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宁省沈阳二中等重点中学协作体2013届高三领航高考预测(三)数学(文)试题


2013 届省重点中学协作体领航高考预测试卷 3

高三数学(文科)模拟题
时间:120 分钟,满分:150 分 本溪市高级中学数学组:宫常裕
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.设复数 Z 满足 1 ? 3i Z ? 1 ? i ,则 Z =

/>
?

?





A. 2.

2 2

B. ?

2

C. 2

D. 2 ( )

下列各数集及对应法则,不能构成映射的是 A. x ? ?2n | n ? Z ?, y ? ?2n ? 1 | n ? Z ? , f : x ? y ? x ? 1 B. x ? Z , y ? ?2n | n ? Z ?, f : x ? y ? 4 x C. x ? N , y ? Q , f : x ? y ? D. x ? ?

x ?1 x

?? 3? ? , y ? ?0,2?, f : x ? y ? sin x , ?4 4 ? ?

3 . 已 知 三 条 不 重 合 的 直 线 m, n, l 和 两 个 不 重 合 的 平 面 α 、 β , 有 下 列 命 题 ①若 m / / n, n ? ? , 则m / /? ; ② 若l ? ? , m ? ?且l ? m则? ? ?

[来源:学科网]

③ 若l ? n, m ? n, 则l // m ④ 若? ? ? , ? ? ? ? m, n ? ? , n ? m, 则n ? ? 其中正确命题的个数为 A.4 B.3 ( C.2 D.1 )

4.若关于 x 的不等式 cos2x ? a sin x 在闭区间 ?? 是:
[来源:学科网]

? ? ?? , ? 上恒成立,则实数 a 的取值范围 ? 3 6?
( )

A, ??

? 1 ? ,1? ? 2 ?

B, ?? 1,0?

C, ??

? ?

5.已知函数 f ?x ? ? x 2 ? b ? 4 ? a 2 x ? 2a ? b 是偶函数,则函数的图象与数的图象与 y 轴交点的纵坐标的最大值为: A,-4 B,2 ( C,3 D,4 )

?

?

3 ? ,0 ? 2 ?

D, ?0,1?

6.已知平行四边形 ABCD,点 P 为四边形内部及边界上任意一点,向量 AP ? x AB ? y AD ,

则0 ? x ? A,

1 3

1 2 ,0 ? y ? 的概率为: 2 3 2 B, 3

( C,



1 4

D,

1 2

7.已知函数

?(3 ? a ) x ? 3, x ? 7 f ( x ) ? ? x ?6 ?a , x ? 7

,若数列

?an ? 满 足 an ? f (n)
( )

( n? N ) ,且 A、

?

?an ? 是递增数列,则实数 a 的取值范围是
B、 ?

?9 ? ? 4 , 3? ? ?

?9 ? ,3? 4 ? ?

C、 (2,3)

D、 (1,3)

8.输入 a ? ln 0.8 , b ? e 2 , c ? 2? e ,经过下列程序程度运算后, 输出 a , b 的值分别是 A. a ? 2? e , b ? ln 0.8 C. a ? e 2 , b ? 2? e 9.已知
1

1





B. a ? ln 0.8 , b ? 2? e D. a ? e 2 ,
1

b ? ln 0.8

f ( x ) 为定义在 R 上的可导函数,且 f ( x ) ? f ' ( x )
x ? R 恒成立,则
( )

第8 题图

对任意

A. f (2) ? e 2 f (0), f (2012 ? e 2012 f (0) )
B. f (2) ? e 2 f (0), f (2012 ? e 2012 f (0) )

C . f (2) ? e 2 f (0), f (2012 ? e 2012 f (0) )
10.定义:数列 ?an ? ,满足

D. f (2) ? e 2 f (0), f (2012 ? e 2012 f (0) )

a n ? 2 a n ?1 ? ? d n ? N * d 为常数,我们称 ?an ? 为等差比数 列, a n ?1 an

?

?

