当前位置:首页 >> 学科竞赛 >> 数学竞赛归纳法2011

数学竞赛归纳法2011


2011

?

? ?? ??? °

? ? ? ¤ ?? ¤? ? “? ”, ? ·??? ? ? ? ? ? ?? ? ?  ? ?? ?

?

? ?

? ? ? ? ¤ n = k ? 1 ? n = k. ? : n ≤ k ? n

= k + 1, ? ? ? ¤ n < k ? n = k.


¤ n=n , ¤n = k ?
0

? ?? n = k + 1, ?

?· ???? ? ? ?? ? · ?

?? ? ±? P ? ? ° ¤ ? k ? 1 ≥ n , ±? P ??? ±? P ?? n ≥ n , ±? ?? ?? P ?? A = n ∈ N n ≥ n , ±?P n ∈ A. ?
n0 0 k ?1 k 0 n + 0 n 0

= ?,

k = min n n ∈ A .

±? n ∈ A, k ≥ n +1, k ?1 ≥ n . ?±? k ? 1 < k , k ? 1 ∈ A, ?? ±? P ? ±? P ? k ∈ A, ±? k ? A ??? · ? ? ? ? ?  ° ?? ? ?
0 0 0 k ?1 k

? n + 1 ???? ?? n ? n ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ° ?? ? ? ¤?? ???? n ? ???? ?
1.

? n ≥ 3 ? ? n ?? ? ??? ? ? ?? ¨ ? ?????? ? ? ¨ ? ?? × ?¤?? ? °¤ ? ?? ? ? ?
2.

° ¤? ? ?? ¨
3.

?
1, 2, 3, · · · , 3n

n,

a1 , a2 , · · · , an b1 , b2 , · · · , bn c1 , c2 , · · · , cn a1 + b1 = c1 , a2 + b2 = c2 , · · · , an + bn = cn .

1 2 3

1 2 3

2, 4,

1, 9,

3, 8,

5 7

6, 10, 11, 12

4 8

2

6

10

1

3

5

7

9

11 13 15 17 19 21 23

18 16 14 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25

12 20 22 24 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

? ?

? m = 0, ? n = 1 ? ??
1 2 3

? ?

°? ?

?

n = 4m ,

? m ??

??? m = k ?? ? n = 4 ? ? ?? ?? m = k + 1 ?? ? ?? n = 4 ?? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? (? ? 1 ? 4 ?? ?), ± § ? 1 ? 2·3·4 ?? ? ? ? ? ? 1 ? 2 · 3 · 4 ?? ? § ? ??? ? ? ? ?? ?? a , · · · , a , ± ? 1 ? 2·3·4 ?? ? ? ?? ? 2 · 3 · 4 + 1 ? 3 · 3 · 4 ?? ? § ?? ? ? ?? ?? ?? b , · · · , b ± ? 1 ? 3 · 3 · 4 ?? ? ? ? ? ¨? ? ? ? ? ? ? ? (a + b ), ?? ? ? ? ? ? ? ? ? (? c ? c ), ·? ? ?? ? ? 3·3·4 +1 ? 3·4 ?? ? § ? ? ? ? ? ? ° ? ? n = 4 ? ? ? ? ?? ?? 4 ? n ? ?? ? n? ? ??
k k k k k 4k +1 4k+1 k k k 4k +1 k j j 4k +1 4k+1 k k +1 k +1 m

4k+1 ,

? n ≥ 2 ?? ? °¤?? n × n ? ? ? ? 0, 1 ? ?1, ? n ?? ? n ? ( 2n ? ) ? ? ? 0 ?? ?
4.

A2 =

1

1

0 ?1

? ? ? 0 ?1 ?1 ?1 ? ? A4 = ? ? ? 1 ? ? 1 ?1 1 1 ?1 0 ?1 1 1 1 1 ?

?

1

1

1

1

?

? ? ? ? ? A6 = ? ? ? ? ? ?

?

1

? 0 ?1 ?1 ?1 ?1 ?1 ? ? ? ? 1 ?1 ? ? 1 ?1 ? ? ? 1 ?1 A4 ? 1 ?1 ? 1 ? 0 ?1 ?1 ?1 · · · ?1 ? ? ? ? 1 ?1 ? ? 1 ?1 ? ? . . ? . . A2k . . ? 1 ?1 1 1 1 ··· 1 ?

