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2016届高考数学大一轮复习 第2章 第8节 函数与方程课时提升练 文 新人教版


课时提升练(十一)
一、选择题
? ?2 -1,x≤1, 1.已知函数 f(x)=? ?1+log2x,x>1, ?
x

函数与方程

则函数 f(x)的零点为(

)

1 A. ,0 2

B.-2,0

1 C. 2<

br />x

D.0

【解析】 当 x≤1 时,由 f(x)=2 -1=0,解得 x=0;当 x>1 时,由 f(x)=1+log2x 1 =0,得 x= , 2 又∵x>1,∴此时方程无解,故原函数的零点只有 0. 【答案】 D 2.若函数 f(x)=x +mx+1 有两个零点,则实数 m 的取值范围是 ( A.(-1,1) C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
2 2

)

B.(-2,2) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

【解析】 依题意,Δ =m -4>0,∴m>2 或 m<-2. 【答案】 C 3. 为了求函数 f(x)=2 -x 的一个零点, 某同学用计算器, 得到自变量 x 和函数值 f(x) 的部分对应值(精确到 0.01)如下表所示:
x
2

x f(x)

0.6 1.16

1.0 1.00

1.4 0.68

1.8 0.24 )

2.2 -0.24

2.6 -0.70

3.0 -1.00

则函数 f(x)的一个零点所在的区间是( A.(0.6,1.0) C.(1.8,2.2)

B.(1.4,1.8) D.(2.6,3.0)

【解析】 由题表可知,f(1.8)>0,f(2.2)<0,故选 C. 【答案】 C

? 1? ?1? 3 4.设 f(x)=x +bx+c 是[-1,1]上的增函数,且 f?- ?·f? ?<0,则方程 f(x)=0 在 ? 2? ?2?
[-1,1]内( ) B.可能有 2 个实数根 D.没有实数根 A.可能有 3 个实数根 C.有唯一的实数根

? 1? ?1? ? 1 1? 【解析】 ∵f(x)在[-1,1]上是增函数,且 f?- ?·f? ?<0,∴f(x)在?- , ?上有 ? 2? ?2? ? 2 2?
唯一零点,故方程 f(x)=0 在[-1,1]上有唯一实数根.

1

【答案】 C 5.若 f(x)是奇函数,且 x0 是 y=f(x)+e 的一个零点,则-x0 一定是下列哪个函数的 零点( )
x x

A.y=f(-x)e -1 C.y=e f(x)-1
x

B.y=f(x)e +1 D.y=e f(x)+1
x

-x

【解析】 由已知可得 f(x0)=-ex0,则 e-x0f(x0)=-1,又∵f(x0)=-f(-x0),∴ e-x0f(-x0)=1,故-x0 一定是 y=e f(x)-1 的零点. 【答案】 C 6.下列函数中,在(-1,1)内有零点且单调递增的是( A.y=log2x C.y=x -2
2

x

)

B.y=2 -1 D.y=-x
2 3

x

【解析】 y=log2x 的零点是 1,y=x -2 的零点为± 2,都不在(-1,1)内,y=-

x3 的零点是 0,在(-1,1)内,但其为减函数,只有 y=2x-1 符合要求.
【答案】 B 1,x>0, ? ? 7.已知符号函数 sgn(x)=?0,x=0, ? ?-1,x<0, 数为( A.1 C.3 ) B.2 D.4

则函数 f(x)=sgn(ln x)-ln x 的零点个

【解析】 令 f(x)=0,则 sgn(ln x)=ln x, 1,x>1, ? ? sgn(ln x)=?0,x=1, ? ?-1,0<x<1, 分别作出 y=sgn(ln x)与 y=ln x 的图象,由图象可知,它们有三个交点,故函数 f(x) =sgn(ln x)-ln x 有三个零点.故选 C.

【答案】 C 8.(2015·临沂模拟)已知函数 f(x)=a +x-b 的零点 x0∈(n,n+1)(n∈Z),其中常 数 a,b 满足 2 =3,3 =2,则 n 的值是( A.-2
a b x

)

B.-1
2

C.0

D.1

【解析】 由题意 a>1,0<b<1,∴f(x)为 R 上的增函数, 1 又 f(-1)= -1-b<0,f(0)=1-b>0,

a

∴f(-1)·f(0)<0, 因此 x0∈(-1,0),n=-1. 【答案】 B 2 -x ?x≤0?, ? ? 9. (2015·东城模拟)已知函数 f(x)=??1?x ? ? -log2x?x>0?, ? ??3? 点,且 0<t<x0,则 f(t)( A.恒小于 0 C.等于 0 ) B.恒大于 0 D.不大于 0
x
3

若 x0 是 y=f(x)的零

1 ?1?x 【解析】 当 x>0 时,f′(x)=-? ? ln 3- <0, xln 2 ?3? 所以函数 f(x)在(0,+∞)上递减,若函数存在零点 x0,即 f(x0)=0,则当 0<t<x0 时,

f(t)>f(x0)=0.
【答案】 B

?1?|x-1|+2cos π x(-2≤x≤4)的所有零点之和等于( 10.函数 f(x)=? ? ?2?
A.2 C.6 B.4 D.8

)

?1?|x-1|+2cos π x=0, 【解析】 由 f(x)=? ? ?2? ?1?|x-1|=-2cos π x, 得? ? ?2? ?1?|x-1|(-2≤x≤4), 令 g(x)=? ? ?2?
h(x)=-2cos π x(-2≤x≤4),

