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面积法求三角形的五心的向量表示的统一形式


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数 学 通 讯 —— 2 0 1 0年 第 3期 ( 上半月)  

?专论 荟 萃 ?  

面积 法求 三 角形 的五 心 的向量 表 示 的统 一形 式 
朱庆华  
( 江苏 省 大 丰 高 级 中学 , 2 2 4 1 0 0 )  

众所 周 知 : 0 为三 角形 的重心 的 充要 条件 是 
+  +  : 0.  

OC OEt a n  ̄E S△ ∞A   AE   OEt a n  E OA  
一   : —






t a n  ̄ EOC  t a n LE O A‘  


那么 其他 的 四 心是 否 也 具 有类 似 的形 式 呢 ?  

又 C F 上 A B, B E 上 

本文 就这个 问题来 探求一下 .  
引理  如果三 角形 A B C 中有一个点 0 满 足 

A C,故 O、 E、 A、 F 四 点 共 
圆, 所以   ∞ E 一  B AC.  

o E l+  

+  

一O , z , y , z∈R   , 则 

同理 
A0E 一 
s 


S△   B :S△^ 0 c :S△( D B= : z 。Y :z.  

BCA ,  
B  D  c 

证明   如图 1 ,  ̄v x T ,  
一 z  ,   一   ,  
一   ,

== :  

t a n ,  ̄B AC  

△ 脒

 

面  ’  
BAC 

图2  

则 

+ 

+ 

t a n   同理 ,   S a a a c一 


所 以 
C  

’  
t a nC :t a n B :t a n A.  



O , 故 0点 为 △A 。 B。 C 。 的 
S△A l O B 】= Sa A 1 ∞


重心 , 可 以很容 易得到 
】  

S△A O B :S△ 胧

:Sa∞8  

图 1  

容 易知道 , 存 在 z, Y , z∈ R + , 使得 
+ y   +2   一 O .  

s △ c l ∞   = ÷ s △ ^ 】  .  
IO A
?

结合 引理知 :  
t a nC :t a n B :t a n A — S△^ D B :S△^ 0 c:S△∞日  

又 
s△ 枷


OB ?s i n / AOB 

: = = z :  

:  

’  

SAA I OB I  

I OA

于是有 :  
1?OB  ?s i n   A1 O B。  
t a n A .   + t a nB .   + t a n C.   一 0.  

结论 2   已知 O为三角形 AB C 的外心 , 则有 
一   一   ’  

s i n 2 A .  

+ s i n2 B .  

+ s i n 2 c.  

一 o.  

所以 s △ 枷 一  s △ ^ l O B , 。  
Z V 

证 明  S △ 枷
1  


: S△ ^ 0 c  

同理 :  
s△觚 一  s△A l ∞ , s△ 胱 一  s  ∞ .  

( ÷O A? ( ) Bs i n  A OB):  
1  

( ÷0 A?   s i n  A O C)  
厶 

因此 ,  
s△ 帅B:S厶^ O c :S△ ∞B  


一 s i n   A0B :s i n   A0C.  

又   A[ ) B一 2   AC B,   A0C = 2   ABC ,  

(   2 S△ A  
- -

v V 

i SAA ):( 1  
z  Z z

所以  
‘  

):(   s△  ∞ )  
yz

S△删 j :S△
. 

: s i n2   ACB :s i n 2 / ABC ;  



=_ 0 =
z 

1  

1  

0一  
Z 

1  

z  0  Y 0  

.  

同理 :  
S△A O I ? ,:S△肼 S△   :S△ 脯 一 s i n 2   ACB :s i n 2   B AC ,   一 s i n2   CAB  s i n 2   ABC ,  

zZ 

结论 1   已知 0为锐角 三角形 AB C 的垂 心 ,   则有 t a n A.   +t a n B.   +t a n C.   一0 ,  

贝 0   S △ ^ o  : S △ 槲 : S △ ∞ B  
s i n2 C :s i n2B :s i n 2 A.  

证 明  如 图 2 ,  

?

专论荟萃 ?  

数 学 通 讯 —— 2 O l 0年 第 3期 ( 上 半 月)  

4 1  

容易知道 , 存在  ,  ,   ∈R   , 使z   +y o - - g  



AB :AC.  