1

A2k+2

? ? ? ? ? =? ? ? ? ? ?

?

5.

???? ?×? ? n(n ≥ 8) ? ? ?

n ? 1, n ? 1, n ? 1, n ? 2, n ? 2, n ? 2, n ? 3, n ? 4, · · · , 6, 5, 4?

6.

???? ?± ? ? ?
k = 1, 2, 3, · · ·,

k

¨ ?? k

?

? ? ?? ?

?? ¤ ? ? ? ? ? ? ??¤ ? ?? a , a = a , ?? a ? ? ?? ? ? ?? n¨ a ,a ,···,a , k ¨ ? ? S (k = 1, 2, 3, · · ·). m ??? {a , a , · · · , a } ? ?? ? M a ,a ,···,a ? ? ? ???
1 2 1 1 1 2 n k 1 2 n 1 2 n

an+1 = m[(n +2)tn ? 1] ? Sn , an+2 = m,

? ? ? S = S + a = m[(n + 2) ? 1] ? ? (n + 2) ? 1 = n + 1 ? S = m(n +2) ? ? n +2 ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ??
n+1 n n+1 tn n+2 tn

tn

?? ? a

n+1

> M.

7.

?

{an }

?¨????
a2 n? n3 + 1, 2004

?
n > 0.

a1 < 204, an+1 = 1 n + 2004 n

° ??

?

?

?

?¤ ? a
a2 =

1

= a,

?

1 1 + 1 a2 ? +1 2004 2004 2005a2 + 2003 a2 ? 1 2 = =a +1+ . 2004 2004
2 2

±? a

? a ?1 ?? 2004 = 4 · 3 · 167 ? ±? a ? 1 ?? 4 ? a ?? a = 2b + 1, ?
2

a2 ? 1 = (a ? 1)(a + 1) = 4b(b + 1).

? b(b + 1) ?? 167 ?? ? ? b > 0, ? b ? b + 1 ?? 167 ? b ≥ 166 ? a = 2b + 1 ≥ 333, ± ? ? a < 204 ? ? b = 0, a = a = 1. ? ? ???¨¤
1 1

a2 = a3 = a4 =

1 1 + 2004 1 2 1 + 2004 2 1 3 + 2004 3

13 + 1 = 2, 2004 23 · 22 ? + 1 = 3, 2004 33 2 + 1 = 4. ·3 ? 2004 · 12 ?
n

? ? §? n, ? a = n. ?° ? ? ° ? n = 1, 2 , 3 , 4 ? ? ?? ? ? k > 3, ? a = k, ?
k

ak+1 =

k 1 + 2004 k n,
n

k2 ?
n

k3 + 1 = k + 1. 2004

? a = n. ? {a } ? ? ? ? ?

? ?

8.

?f:

N+ → N+ m, n ∈ N+ .

f (f (m) + f (n)) = m + n,

?

? ? f.

f (n) = n,

n ∈ N+ .

N+

? ¤? f (x) = y, ?? , ?± ?
+

x, y ∈

f (2y ) = f (f (x) + f (x)) = 2x.

(1)

? f (1) = t, t ∈ N , ?± (1)
f (2t) = 2.

?

° t = 1. ? ? ?? t = b + 1, b ∈ N . ? f (b) = c, c ∈ N , ? ? ?? f (2c) = 2b, ± ? ?
+ +

2c + 2t = f (f (2c) + f (2t)) = f (2b + 2) = f (2t) = 2.

?

c + t = 1,

t = 1.

?? °

?

?? ??

f (1) = 1.

? ? f (k ) = k , ?
f (k + 1) = f (f (k ) + f (1)) = k + 1.

f (n) = n,

n ∈ N+ .

? ???? ? ?? ??????? ? ? ¤? ? ? p ?? ? q, ? ? ?? ? q ? ? ? ?? ? ? ? °¤?? ?¤ ? ? ?¨ ? ?? ? ?
9. 2n

? ?? ? n = k ?? ?? ? n = k + 1 ? ? ? ? ±? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?± ? ? ? ? ? ( ? ?? ). ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?±?? ¨ ? ??? ? ? ? 2 ? “? ”. ± ? ? ? ? ?¨ ? ?
n = 1
k

? ?? ?? ? ?? ??????? ? ? ¤? ? ? p ?? ? q, ? ? ?? ? q ? ? ? ?? ? ?? °¤?? ?¤ ? ? ?¨ ? ?? ?
10.