已知在等差比数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? 1, a3 ? 2 ,则 A,3 B,4 C,6
2 2

a 2009 的个位数 a 2006
D,8





11,在平行四边形 ABCD 中, AB ? BD ? 0,2 AB ? BD ? 4 ? 0, 若将其沿 BD 折起,使平 面 ABD ? 平面 BDC 则三棱锥 A-BCD 的外接球的表面积为: A, 2? B,4 ? C, 6? D, ( )

4 3? 3

12. 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,1,2 为其左、 F F 右焦点, 为椭圆 C 上任一点, F PF2 P ? 1 a 2 b2

的重心为 G,内心 I,且有 IG ? ? F F2 (其中 ? 为实数) ,椭圆 C 的离心率 e=( 1 A.

???

???? ?



1 2
2

B.

1 3

C.

2 3


D.

3 2
[来源:Z+xx+k.Com]

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5分,共 20 分,将答案填在答题卷相应位置上。 13.抛物线 y ? ax 的准线方程是 y ? ?1, 则a 的值为

14.已知函数 f ( x) ? x2 ? bx 的图像在点 A(1, f (1)) 处的切线 l 与直线 3x ? y ? 2 ? 0 平行,若数列
? 1 ? ? ? 的前 n 项和为 Sn ,则 S2011 的值为 ? f ( n) ?

.

15,在 ?ABC 中, B ? 600 , AC ? 3, 则 AB+3BC 的最大值为 16.给出下列四个命题:

.

2 ① ?x ? R, e x ? ex; ② ?x0 ? (1, 2) , 使得 ( x0 ? 3x0 ? 2)e 0 ? 3x0 ? 4 ? 0 成立; ABCD ③ x

为长方形, AB ? 2 , BC ? 1 , O 为 AB 的中点,在长方形 ABCD 内随机取一 点,取得的点到 O 距离大小 1 的概率为 1 ?

?;
2

④在 ?ABC 中,若 tan A ? tan B ? tan C ? 0 ,则 ?ABC 是锐角三角形, 其中正确命题的序号是 三、解答题(共计 70 分) 17.(本题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A.B.C 所对的边分别为 a,b, c.

已知

sin A ? sin C ? p sin B ? p ? R? ,
p?

1 ac ? b 2 4 . 且

(Ⅰ)当

5 ,b ? 1 4 时,求 a , c 的值;

(Ⅱ)若角 B 为锐角,求 p 的取值范围

[来源:Z.xx.k.Com]

18(本小题共 12 分) 在如图的多面体中, EF ⊥平面 AEB , AE ? EB , AD // EF , EF // BC , BC ? 2 AD ? 4 , EF ? 3 , AE ? BE ? 2 , G 是 BC 的中点. A D (Ⅰ)求证: AB // 平面 DEG ; (Ⅱ)求证: BD ? EG ;

E

F

B

G

C

19(本小题满分 12 分)从甲、乙两名运动员的若干次训练成绩中随机抽取 6 次, 分别为甲:7.7,7.8,8.1,8.6,9.3,9.5.乙:7.6,8.0,8.2,8.5,9.2,9.5 (1)根据以上的茎叶图,对甲、乙运动员的成绩作比较,写出两个统计结论; (2)从甲、乙运动员六次成绩中各随机抽取 1 次成绩,求甲、乙运动员的 成绩至少有一个高于 8.5 分的概率。 (3)经过对甲、乙运动员若干次成绩进行统计,发现甲运动员成绩均匀分 布在[7.5,9.5]之间,乙运动员成绩均 匀分布在[7.0,10]之间,现甲、 乙 比赛一次,求甲、乙成绩之差的绝对值小于 0.5 分的概率 。

20. (本小题共 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ?
3

在 [1, ??) 上单调递增。 (1)求 f ( x ) 的解析式;

1 37 (sin ? ) x 2 ? 2 x ? c 的图象过点 (1, ) ,且在 [?2,1) 内单调递减, 2 6

(2)若对于任意的 x1 , x2 ?[m, m ? 3](m ? 0) ,不等式 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 这样的 m 是否存在.若存在,请求出 m 的范围,若不存在,说明理由;

45 恒成立,试问 2

21. (本小题满分 12 分) 已知点 Q(1,0) 在椭圆 C:

y 2 x2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上,且椭圆 C 的离心率 . 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)过点 P ( m,0) 作直线交椭圆C于点A,B,△ABQ的垂心为T,是否存
[来源:Z.xx.k.Com]

在实数m ,使得垂心T在y轴上.若存在,求出实数m的取值范围;若 不存在,请说明理由.