+z o - d一 0 - .  
结合 引理知 :  
s i n 2C :s i n2 B 。s i n2 A 


同理 : S △ ^ 0 B: S △ 腻 一A B: B C,  
S△   :S△Ⅸ 】 ( == AC :BC.  

故S △ 脚 : S △ 舰 : S △ ( D B= A B: A C: B C.  

S△ 舢

:S △ 
’  

:S△删  
+ 

容易知 道 , 存在 z , Y, z∈ R + , 使 
一 0 .  

+ 

: = : z ;Y ;  

故s i n 2 A.   +s i n 2 B? 茁 +s i n 2 C?   =0 .  
结论 3   已知 0 为三角形 AB C 的 内心 , 则 有 
BC .   + AC .   + AB .   一 0 .  

结 合 引理知 ,  
AB :AC :B C : = =S △ A D B :S △ 一 0 ( ::S △ 0 D B  
= = = z 。   3 2,  

证明   设r 为 AA B C 的 内切圆的半 径 , 则 
S△^ 0 B :S△A O C  
1  


故 B C.  

+A C.  

+A B.  

=0 .  

1  

( 寺 A B? , . ) : ( 寺A c。 r )  
- A d=   +# +q - A F—m+n   A -  ̄ 
P  m 

( 收 稿 日期 : 2 0 0 9 —1 1 —0 2 )  

( 上接 第 3 9页 )  
一  

+  

, 其中  ,  ∈ R , 则 
.  

±翌  
m 
— —

+  :  p n   +q m    +  2 q n

P +q   A - - g,  
P  

特 别地 , 当 m 一  一 P= 口时 , 就是 2 0 0 9 年安  徽 高考 文科 第 1 4 题.  

?

. . 

+  

+也
P 

 

师: 同学 们 这 节课 非 常 辛 苦 , 讨论 十分 热 烈 ,   每个 同学都 能积极 参与 , 思 维 活跃 , 由于你 们 的加  入, 才 使 我 们 的课 堂 彰 显 魅 力 , 更 由 于 你 们 的加  入, 才 使 我们 的 “ 环境 ”更 加优 美 , 一 句话 “ 世界 因 
你 而精彩” , 谢 谢大家 ! !   同学们报 以热烈 的掌声 .   从 上 面 的几 个 结论 中我 们 可 以看 出 , 平 面 内 



m+n   A - E+P +q A  ̄
p 

.  

又 
一  

= 

+ 
t 挖  

(   +  

) +   (   +牟
’   十 

P   t 口  

  )  



(   +阜 P

十 g 

)   +(   +—   L)   ,  
m  十 

任何 一个 向量 都可 以用平 面 内两 个不 共线 的向量 

. . . (   +毕
出 )  

P  t  q  

+三 ! 三 一 二 ±  )   +(  +  
+1 )   +( 出

+   线 性表 示 , 但基 向量 的选 取是 不 唯一 的 , 按 照 平面 
,  
向量基本 定理 , 只要两 个 向量不 共 线 , 都 可 以作为  平面 的一 组基 向量 , 因而 到底 如何 选取 基 向量 , 要  根据具 体问 题 而 定. 如结 论 1 、 2 、 3我们 是 以  ,   为平 面基 向量 的 , 结论 4 、 5我们 是 以   为基本原则 .  
实际 上对 本 题 的 推广 还 远 不 止这 些 , 还 可 以 

一(  
m  

+1 )  
+ 1 ,  

+ 


一 

,  



.  

+ 皆 一 皆 扎 
解 得 . 』 I  
…  
. 一

为平 面基 向量 的. 总之 , 基 向量 的选 取 以解 题方 便 

p   n   q ( m

 一 I   p   十q n   ’  
.  

+.   ’  

,  

将平 行 四边 形 改为 任 意 四边 形 , 得 到更 一 般 性 的 

结果 , 限于 篇 幅 , 就不 再 赘 述 了 , 有 兴 趣 的读 者 不 
妨试 一试.  

所 以  +  =  

于是有下 面 的结 论 5 .   结论 5   在平 行 四边形 AB C D 中, E是边 C D  

( 收 稿 日期 : 2 0 0 9 —1 1 —1 1 )  

上 的 点 , F 是 边 B c 上 的 点 , 且 器= : = 署 ,  一  ,  


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