那么他有 99%的可能患有肺病; C.若从统计量中求出有 95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系, 是指有 5% 的可能性使得推判 出现错误; D.以上三种说法都不正确. 【答案】C 【解析】 试题分析:若 ? 的观测值为 6.635,我们只能说明有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,
2

但关系的多少却不得而知或者可以说明有 1% 的可能性使得推判出现错误;所以选 C. 考点:对立性检验的应用. 9.有 6 个座位连成一排,安排 3 个人就座,恰有两个空位相邻的不同坐法有 A. 36 种 B. 60 种 C. 72 种 D. 80 种 【答案】C 【解析】
3 试题分析:先安排这 3 个人就座排列方法有 A3 种,然后将两个空位捆绑这 3 人排好后形成

的空隙为 4 个,所以这两个空位有 4 种选择,剩下的一个空位有 3 中选择;所以不同的坐法
3 共有 A3 ? 3 ? 4 ? 72.

考点:排列组合. 10.一个袋子里装有编号为 1,2,3, ?,12 的 12 个相同大小的小球,其中1 到 6 号球是红色球, 其余为黑色球.若从中任意摸出一个球,记录它的颜色和号码后再放回到袋子里,然后再摸

出一个球,记录它的颜色和号码,则两次摸出的球都是红球,且至少有一个球的号码是偶数 的概率是 A.

3 16

B.

1 4

C.

7 16

D.

3 4

【答案】A 【解析】 试题分析:据 题 意 由 于 是 有 放 回 地 抽 取 , 故 共 有 12 ? 12 ? 144 种 取 法 , 其 中 两 次 取 到 红 球 的 情 况 有 6 ? 6 ? 36 种 可 能 , 又 两 次 取 到 红 球 没 有 一 次 是 偶 数 的 种 数 为 3? 3 ? 9 所 以 两 次 摸 出 的 球 都 是 红 球 且 至 少 有 一 次 号 码 是 偶 数 的 情 况 共 有

6 ? 6 ? 3 ? 3 ? 27 种 可 能 , 故 其 概 率 为 P ?
考点:等可能性事件的概率.

27 3 ? . 144 16

11.若函数 f ( x) ? x 3 ? 2cx 2 ? x 有极值点,则实数 c 的范围为

A. [

3 ,??) 2 3 ,??) 2

B. (

C.

(??,?
(??,?

3 ] U [ 3 ,??) 2 2
3 ) U ( 3 ,??) 2 2

D.

【答案】C 【解析】 试题分析:若函数 f ( x) ? x ? 2cx ? x 有极值点,则 f ( x) ? 3x ? 4cx ? 1 ? 0 有根,所以
3 2 ' 2

? ? ?4c ? ? 12 ? 16c 2 ? 12 ? 0 ? c ?
2

3 3 或c ? ? . 2 2

考点:导数的应用. 12.下列给出的命题中: ①如果三个向量 a, b, c 不共面,那么对空间任一向量 p ,存在一个唯一的有序数组 x, y , z 使

p ? xa ? yb ? zc .
②已知 O(0,0,0), A(1,0,0), B(0,1,0), C (1,1,1) . 则与向量 AB 和 OC 都垂直的单位向量只有

n?(

6 6 6 , ,? ). 6 6 3

③已知向量 OA, OB, OC 可以构成空间向量的一个基底, 则向量 OA 可以与向量 OA ? OB 和 向量 OA ? OB 构成不共面的三个向量.