? ? A, B, C 3 ? ? a, b, c ? ? ? a ≤ b ≤ c. ? ? ? ?? ±? ? ? ??
a < b < c.

?

°?? ¨ 3

?

¤

? ? a = 1. ?
bj = 0

b

? ?

?

b = b0 + b1 · 2 + b2 · 22 + · · · + bm · 2m ,

? 1, j
j

= 0, 1 , · · · , m ?

1; bm = 1.

? m + 1 ? ???? j + 1 ? ? ?? b = 1, ? ? B ? 2 ? ? A ?? b = 0, ? ? C ? 2 ? ? A ? ??±? m+1 ? ? ?A ? 2 ? ? B ?? ? ? 1 ≤ a < k, ?? ? a = k ? ? ??
j j j m+1

b = bk + r,

? ¤
1.

0 ≤ r < k,

??

b

? ?
l

b = b0 + b1 · 2 + b2 · 22 + · · · + bl · 2l , bj = 0

? 1, j = 0, 1, · · · , l?1; b =
j

? l + 1 ? ?? ??? j + 1 ? ? ?? b = 1, ? ? B ? 2 k ? ? A ?? b = 0, ? ? C ?2k? ?A ? ±??? ± ? l + 1 ? ? ? A ? 2 k ? ? B ?? r? ? ? r = 0, ? ? ?? r = 0, ? 0 < r < k , ?°?? ? B ? ? ? ? A ? ? ?? ?? ±????? ? ?
j j j l+1

??

?n≥6? ? ° ¤? ¨ ? ? ? ? n ? ? (? ? ? ? ?).
11.

?? ? ?? n = k ? ??? ? ? ? ??? 4 ? ?????? n = k +3 ? ?? ±?? ? 3 ? ? ? ? 3 ???? ? n ≥ 6, ? ?? ?

??

n = 6, 7, 8,

? § ?× ?

?n≥3? ? °¤? ¨ ? ???? ? n ?? ??? (? ?? ? ? ?).
12.

? ? ? ?? ? ? n = k ?? ????? ?? ????? 3 ? ????? ?? ? 4 ??? ? ? ??? ? ? ?? n = k + 3 ?? ?? ? ? ±?? ? 3 ? ? ? ? 3 ???? ? n ≥ 3, ? ?? ?

??

n = 3, 4, 5,

? § ?× ?

13. n

?n≥6? ? ? ??

? °¤ ? ? ??

14.

?
3
·· ·3

An = 3 An

,

Bn = 8
n

8

··

·8

,

8.

°¤ A

? n  3, B
> Bn .

?n

n+1

15.

? 0 < a < 1,
an = n, 1 an?1
n

a1 = 1 + a,

+ a, > 1.

n ≥ 2.

°¤

?a

16.

? ? ? 1, 2, · · · , n ? ? ?
a1 , a2 , · · · , an ,
k

? k + a (k = 1, 2, · · · , n) ? ? ?? n ? “ ”. ??¤ ?? {11, 13, 15, 17, 19} ? ? ? “ ”, ? ? “ ”? ° ±? ?? ? ? ? ? ?

? ?

°¤

?
2

?? ? ? 1 24(= 5 ? ? ? 1) ? ? A ? ?? ? ? ?? ? 11 ??? ? ? ? ¤ n = 13 :
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 5 4 3 ak 8 2 13 12 11 10 9 1 7

A = {1, 2, 4, 6, 7, 11}

° ?? n = 17 ??·? ° ? (1, 3, 6, 10, 15, 1):
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 9 8 ak 3 7 6 5 4 10 2 17 16 15 14 13 12 11 n = 19

n = 23 ?

·¤
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9 19 18 17

n = 19 :

1 2 3 4 5 6 7 8

8 7 6 5 4 3 2 1 16 15 14 13 12 11 10 n = 23 : 1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 6 5 4 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13

3 2 1 12 11 10 9 8 7

????? m ? ? ? ? m ≥ 5. ?? A ? ? ° ???? (m + 1) ? ? ? ?? A ? ??±? °¤ m , m + 1, m + 2, · · · , (m +1) ? 1 ?? (m + 1) ? 1 ??
2 2 2 2 2 2 2

n ∈ m2 , m2 + 1, m2 + 2, · · · , (m + 1)2 ? 2 ,

?

