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双曲线简单几何性质


金昌市第二中学 尉志国

学习目标
1.小组合作探究焦点在x轴上的双曲 线的范围、对称性、顶点

2.认识双曲线的渐近线与双曲线的 位置关系
3.会求双曲线的顶点、实轴长、虚 轴长、离心率和渐近线

复习旧知

1.双曲线的标准方程 2.双曲线方程中a,b,c之间的关系 3.焦

点在x轴上的椭圆的简单几何性质

探究新知
双曲线的简单几何性质
x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
y (-x,y) -a o a (x,y)

1.范围

直线x ? ?a的外侧 即x ? ?a或x ? a
(-x,-y)

x

(x,-y)

2.对称性

关于x轴、y轴和原点都对称. x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心, 又叫做双曲线的中心.

探究新知
3.顶点
(1)双曲线与对称轴的交点,叫做双曲线的顶点
y

顶点 A1 ( ?a , 0)、A2 (a, 0)
如图,线段 A1A2 叫做双曲线 (2) 的实轴,它的长为2a,a叫做 半实轴长;线段 B1B2 叫做双 曲线的虚轴,它的长为2b,b 叫做双曲线的半虚轴长.
b

B2
o aA 2 x

A1 -a

-b B 1

探究新知
4.渐近线
x y ⑴双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) a b b 的渐近线为 y ? ? x a
2 2

y

B2 b

A1
o

A2
a
x

(2)渐近线是双曲线特有的几何 性质,它决定着双曲线的开口 大小
b y? x a

B1

b y?? x a

探究新知
5.离心率
(1)定义:双曲线的焦距与实轴长的比 c e ? ,叫做双曲线的离心率. a (2) e 的范围: e >1
(3)离心率的几何特征:
c e? ? a a ?b a2
2 2

y
b

?

?b? 1?? ? ?a?

2

o

a

x

e反映了双曲线开口大小 e越大 ,双曲线开口越大 e越小 ,双曲线开口越小

探究新知
等轴双曲线
1.定义:实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.

如:x 2 ? y 2 ? a 2
2.性质:

(1)等轴双曲线的渐 近线为y? ?x, 且互相垂直。
(2)等轴双曲线的离心率e=

2

例题分析
例. 求双曲线 9 x 2 ? 16 y 2 ? 144 的半实轴长和半虚

轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程. x2 y2 ? ?1 解:把方程化为标准方程 16 9 可得半实轴长a=4,半虚轴长b=3
焦点坐标为( -5 , 0 )、( 5 , 0 ) 3 c 5 离心率 e ? ? 渐近线的方程 y ? ? x 4 a 4

课堂检测
x2 y2 1.双曲线 ? ? 1的实轴和虚轴长分别是 ( 16 8 A. 8,4 2 B. 8,2 2 C. 4,4 2 D. 4,2 2
)

2.双曲线x 2 ? y 2 ? 4的顶点坐标是
A. (0,?1) B. (0,?2)

(

)

C. (?1,0) D. (?2,0)

x2 y2 ) 3.双曲线 ? ? 1的离心率为 ( 4 8 A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 4.双曲线x 2 ? 4 y 2 ? 1的渐近线方程是 ________

5.焦点在x轴上, 经过点A(3, 1), 并且对称轴为坐标轴 ? 的等轴双曲线方程是 _________

课堂小结
y 图像 o x

方程
对称性 范围 顶点坐标 离心率 渐近线方程 关于x 轴y 轴、原点对称

x ? a 或 x ? ?a
(-a,0) ,(a,0) c e ? ?1 a b y?? x a

作业布置
1.习题2.3 A组第3,4题 B组第1题

2.结合双曲线图像熟记焦点在x轴上的双曲线的简 单几何性质;类比得出焦点在y轴上的双曲线的 简单几何性质。

高考链接:
x 1.双曲线 ? y ? 1的顶点到其渐近线的距 离为 _____ . 4
2 2

x y 5 2.双曲线 ? ? 1的离心率为 ,则 m等于 _______ . 16 m 4
2 2


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