?
④已知正四面体 OABC , M , N 分别是棱 OA, BC 的中点,则 MN 与 OB 所成的角为 4 . 是真命题的序号为 A.①②④ B.②③④ 【答案】D 【解析】 C.①②③ D.①④

试题分析:① 如 果 三 个 向 量 a, b, c 不 共 面 ,由 空 间 向 量 基 本 定 理 可 得 :对 空 间 任 一 向 量 p , 存 在 一 个 唯 一 的 有 序 数 组 x, y , z 使 p ? xa ? yb ? zc . ② 已 知 O(0,0,0), A(1,0,0), B(0,1,0), C (1,1,1) ,则 与 向 量 AB 与 OC 都 垂 直 的 单 位 向 量 有 n?(

6 6 6 , ,? ) ,因此不正确. 6 6 3

③ 已 知 向 量 OA, OB, OC 可 以 构 成 空 间 向 量 的 一 个 基 底 , 向 量 向量 OA 、 OA ? OB 、

OA ? OB 都可以用向量 OA, OB 表示所以可以构成共面的三个向量故③ 错 误 .
④ 已 知 正 四 面 体 OABC, M , N 分 别 是 棱 OA, BC 的 中 点 , 如 图 所 示 ,

不 妨 设 AB ? 2 . 取 AB 的 中 点 为 P , 连 接 MP, PN . 可 得 MP ? PN ? 1 , MN ? 成的角为

AN 2 ? AM 2 ? 2 ,∴ ? ?PMN ?

?
4

.则 MN 与 OB 所

? . 4

综 上 可 得 : 真 命 题 的 序 号 为 ① ④ 故 选 : D. 考点:随机变量、正态分布.

二、填空题 13.函数 f ( x) ? x 4 ? 2 x 2 ? 5 在 [?1,2] 上的最小值为_____________________. 【答案】-6 【解析】 试 题 分 析 : ? f ( x) ? x 4 ? 2x 2 ? 5,? f ' ( x) ? 4x3 ? 4x ? 4x x 2 ?1 ; 令 f ' ( x) ? 0 得 :

?

?

x ? ?1或x ? 0或x ? 1
列表如下:
x

-1 0 -6

(-1,0) + 增函数

0 0 -5

(0,1) 减函数

1 0 -6

(1,2) + 增函数

2 8 3

y'
y

所以由上表可知:函数的最小值为-6. 考点:函数的最值及导数的应用. 14. 等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 S14 ? 0, S15 ? 0 ,则 n ? _____时此数列的前 n 项 和取得最小值. 【答案】7 【解析】 试题分析: 由 S14 ? 0 ?

a7 ? a8 2a ?14 ? 0 ? a7 ? a8 ? 0 ;S15 ? 0 ? 8 ?15 ? 0 ? a8 ? 0 , 2 2

所以由以上两式可得: a7 ? 0 ,又因为该数列的首项为负公差为正,所以前 7 项的和最小. 考点:等差数列的定义及性质.

, AD ? 2, E 为侧面 AB1 的中心, F 15.已知长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? AA 1 ?1
为 A1 D1 的中点,则 EF ? FC1 ? 【答案】 【解析】 试题分析:以 D1 为 原 点 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 如 图 : .

1 2

∵ AB ? AA , AD ? 2, E 为 侧 面 AB1 的 中 心 , F 为 A1 D1 的 中 点 , 1 ?1 ∴ F ?1,0,0? , E ? 2, , ? , C1 ?0,1,0? , 则 EF ? ? ? 1,?

? ?

1 1? 2 2?

? ?

1 1? ,? ? , FC1 ? ??1,1,0? , 则 2 2?

EF ? FC1 ? 1 ?

1 1 ? . 2 2


考点:空 间 向 量 的 数 量 积 . 16.在数列 {an } 中, a1 ? 1, a2 ? 2 且 an?2 ? an ? 1 ? (?1) n (n ? N ? ) ,则 S 50 ? 【答案】675 【解析】 试题分析:在数列{an}中,∵ a1 ? 1, a2 ? 2 且 an?2 ? an ? 1 ? (?1) n (n ? N ? ) ,∴当 n 为 奇数时, an? 2 ? an ? 0 解得 an ? 1 ,当 n 为偶数时, an? 2 ? an ? 2 ,解得 an ? n ,故