Y B

P A

T O
Q

X

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,若都选,则按所做的第一题记分。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 A 如图, 已知 PA 与圆 O 相切于点 A , 经过点 O 的割线 PBC E 交圆 O 于点 B,C , ?APC 的平分线分别交 AB,AC 于 D C 点 D ,E . B O



P

(Ⅰ)证明 : ?ADE = ?AED ;

(Ⅱ)若 AC ? AP ,求

PC 的值. PA

第 22 题图

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程 已知点 P(1 ? cos? , sin ? ) ,参数 ? ? ?0, ? ? ,点 Q 在曲线 C: ? ? (1)求在直角坐 标系中点 P 的轨迹方程和曲线 C 的方程; (2)求|PQ|的最小值.

10

2 sin(? ? ) 4

?

上.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2x ? a ? a . (1)若不等式 f ( x) ? 6 的解集为 x ? 2 ? x ? 3 , 求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若存在实数 n 使 f (n) ? m ? f (?n) 成立,求实数 m 的取值范 围.

?

?

答案
一、选 择题:1.A 2.C 3.C 4,D 5. D 6.A 7.C 8. C 9.A 10.C 11.B 1 2011 二、填空题:13. 14. 15 2 13 16. (1) (2) (4) 2012 4
12.A

三、 解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,说明过程或演算步骤) 。
5 ? ?a ? c ? 4 , ? ? ?ac ? 1 , ? 4 17、 (本小题满分 12 分) (I)解:由题设并利用正弦定理,得 ?

1 ?a ? 1, ? ? ?a ? , 4 ? 1 或? ?c ? 4 , ?c ? 1. ? 解得 ? - ---(4 分)
2 2 2 (II)解:由余弦定理, b ? a ? c ? 2ac cos B

? (a ? c) 2 ? 2ac ? 2ac cos B 1 1 ? p 2b 2 ? b 2 ? b 2 cos B, 2 2 3 1 即p 2 ? ? cos B, 2 2 -------(8 分)

[来源:学科网 ZXXK]

3 6 0 ? cos B ? 1, 得p 2 ? ( , 2) p ? 0, 所以 ? p ? 2. 2 2 因为 ,由题设知 ---------(12 分)

18、 (本小题满分 12 分)解: (Ⅰ)证明:∵ AD / / EF , EF / / BC , ∴ AD / / BC . 又∵ BC ? 2 AD , G 是 BC 的中点, ∴ AD/ /BG , ∴四边形 ADGB 是平行四边形, ∴ AB / / DG . ∵ AB ? 平面 DEG , DG ? 平面 DEG , ∴ AB / / 平面 DEG . …………………5 分 (Ⅱ) 证明:∵ EF ? 平面 AEB , AE ? 平面 AEB , B ∴ EF ? AE , 又 AE ? EB, EB ? EF ? E , EB, EF ? 平面 BCFE , ∴ AE ? 平面 BCFE .

A

D

E

H

F

G

C

过 D 作 DH / / AE 交 EF 于 H ,则 DH ? 平面 BCFE . ∵ EG ? 平面 BCFE , ∴ DH ? EG .

[来源:学科网 ZXXK]

∵ AD / / EF , DH / / AE ,∴四边形 AEHD 平行四边形, ∴ EH ? AD ? 2 , ∴ EH ? BG ? 2 ,又 EH / / BG, EH ? BE , ∴四边形 BGHE 为正方形, ∴ BH ? EG , 又 BH ? DH ? H , BH ? 平面 BHD , DH ? 平面 BHD , ∴ EG ⊥平面 BHD . ∵ BD ? 平面 BHD , ∴ BD ? EG .

