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高三数学考前赢分30天


2014 年高三数学考前赢分第 22 天
核心知识 1、直线的倾斜角: (1)定义:在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直线 l ,如果把 x 轴绕着交点 按逆时针方向转到和直线 l 重合时所转的最小正角记为 ? ,那么 ? 就叫做直线的倾斜角。当 直线 l 与 x 轴重合或平行时,规定倾斜角为 0; (2)倾斜角的范围 ?0, ? ? 。 2、直线的斜率: (

1)定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率 k ,即 k =tan ? ( ? ≠90°);倾斜角为 90°的直线没有斜率; (2) 斜率公式: 经过两点 P P2 ( x2 , y2 ) 的直线的斜率为 k ? 1 ( x1 , y1 ) 、

y1 ? y 2 ?x1 ? x2 ? ; x1 ? x 2

(3)直线的方向向量 a ? (1, k ) ,直线的方向向量与直线的斜率有何关系? (4)应用:证明三点共线: k AB ? k BC 。 3、直线的方程: (1)点斜式:已知直线过点 ( x0 , y0 ) 斜率为 k ,则直线方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,它不 包括垂直于 x 轴的直线。 (2)斜截式:已知直线在 y 轴上的截距为 b 和斜率 k ,则直线方程为 y ? kx ? b ,它不 包括垂直于 x 轴的直线。 (3)两点式:已知直线经过 P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) 两 点 , 则 直 线 方 程 为

y ? y1 x ? x1 ,它不包括垂直于坐标轴的直线。 ? y 2 ? y1 x 2 ? x1
(4)截距式:已知直线在 x 轴和 y 轴上的截距为 a, b ,则直线方程为

x y ? ? 1 ,它不 a b

包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。 (5)一般式:任何直线均可写成 Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不同时为 0)的形式。 提醒:(1)直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还 有截距式呢?) ;(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为 0.直线两截距相等 ? 直线 的斜率为-1 或直线过原点;直线两截距互为相反数 ? 直线的斜率为 1 或直线过原点;直线 两截距绝对值相等 ? 直线的斜率为 ?1 或直线过原点。 4.设直线方程的一些常用技巧: (1)知直线纵截距 b ,常设其方程为 y ? kx ? b ; (2)知直线横截距 x0 ,常设其方程为 x ? my ? x0 (它不适用于斜率为 0 的直线); (3)知直线过点 ( x0 , y0 ) ,当斜率 k 存在时,常设其方程为 y ? k ( x ? x0 ) ? y0 ,当斜 率 k 不存在时,则其方程为 x ? x0 ;

(4)与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 平行的直线可表示为 Ax ? By ? C1 ? 0 ; (5)与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线可表示为 Bx ? Ay ? C1 ? 0 . 提醒:求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式,利用待定系数法求解。 5、点到直线的距离及两平行直线间的距离:

(1)点 P ( x0 , y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2



(2)两平行线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0, l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 间的距离为 d ? 6、直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 与直线 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的位置关系:

C1 ? C2 A2 ? B 2



(1)平行 ? A1 B2 ? A2 B1 ? 0 (斜率)且 B1C2 ? B2C1 ? 0 (在 y 轴上截距) ; (2)相交 ? A1 B2 ? A2 B1 ? 0 ; (3)重合 ? A1 B2 ? A2 B1 ? 0 且 B1C2 ? B2C1 ? 0 。 提醒: (1)

A1 B1 C1 A B A B C 、 1 ? 1 、 1 ? 1 ? 1 仅是两直线平行、相交、重合 ? ? A2 B2 C2 A2 B2 A2 B2 C2

的充分不必要条件!为什么? (2)在解析几何中,研究两条直线的位置关系时,有可能这两条直线重合,而在立体 几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线; ( 3 ) 直 线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 与 直 线 l2 : A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0 垂 直

? A1 A2 ? B1 B2 ? 0 。
7、对称(中心对称和轴对称)问题——代入法: 提醒:在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。 8、简单的线性规划: (1)二元一次不等式表示的平面区域: ①法一:先把二元一次不等式改写成 y ? kx ? b 或 y ? kx ? b 的形式,前者表示直线的 上方区域,后者表示直线的下方区域;法二:用特殊点判断; ②无等号时用虚线表示不包含直线 l ,有等号时用实线表示包含直线 l ; ③设点 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) ,若 Ax1 ? By1 ? C 与 Ax2 ? By2 ? C 同号,则 P,Q 在直 线 l 的同侧,异号则在直线 l 的异侧。 (2)线性规划问题中的有关概念: ①满足关于 x, y 的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件。 ②关于变量 x, y 的解析式叫目标函数,关于变量 x, y 一次式的目标函数叫线性目标函 数; ③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,称为线性规划问题;