??1?x-1 1?|x-1| ??2? ,1≤x≤4, ? 又因为 g(x)=? ? =?? ? ?2? ? ?2x-1,-2≤x<1. ?1? |x - 1|( -2≤x≤4)和 h(x) =- 2cos π x( - 在同一坐标系中分别作出函数 g(x) = ? ? ?2?
2≤x≤4)的图象(如图),

3

?1?|x-1|关于 x=1 对称, 由图象可知,函数 g(x)=? ? ?2? ?1?|x-1|(- 又 x=1 也是函数 h(x)=-2cos π x(-2≤x≤4)的对称轴,所以函数 g(x)=? ? ?2?
2≤x≤4)和 h(x)=-2cos π x(-2≤x≤4)的交点也关于 x=1 对称,且两函数共有 6 个交 点,所以所有零点之和为 6. 【答案】 C 11.(2012·辽宁高考)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),且当 x

? 1 3? 3 ∈[0,1]时,f(x)=x .又函数 g(x)=|xcos(π x)|,则函数 h(x)=g(x)-f(x)在?- , ?上 ? 2 2?
的零点个数为( A.5 C.7 ) B.6 D.8
3

【解析】 根据题意,函数 y=f(x)是周期为 2 的偶函数且 0≤x≤1 时,f(x)=x ,则 当-1≤x≤0 时, f(x)=-x , 且 g(x)=|xcos(π x)|, 所以当 x=0 时, f(x)=g(x). 当 x≠0 1 3 2 时,若 0<x≤ ,则 x =xcos(π x),即 x =|cos π x|. 2
3

? 1 ? ?1 ? ? 3? 同理可以得到在区间?- ,0?,? ,1?,?1, ?上的关系式都是上式,在同一个坐标系 ? 2 ? ?2 ? ? 2?
中作出所得关系式等号两边函数的图象,如图所示,有 5 个根.所以总共有 6 个.

【答案】 B 12.(2013·安徽高考)已知函数 f(x)=x +ax +bx+c 有两个极值点 x1,x2,若 f(x1) =x1<x2,则关于 x 的方程 3(f(x)) +2af(x)+b=0 的不同实根个数为( A.3 C.5
2 2 3 2

)

B.4 D.6

【解析】 因为 f′(x)=3x +2ax+b,函数 f(x)的两个极值点为 x1,x2,则 f′(x1) =0, f′(x2)=0, 所以 x1, x2 是方程 3x +2ax+b=0 的两根, 所以解关于 x 的方程 3(f(x))
2 2

4

+2af(x)+b=0,得 f(x)=x1 或 f(x)=x2.由上述可知函数 f(x)在区间(-∞,x1),(x2,+ ∞)上单调递增,在区间(x1,x2)上单调递减,又 f(x1)=x1<x2,如图所示.

由数形结合可知 f(x)=x1 时有两个不同实根, f(x)=x2 有一个实根, 所以不同实根的个 数为 3. 【答案】 A 二、填空题
?x-2,x>0, ? 13.已知函数 f(x)=? 2 ? ?-x +bx+c,x≤0

满足 f(0)=1,且 f(0)+2f(-1)=0,那

么函数 g(x)=f(x)+x 的零点个数为________. 【解析】 ∵f(0)=1,∴c=1, 1 又∵f(0)+2f(-1)=0,∴f(-1)=-1-b+1=- , 2 1 3 ∴b= .∴当 x>0 时, g(x)=2x-2=0 有唯一解 x=1; 当 x≤0 时, g(x)=-x2+ x+1, 2 2 1 令 g(x)=0 得 x=- 或 x=2(舍去), 2 综上可知,g(x)=f(x)+x 有 2 个零点. 【答案】 2 14.若函数 y=f(x)(x∈R) 满足 f(x+2)=f(x)且 x∈[-1,1]时,f(x)=1-x ;函数
2

g(x)=lg|x|,则函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象在区间[-5,5]内的交点个数共有________
个. 【解析】 函数 y=f(x)以 2 为周期,y=g(x)是偶函数,画出图象可知有 8 个交点.

【答案】 8
? ?2 -1,x>0, 15.已知函数 f(x)=? 2 ?-x -2x,x≤0, ?
x

若函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点,则实数

m 的取值范围是________.

5

【解析】

?2 -1,x>0, ? 画出 f(x)=? 2 ?-x -2x,x≤0 ?

x

的图象,如图.

由函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点, 结合图象得:0<m<1,即 m∈(0,1). 【答案】 (0,1)
?|x +5x+4|,x≤0, ? 16. (2014·天津高考)已知函数 f(x)=? ?2|x-2|,x>0. ?
2

若函数 y=f(x)-a|x|

恰有 4 个零点,则实数 a 的取值范围为________. 【解析】 画出函数 f(x)的图象如图所示.

函数 y=f(x)-a|x|有 4 个零点, 即函数 y1=a|x|的图象与函数 f(x)的图象有 4 个交点 (根据图象知需 a>0). 当 a=2 时,函数 f(x)的图象与函数 y1=a|x|的图象有 3 个交点.故 a<2. 当 y1=a|x|(x≤0)与 y=|x +5x+4|相切时, 在整个定义域内, f(x)的图象与 y1=a|x| 的图象有 5 个交点, 此时,由?
?y=-ax, ? ? ?y=-x -5x-4
2 2 2

得 x +(5-a)x+4=0.

2

由 Δ =0 得(5-a) -16=0,解得 a=1,或 a=9(舍去), 则当 1<a<2 时,两个函数图象有 4 个交点. 故实数 a 的取值范围是 1<a<2. 【答案】 1<a<2

6


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