………12 分

19.解:(Ⅰ)① 由样本数据得 x甲 ? 8.5, ? 8.5 ,可知甲、乙运动员平均水平相同; x乙 ②由样本数据得 s甲 ? 0.49, s乙 ? 0.44 ,乙运动员比甲运动员发挥更稳定;
2 2

③甲运动员的中位数为 8.1 ,乙运动员的中位数为 8.2 ……… (4 分) (Ⅱ)设甲乙成绩 至少有一个高于 8.5 分为事件 A ,则

P( A) ? 1 ?

3? 4 2 ? ………… (6 分) 6?6 3

(Ⅲ)设甲运动员成绩为 x ,则 x ? ?7.5,9.5? 乙运动员成绩为 y , y ? ?7,10?

?7.5 ? x ? 9.5 ? ? 7 ? y ? 10 ……(8 分) ? x ? y ? 0 .5 ?
设甲乙运动员成绩之差的绝对值小于 0.5 的事 件为 B ,则
[来源:学*科*网]

y 3

2?2 1 P( B) ? 1 ? ? ………(12 分) 2?3 3
O
20、 (本小题满分 12 分) (1)≧ f ?( x) ? 3ax ? (sin? ) x ? 2 ,--------1 分
2

0 .5

2 .5

x

由题设可知: ?
源:学|科|网 Z|X|X|K]

? 3a ? sin ? ? 2 ? 0 ? f ?(1) ? 0 即? ?sinθ≥1, ?sinθ=1.------3 分 ? f ?(?2) ? 0 ?12a ? 2 sin ? ? 2 ? 0

[来

从而 a= 所求.

1 1 3 1 2 37 22 1 3 1 2 22 ,?f(x)= x + x -2x+c,而又由 f(1)= 得 c= .?f(x)= x + x -2x+ 即为 3 3 2 6 3 3 2 3 --------------5 分
2

(2)由 f ?( x) ? x ? x ? 2 =(x+2) x-1) ( , 易知 f(x)在(-≦,-2)及(1,+≦)上均为增函数,在(-2,1)上 为减函数. ①当 m>1 时,f(x)在[m,m+3]上递增,故 f(x)max=f(m+3), f(x)min=f(m)

1 1 3 1 2 15 45 3 1 2 2 由 f(m+3)-f(m)= (m+3) + (m+3) -2(m+3)- m - m +2m=3m +12m+ ≤ , 3 2 3 2 2 2 得-5≤m≤1.这与条件矛盾. ------------8 分 ② 当 0≤m≤1 时,f (x)在[m,1]上递减, 在[1,m+3]上递增 ?f(x)min=f(1), f(x)max=max{ f(m),f(m+3) }, 15 9 2 2 又 f(m+3)-f(m)= 3m +12m+ =3(m+2) - >0(0≤m≤1) 2 2 ?f(x)max= f(m+3)?|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min= f(m+3)-f(1)≤f(4)-f(1)= 成立. 故当 0≤m≤1 时,原不等式恒成立.----------------11 分 综上,存在 m 且 m∈[0,1]附合题意---------------12 分 45 恒 2

21、 (本小题满分 12 分)

c2 a2 ?1 1 ? ? 2 2 2 ,? a ? 2 a2 解:(Ⅰ b ? 1 ,? a ) y2 x2 ? ?1 2 ? 椭圆C的方程为 ——————————————2分
(Ⅱ )假设存在实数m,使得垂心T在Y轴上。 当直线斜率不存在时,设 A?m, n? ,则 B?m,?n? 则有 AT ? BQ ? 0 ,所以 n ? m?1 ? m? ? 0
2

n2 ?m ? ?1 2 又
2

2 m?? 或 m ?1 ( 舍 ) 3 可 解 得

?m ? ?

2 3

—————————————4分

当直线斜率存在时,设 T ?0, t ? ( t ? 0 ) A x1 , y1 , B x2 , y 2

?

?

?