?1, n为奇数 ,故 an ? ? ?n,n为偶数
S50 ? 1? 25 ? ?2 ? 4 ? 6 ? ? ? 50? ? 25 ? 650 ? 675.
考点:数列的性质. 三、解答题 17.已知 (2 x ? 3 x 2 ) n 的展开式中,第 5 项的二项式系数与第 3 项的二项式系数之比是 7 : 2 .
11

(Ⅰ)求展开式中含 x 2 项的系数; (Ⅱ)求展开式中系数最大的项. 【答案】 (1) 6 ; (2) T4 ? 5376x .
5

【解析】 试题分析: ( 1 )写 出 二 项 式 的 展 开 式 的 特 征 项 ,当 x 的 指 数 是

11 11 时 ,把 代入整 2 2

理 出 r 的 值 ,就 得 到 这 一 项 的 系 数 的 值 . ( 2 )根 据 上 一 问 写 出 的 特 征 项 然 后 设 出
r 9?r r ?1 10 ? r ? ?C 9 ? 2 ? C 9 ? 2 第 r ? 1 项的系数最大, 表 示 出 一 个 关 于 r 的 不 等 式 组 即 ? r 9 ? r ,解 r ?1 8? r ? ?C 9 ? 2 ? C 9 ? 2

不等式组即可. 解题的关键是写出展开式的特征项, 利用特征项的特点解决问题, 注意代数式的整理,特别是当分母上带有变量时注意整理.
4 Cn 7 试题解析: (Ⅰ)解由题意知 2 ? ,整理得 42 ? (n ? 2)(n ? 3) ,解得 n ? 9 Cn 2

r ∴ 通项公式为 Tr ?1 ? C9 ? 2 9? r x

27 ? r 6



27 ? r 11 ? ,解得 r ? 6 . 6 2
11

6 ∴展开式中含 x 2 项的系数为 C9 ? 29?6 ? 672 .
r 9?r r ?1 10 ? r ? ?C 9 ? 2 ? C 9 ? 2 r 9?r r ?1 8? r ? ?C 9 ? 2 ? C 9 ? 2

(Ⅱ)设第 r ? 1 项的系数最大,则有 ?

? 10 ?r ? 3 ? ?? ,? r ? N且0 ? r ? 9 ? r ? 3 . 7 ?r ? ? 3 ?
3 ∴展开式中系数最大的项为 T4 ? C9 ? 26 x 5 ? 5376x 5 .

考点:二项式项的系数问题. 18. 为培养高中生综合实践能力和团队合作意识, 某市教育部门主办了全市高中生综合实践 知识与技能竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段,参加决赛的团队按照抽签方式决定出场 顺序.通过预赛,共选拔出甲、乙等六个优秀团队参加决赛. (Ⅰ)求决赛出场的顺序中,甲不在第一位、乙不在第六位的概率; (Ⅱ)若决赛中甲队和乙队之间间隔的团队数记为 X ,求 X 的分布列和数学期望. 【答案】(1)

7 ; 10

( 2) 分 布 列 略 ,

4 . 3

【解析】 试题分析:(1)古典概型的概率问题,关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本 事件数,然后利用古典概型的概率计算公式计算; (2)当基本事件总数较少时,用列举法把 所有的基本事件一一列举出,要做到不重不漏,有时可借助列表,树状图列举,当基本事件 总数较多时,注意去分排列与组合;求随机变量的分布列的主要步骤:一是明确随机变量的 取值,并确定随机变量服从何种概率分布;二是求每一个随机变量取值的概率,三是列成表 格; (3)求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确; (4)求解离 散随机变量分布列和方差, 首先要理解问题的关键, 其次要准确无误的找出随机变量的所有 可能值, 计算出相对应的概率, 写成随机变量的分布列, 正确运用均值、 方差公式进行计算. 试题解析:解: (Ⅰ)设“甲不在第一位、乙不在第六位”为事件 A ,

则 P( A) ?

6 5 4 A6 ? 2 A5 ? A4 7 ? 6 10 A6

所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率为 (Ⅱ)随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3,4

7 . 10

P( X ? 0) ?