④满足线性约束条件的解( x, y )叫可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域; ⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解; (3)求解线性规划问题的步骤是什么? ①根据实际问题的约束条件列出不等式;②作出可行域,写出目标函数; ③确定目标函数的最优位置,从而获得最优解。 (4)在求解线性规划问题时要注意:①将目标函数改成斜截式方程;②寻找最优解时 注意作图规范。 9、圆的方程: ⑴圆的标准方程: ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 。
2 2 2

⑵圆的一般方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0(D +E -4F ? 0) ,
2 2 2 2

特别提醒:只有当 D 2+E 2-4F ? 0 时,方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 才表示圆心为
2 2

D E 1 , ? ) ,半径为 D 2 ? E 2 ? 4 F 的圆 2 2 2 2 2 ( 二 元 二 次 方 程 Ax ? Bxy ? Cy ? Dx ? Ey ? F ? 0 表 示 圆 的 充 要 条 件 是 什 么 ? ( A ? C ? 0, 且 B ? 0 且 D 2 ? E 2 ? 4 AF ? 0 ) ) ; x ? a ? r cos ? ( ? 为参数) ⑶圆的参数方程: ,其中圆心为 (a, b) ,半径为 r 。圆的参 y ? b ? r sin ? (?

?

数方程的主要应用是三角换元: x 2 ? y 2 ? r 2 ? x ? r cos ? , y ? r sin ? ; x 2 ? y 2 ? t

? x ? r cos ? , y ? r sin ? (0 ? r ? t ) 。
⑷ A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 为直径端点的圆方程 ? x ? x1 ?? x ? x2 ? ? ? y ? y1 ?? y ? y2 ? ? 0 10、点与圆的位置关系:已知点 M ? x0 , y0 ? 及圆 C: (1) ? x-a ? ? ? y ? b ? ? r 2 ? r ? 0 ? ,
2 2

点 M 在圆 C 外 ? CM ? r ? ? x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r 2 ; (2)点 M 在圆 C 内 ?
2 2

(3)点 M 在圆 C 上 ? CM ? r ? ? x0 ? a ? CM ? r ? ? x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r 2 ;
2 2

2

? ? y0 ? b ? ? r 2 。
2

11、直线与圆的位置关系:直线 l : Ax ? By ? C ? 0 和圆 C: ? x ? a? ? ? y ? b? ? r 2
2 2

? r ? 0 ? 有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断:
( 1 )代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况) : ? ? 0 ? 相交; ? ? 0 ? 相离; ? ? 0 ? 相切; (2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小) :设圆心到直线的距离为 d ,则 d ? r ? 相交; d ? r ? 相离; d ? r ? 相切。 提醒:判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。 12、圆与圆的位置关系(用两圆的圆心距与半径之间的关系判断) :已知两圆的圆心

分别为 O1,O 2 ,半径分别为 r1 , r2 ,则( 1 )当 |O1O 2 ?? r1 ? r2 时,两圆外离; ( 2 )当 ( 3 ) 当 r1 ? r2 <|O1O 2 ?? r1 ? r2 时 , 两 圆 相 交 ; (4)当 |O1O 2 ?? r1 ? r2 时 , 两 圆 外 切 ; (5)当 0 ? |O1O 2 ??? r1 ? r2 | 时,两圆内含。 |O1O 2 ??? r1 ? r2 | 时,两圆内切; 13、圆的切线与弦长: (1)切线: ①过圆 x 2 ? y 2 ? R 2 上一点 P ( x0 , y0 ) 圆的切线方程是: xx0 ? yy0 ? R 2 , 过圆 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? R 2 上一点 P ( x0 , y0 ) 圆的切线方程是:

( x ? a )( x0 ? a ) ? ( y ? a )( y0 ? a ) ? R 2 ,
一般地,如何求圆的切线方程?(抓住圆心到直线的距离等于半径) ; ②从圆外一点引圆的切线一定有两条,可先设切线方程,再根据相切的条件,运用几 何方法(抓住圆心到直线的距离等于半径)来求;过两切点的直线(即“切点弦” )方程的 求法: 先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆, 该圆与已知圆的公共弦就是过两切点 的直线方程; ③切线长:过圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( ( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? R 2 )外一点 P ( x0 , y0 )
2 2