?
?k ? 1 t

设直线方程为: y ? k ( x ? m) 则 QT 斜率为 ? t ,? AB ? QF , 又? BT ? AQ,? ?? x2 , t ? y2 ? ? ?1 ? x1 ,? y1 ? ? 0 即: x1 x2

? y1 y2 ? x2 ? ty1

1 ? ?1 x1 x2 ? y1 y2 ? x2 ? t ? x1 ? m ? t ? ?t ?

x1 x 2 ? y1 y 2 ? x1 ? x 2 ? m ————————————6分

1 ? ? y ? t ( x ? m) ? ? 2 ?x 2 ? y ? 1 2 2 2 2 ? y 2 ? 消去 可得: 2t ? 1 x ? 2mx ? m ? 2t ? 0

?

?

?? ? 0

? 2t 2 ? 1 ? m2 ? 0

2m ? ? x1 ? x 2 ? 2t 2 ? 1 ? ? 2 2 ? x x ? m ? 2t ? 1 2 2t 2 ? 1 ? 1 1 2m 2 ? 2 ( x1 ? m)( x 2 ? m) 2 [ x1 x 2 ? m? x1 ? x 2 ? ? m 2 ] ? y1 y2 ? t 2 2t 2 ? 1 =t
————————————8分 代入可得(?m ? 1 )

3? 5 3? 5 3m 2 ? m ? 2 ?? ?m?? 2 ? ?3m ? 2 ? m ? 3m ? 1 ? 0 2 2 --10分 1? m 2 ?m ? ? 2 3 又? 2t ? 0

2t 2 ?

3? 5 2 ?m?? 2 3 ——————————12分 综上知实数m的取值范围 ?

选考题:请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,若都选,则按所做的第一题记分。
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

22.解: (Ⅰ)∵ PA 是切线, AB 是弦, ∴ ?BAP ? ?C . 又∵ ?APD ? ?CPE , ∴ ?BAP ? ?APD ? ?C ? ?CPE . ∵ ?ADE ? ?BAP ??APD , ?AED ? ?C ? ?CPE ,[来源:Zxxk.Com] ∴ ?ADE ? ?AED .……………………………5 分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 ?BAP ? ?C ,又∵ ?APC ? ?BPA , ∴ ?APC ∽ ?BPA . ∴ C E

A

.D O

B

P

PC CA . ? PA AB
∴ ?APC ? ?C

∵ AC ? AP ,

∴ ?APC ? ?C ? ?BAP . 由三 角形内角和定理可知, ?APC ? ?C ? ?CAP ? 180? . ∵ BC 是圆 O 的直径,∴ ?BAC ? 90? .∴ ?APC ? ?C ? ?BAP ? 180? ? 90? ? 90?

1 3 1 CA 1 CA 在 Rt ?ABC 中, ,即 , ? ? ? tan C AB tan 30 AB
∴ ?C ? ?APC ? ?BAP ? ? 90? ? 30? .



CA ? 3. AB



PC CA ? ? 3. PA AB

………………………10 分

23.解: (1)点 P 的轨迹是上半圆: ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1( y ? 0). 曲线 C 的直角坐标方程:

x ? y ? 10 ┈┈5 分
(2) PQ max ?

11 2 ? 1 ┈┈5 分 2

24. 解 : Ⅰ ) 由 2x ? a ? a ? 6 得 2x ? a ? 6 ? a , ∴ a ? 6 ? 2 x ? a ? 6 ? a , 即 (

a ?3 ? x ? 3,
∴ a ? 3 ? ?2 ,∴ a ? 1 。┈┈┈┈5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ? x ? ? 2x ?1 ? 1,令 ? ? n? ? f ? n? ? f ? ?n? ,

1 ? ?2 ? 4n, n ? ? 2 ? 1 1 ? ? ?n? 则, ? ? n ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2 ? ?4, 2 2 ? 1 ? n? ?2 ? 4n, 2 ?
∴ ? ? n ? 的最小值为 4,故实数 m 的取值范围是 ?4,??? 。┈┈┈┈┈10 分


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