2 5 A2 A5 1 ? , 6 3 A6

P( X ? 1) ?

1 2 4 C4 A2 A4 4 ? 6 15 A6

P( X ? 2) ?

2 2 2 3 3 2 2 3 C4 A2 A2 A3 1 C4 A2 A2 A3 2 , ? P ( X ? 3 ) ? ? 6 6 5 15 A6 A6 2 4 A2 A4 1 ? , 6 15 A6

P( X ? 4) ?

随机变量 X 的分布列为:

X P

0 1 3

1 4 15

2 1 5

3 2 15

4 1 15

1 4 1 2 1 4 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? , 3 15 5 15 15 3 4 所以随机变量 X 的数学期望为 . 3
因为 EX ? 0 ? 考点:利用古典概型求随机事件的概率以及随机变量的分布列和期望. 19.观察下列等式 1?1 第一个式子 2?3? 4 ? 9 第二个式子 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 25 第三个式子 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 ? 49 第四个式子 照此规律下去 (Ⅰ)写出第 6 个等式; (Ⅱ)你能做出什么一般性的猜想?请用数学归纳法证明猜想. 【答案】 (1)6 ? 7 ? 8 ? ? ? 16 ? 11 ; (2) n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ?(3n ? 2) ? (2n ? 1) .
2

2

【解析】 试题分析: (1)数学归纳法是一种重要的数学思想方法,主要用于解决与正整数有关的数学 问题; (2)用数学归纳法证明等式问题,要“先看项” ,弄清等式两边的构成规律,等式两 边各有多少项,初始值 n 0 是多少; (3)由 n ? k 时等式成立,推出 n ? k ? 1 时等式成立,一 要找出等式两边的变化(差异) ,明确变形目标;二要充分利用归纳假设,进行合理变形, 正确写出证明过程,由于“猜想”是“证明”的前提和“对象” ,务必保证猜想的正确性, 同时必须严格按照数学归纳法的步骤书写.

试题解析: (Ⅰ)第 6 个等式 6 ? 7 ? 8 ? ? ? 16 ? 112 (Ⅱ)猜测第 n 个等式为 n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ?(3n ? 2) ? (2n ? 1) 2 证明: (1)当 n ? 1 时显然成立; (2)假设 n ? k (k ? 1, k ? N ? ) 时也成立, 即有 k ? (k ? 1) ? (k ? 2) ? ?(3k ? 2) ? (2k ? 1) 2 那么当 n ? k ? 1 时左边 ? (k ? 1) ? (k ? 2) ? ?(3k ? 2) ? (3k ? 1) ? (3k ) ? (3k ? 1)

? k ? (k ? 1) ? (k ? 2) ? ? ? (3k ? 2) ? (2k ? 1) ? 3k ? 3k ? 1 ? (2k ? 1) 2 ? (2k ? 1) ? (3k ) ? (3k ? 1) ? 4k 2 ? 4k ? 1 ? 8k ? (2k ? 1) 2 ? [2(k ? 1) ? 1]2
而右边 ? [2(k ? 1) ? 1]2 这就是说 n ? k ? 1 时等式也成立. 根据(1) (2)知,等式对任何 n ? N ? 都成立. 考点:归纳推理以及数学归纳法. 20.在数列 {an } 中, a1 ? 1, an?1 ? an ? c(c 为常数, n ? N ) , a1 , a2 , a5 构成公比不等 于 1 的等比数列.记 bn ? (Ⅰ)求 c 的值; (Ⅱ)设 {bn } 的前 n 项和为 Rn ,是否存在正整数 k ,使得 Rk ? 2 k 成立?若存在,找出一 个正整数 k ;若不存在,请说明理由. 【答案】 (1)2; (2)见解析 【解析】 试题分析: (1)等差数列基本量的求解是等差数列的一类基本问题,解决这类问题的关键在 于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用;解决等比数列这类问题尤其需要注意的是, 在使用等比数列的前 n 项和公式时,应该要分类讨论,有时还应善于运用整体代换的思想简 化运算过程; (3)观测数列的特点形式,看使用什么方法求和.使用裂项法求和时,要注意 正负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前 后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根和目的.(4)在做题时注意观察式子特点选 择有关公式和性质进行化简,这样给做题带方便,掌握常见求和方法,如分组转化求和,裂 项法,错位相减. 试题解析: (Ⅰ)∵ an?1 ? an ? c, a ? 1, c 为常数,∴ {an } 是以1 为首项, c 为公差的等差数 列,∴ an ? 1 ? (n ? 1)c .
?