??±? ° ?? ? k < n, ? n + k + 1 ?? ? ? ?? ? ??
n k +1 k +2 ··· n?1 n n n?1 ··· k +2 k +1

? ? ? k ? ? ?? ° n ?

?
k1 = (m + 1)2 ? n ? 1,

??

k2 = (m + 2)2 ? n ? 1,

2 ≤ k1 < k2 = (m + 2)2 ? n ? 1 ≤ (m + 2)2 ? m2 ? 1 = 4m + 3 < m2 ≤ n, k2 ? k1 = (m + 2)2 ? (m + 1)2 = 2m + 3 ≥ 13 > 10.

±??

??? 11?1 = 10, ? k ? k ?? ? ? ? A. ? k ∈ A, ? k = k , ??? k = k ???
A
1 2 1 1 2

? M ? ? ? ? ?¤ ? ?? ? ° ¤? ¨ M ? ? ? ? ? ?? ????? ? ? ? ? ?? ? 1 ??
17.

?? 2.n = 1 ? ??? n ≤ k ? ?? n = k + 1. (1) ? ? ??? ??? ? ? l ?? M 1 ? ? (2) ? ? ? ? M ? ? ? ??? ? ? ? ? M ? ? ?


更多相关文档:

数学归纳法的教案 使用

单县一中 高中数学学科教案 2011.3.23 《2.3 数学归纳法》教案单县一中 朱瑞朋 2011.3.23 教学目标: 1、 知识与技能: 使学生了解归纳法, 理解数学归纳法的...

26.高考数学极限与数学归纳法怎么考(2011年高考二轮复...

奥赛经典数学贡献于2011-04-12 0.0分 (0人评价)暂无用户评价 我要评价 ...高考数学极限与数学归纳法怎么考 高考数学极限与数学归纳法怎么考 极限与数学归纳...

专题导引(二) 函数 数列 数学归纳法 整数

数列与数学归纳法专题 11页 1财富值 2011年高考数学(大纲版)原... 11页 2...专题导引(二) 函数 数列 数学归纳法 整数 全国高中数学联赛竞赛材料专题导引(二...

高中数学竞赛基本知识集锦

高中数学竞赛教材---数... 16页 免费 2011高中数学竞赛培训教材 43页 免费 高中...种就够了。 (4)数学归纳法 (4)数学归纳法 简单说就是根据前几项的规律猜...

2011届高考数学复习好题精选 数学归纳法 理

数学 归纳法(理)题组一 证明等式问题 1.某个与正整数 n 有关的命题,如果当 n=k(k∈N*,k≥1)时,该命题成立,则一定可 推得当 n=k+1 时, 该命题也...

2011年全国高中数学联赛广东省预赛试题及详细参考答案

2011年全国高中数学联赛广东省预赛试题及详细参考答案_学科竞赛_高中教育_教育专区...9 10 a3 = 1, a4 = 证法 2: 证明:用归纳法证明加强命题:an ≥ 1° ...

2011年数学竞赛模拟训练试题(1)详细解答

2011数学竞赛模拟训练试题(1)详细解答是教师很好的辅导资料,是学生很好的训练材料...a1 = 2 ① n = 1 时显然成立; 1 1 ,下用数学归纳法证明 an ∈ (0,...

2011年全国高中数学联赛模拟题冲刺(6)

第6页 2011 年全国高中数学联赛模拟题冲刺 6 参考答案一试 1 1 1 1 ? x...下面我们用数学归纳法证明: (1) ?ni ? 满足 ni ?1 ? ni ? ni ?1 ;(...

2011年高考一轮数学复习 x2-1数学归纳法及其应用 理 同...

2011年高考一轮数学复习 x2-1数学归纳法及其应用 理 同步练习(名师解析)。2011年高考一轮数学复习 x2-1数学归纳法及其应用 理 同步练习(名师解析) ...

2011年数学竞赛模拟训练试题(6)详细解答

2011数学竞赛模拟训练试题(6)详细解答是教师很好的辅导资料,是学生很好的训练材料...1 所以 1 p2 = 由数学归纳法可以证明: n . yn 1 + p 2 3 1 p p2...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com