所引圆的切线的长为 x0 ? y0 ? Dx0 ? Ey0 ? F ( ( x0 ? a ) 2 ? ( y0 ? b) 2 ? R 2 ) ;
2 2

(2)弦长问题:①圆的弦长的计算:常用弦心距 d ,弦长一半

1 a 及圆的半径 r 所构 2

成的直角三角形来解: r 2 ? d 2 ? ( a ) 2 ;②过两圆 C1 : f ( x, y ) ? 0 、 C2 : g ( x, y ) ? 0 交点的 圆(公共弦)系为 f ( x, y ) ? ? g ( x, y ) ? 0 ,当 ? ? ?1 时,方程 f ( x, y ) ? ? g ( x, y ) ? 0 为两圆公 共弦所在直线方程.。 14.解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦 长、弦心距构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等 考前赢分第 20 天 前日回顾. 1. “a=b”是“直线 y ? x ? 2与圆( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? 2相切 ”的 2 2.圆(x 2) y2 5 关于原点(0,0)对称的圆的方程为 2 2 3.将直线 2x-y+λ =0,沿 x 轴向左平移 1 个单位,所得直线与圆 x +y +2x-4y=0 相切, 则实数λ 的值为 当天巩固 1.设直线 l 过点 (?2,0) ,且与圆 x ? y ? 1 相切,则 l 的斜率是
2 2

1 2

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2.从原点向圆 x +y -12y+27=0 作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为

2

2

3. “m=

1 ”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0 相互垂直”的 2
2 2

4.已知直线 ax+by+c=0 与圆 O:x +y =1 相交于 A、B 两点,且|AB|= 3 ,则 OA ? OB = .
2 2

5.设直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 和圆 x ? y ? 2 x ? 3 ? 0 相交于点 A、B,则弦 AB 的垂直平分线 方程是 6。 已知圆 C 的方程为 x ? y ? 2 y ? 3 ? 0 ,过点 P (?1, 2) 的直线 l 与圆 C
2 2

交于 A, B 两点,若使 AB 最小,则直线 l 的方程是 10. 如图,圆 O1 与圆 O2 的半径都是 1,O1O2=4,过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线 PM、PN(M、 N 分别为切点) ,使得 PM ?

2 PN 试建立适当的坐标系,并求动点 P 的轨迹方程.

11.在平面直角坐标系中, 已知矩形ABCD的长为2,宽为1, AB、AD边分别在x轴、 y轴的正半轴上,A点与坐标原点重合(如图5所示) .将矩形折叠,使A点落在线段DC 上.

(Ⅰ)若折痕所在直线的斜率为k,试写出折痕所在直线的方程; (Ⅱ)求折痕的长的最大值. Y C D

X O (A) B

前日回顾答案:1. 充分不必要条件 当天巩固答案: 1 5

2. 2π

(x 3

2)

2

y2

5; 3

-3 或 7 4

? 3
6

2

充分而不必要条件

?

1 2

3x ? 2 y ? 3 ? 0

_x? y?3? 0

7. 解:如图,以直线 O1O2 为 x 轴,

线 段 O1O2 的 垂 直 平 分 线 为 y 轴 , 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 , 则 两 圆 心 分 别 为
O1 (?2, 0), O2 (2, 0) . 设 P( x, y ) , 则 PM 2 ? O1 P 2 ? O1 M 2 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1 , 同 理

PN 2 ? ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 .
∵ PM ? 2 PN , ∴ ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1 ? 2[( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1] , 即 x 2 ? 12 x ? y 2 ? 3 ? 0 ,即 ( x ? 6)2 ? y 2 ? 33 .这就是动点 P 的轨迹方程. 8.解(I) (1) 当 k ? 0 时,此时 A 点与 D 点重合, 折痕所在的 直线方程 y ?
M

P

N

(2)当 k ? 0 时,将矩形折叠后 A 点落在线段 CD 上的点为 G(a,1) 所以 A 与 G 关于折痕所在的直线对称,有 k OG ? k ? ?1,

1 2

1 k ? ?1 ? a ? ?k a

故 G 点坐标为 G (? k ,1) ,从而折痕所在的直线与 OG 的交点坐标(线段 OG 的中点)为

k 1 M (? , ) 2 2
折痕所在的直线方程 y ?

k2 k 1 k ? ? k ( x ? ) ,即 y ? kx ? 2 2 2 2

由(1) (2)得折痕所在的直线方程为: k=0 时, y ?

k2 k 1 ; k ? 0 时 y ? kx ? ? 2 2 2

(II)(1)当 k ? 0 时,折痕的长为 2; (1) 当 k ? 0 时, 折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为 N (0,

k 2 ?1 k 2 ?1 ), P(? ,0) 2 2k

k 2 ?1 2 k 2 ? 1 2 (k ? 1) 3 y ? PN ? ( ) ? (? ) ? 2 2k 4k 2
2

y/ ?

3(k 2 ? 1) 2 ? 2k ? 4k 2 ? (k 2 ? 1) 3 ? 8k 16k 4
2 2
∴ PN max ?

令 y ? 0 解得 k ? ?
/

27 ?2 16

所以折痕的长度的最大值 2


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