1 ( n? N?) . an an?1

∴ a2 ? 1 ? c, a5 ? 1 ? 4c .又 a1 , a2 , a5 成等比数列,∴ (1 ? c) 2 ? 1 ? 4c , 解得 c ? 0 或 c ? 2 . 当 c ? 0 时, a n ?1 ? a n 不合题意,舍去.∴ c ? 2 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知, an ? 2n ? 1 . ∴ bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
1? 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 2? 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? ?

∴ Rn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

?

1 1 n (1 ? )? 2 2n ? 1 2n ? 1



假设存在正整数 k ,使得 Rk ? 2 k ,即

k ? 2k 2k ? 1

?

k ? 2k ? 1

1 1 2? k

随 k 的增大而增大,?

k 1 1 ? [ , ) ,而 2 k ? 2 2k ? 1 3 2

所以不存在正整数 k ,使得 Rk ? 2 k 成立. 考点:等比数列的定义及性质的应用.

ABCD 是平行四边形, ?DAB ? 45 , 21 .如图,直四棱柱 ABCD ? A 1B 1C 1D 1 的底面

AA1 ? AB ? 2 , AD ? 2 2 ,点 E 是 C1 D1 的中点,点 F 在 B1 C1 且 B1 F ? 2FC1 .

(Ⅰ)证明: AC1 ? 平面 EFC ; (Ⅱ)求锐二面角 A ? FC ? E 平面角的余弦值. 【答案】 (1)见解析; ( 2 ) 【解析】

69 . 138

试题分析:(1)利用已知的垂直关系建立空间直角坐标系,准确写出相关点的坐标,从而将 几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.(2)证明证线面垂直,只需要证明直 线的方向向量垂直与平面的法向量垂直; (3)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角 的余弦值;(4)空间向量将空间位置关系转化为向量运算,应用的核心是要充分认识形体特 征,建立恰当的坐标系,实施几何问题代数化.同时注意两点:一是正确写出点、向量的坐 标,准确运算;二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备. 试题解析: (Ⅰ)以 A 为坐标原点,射线 AB 为 x 轴的正半轴,建立如图所示空间直角坐标 系

A ? xyz

. 则 依 题 意 , 可 得 以 下 各 点 的 坐 标 分 别 为

10 4 A(0,0,0), C(4, 2,, 0) C1 (4, 2, 2), E(3, 2, 2), F ( , , 2) . 3 3
z A1 y D A B x D1 B
1

E F

C1

C

1 2 3 3 1 2 2, 2) ? ( , ? , 0) ? 0. ∴ AC1 ? EF ?? (4, 3 3

2, 2), EF ? ( , ? , 0), EC ? (1, 0, ?2), ∴ AC1 ? (4,

AC1 ? EC ?? (4, 2,2) ? (1,0, ?2) ? 0

∴ AC1 ? EF , AC1 ? EC .又 EF, EC ? 平面EFC ∴ AC1 ? 平面 EFC . (Ⅱ)设向量 n ? ( x, y, z) 是平面 AFC 的法向量,则 n ? AC, n ? AF , 而 AC ? (4, 2, 0), AF ? (

10 4 10 4 , , 2) ∴ 4 x ? 2 y ? 0, x ? y ? 2 z ? 0 , 3 3 3 3

令 x ? 1 得 n ? (1, ?2, ? ) . 又∵ AC1 是平面 EFC 的法向量,

1 3

n ? AC1 ∴ cos ? n, AC1 ?? ? | n |? | AC1 |

4?4?

2 3

1 1 ? 4 ? ? 16 ? 4 ? 4 9
69 . 138

??

69 . 138

所以锐二面角 A ? FC ? E 平面角的余弦值为

考点:利用空间向量证明线面垂直和求夹角 . 22.已知函数 f ( x) ? e x ( x 2 ? ax ? a ? 1) ,其中 a 是常数. (Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)若 f ( x) 在定义域内是单调递增函数,求 a 的取值范围; (Ⅲ) 若关于 x 的方程 f ( x) ? e x ? k 在 [0, ??) 上有两个不相等的实数根, 求 k 的取值范围. 【答案】 (1) 5ex ? y ? 3e ? 0 ; ( 2 ) [?4,0] ; 【解析】 试题分析:利用导数的几何意义求曲线在点 ?0,1? 处的切线方程,注意这个点的切点.(2)对 于转化为恒成立的问题,常用到以下两个结论: (1) a ? f ?x?恒成立 ? a ? f ?x?max , (2) (3) (

a?4 ,? a ] e a?2

a ? f ?x?恒成立 ? a ? f ?x?min
( 3) 解决类似的问题时,注意区分函数的最值和极值 . 求函数的最值时,要先求函数

y ? f ?x ? 在区间 ?a, b? 内使 f ??x ? ? 0 的点, 再计算函数 y ? f ?x ? 在区间内所有使 f ??x ? ? 0
的点和区间端点处的函数值,最后比较即得然后由相应条件的到参量的范围. 试题解析:(Ⅰ)由 f ( x) ? e x ( x 2 ? ax ? a ? 1) 可得

f ?( x) ? e x [ x 2 ? (a ? 2) x ? 1] .
当 a ? 1 时, f (1) ? 2e, f ?(1) ? 5e 所以 曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 2e ? 5e( x ? 1) 即 5ex ? y ? 3e ? 0 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 f ?( x) ? e [ x ? (a ? 2) x ? 1] ,若 f ( x) 是单调递增函数,则 f ?( x) ? 0 恒
x 2

成立, 即 x ? (a ? 2) x ? 1 ? 0 恒成立,∴ ? ? (a ? 2) ? 4 ? 0 ,
2 2

? 4 ? a ? 0 ,所以 a 的取值范围为 [?4,0] .
(Ⅲ)令 g ( x) ? f ( x) ? e ? e ( x ? ax ? a) ,则关于 x 的方程 g ( x) ? k 在 [0, ??) 上有两
x x 2

个不相等的实数根. 令 g ?( x) ? e ( x ? (2 ? a) x) ? 0 ,
x 2

解得 x ? ?(a ? 2) 或 x ? 0 . 当 ?(a ? 2) ? 0 ,即 a ? ?2 时,在区间 [0, ??) 上, g ?( x) ? 0 ,所以 g ( x) 是 [0, ??) 上的增 函数. 所以 方程 g ( x) ? k 在 [0, ??) 上不可能有两个不相等的实数根. 当 ?(a ? 2) ? 0 ,即 a ? ?2 时, g ?( x), g ( x) 随 x 的变化情况如下表

x
g ?( x )

0

(0, ?(a ? 2))
?

?(a ? 2)

(?(a ? 2), ??)
+


0

0
a?4 e a?2

g ( x)

?a


由上表可知函数 g ( x) 在 [0, ??) 上的最小值为 g ( ?( a ? 2)) ?

a?4 . e a?2

因为 函数 g ( x) 是 (0, ?(a ? 2)) 上的减函数,是 (?(a ? 2), ??) 上的增函数, 且当 x ? ?? 时, g ( x) ? ?? 所以要使方程 g ( x) ? k 即 f ( x) ? e x ? k 在 [0, ??) 上有两个不相等的实数根, k 的取值范 围必须是 (

a?4 ,? a ] . e a?2

考点:导数以及函数性质的应用.


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