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2014届高考数学(文科,江苏专版)大二轮专题复习第三篇 4数列、不等式


要点回扣

第三篇 4

4.数列、不等式

1 . 已 知 前 n 项 和 Sn = a1 + a2 + a3 + ? + an , 则 an = ? ?n=1? ?S1 本 ? . 讲 ? ?Sn-Sn-1 ?n≥2?
栏 目 开 关

由 Sn 求 an 时,易忽略 n=1 的情况.

[问题 1] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+1,则 an=
? n=1 ?2, ? ? ?2n-1, n≥2 ______________________.

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2.等差数列的有关概念及性质

第三篇 4

(1)等差数列的判断方法: 定义法 an+1-an=d(d 为常数)或 an+1 -an=an-an-1(n≥2).
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(2)等差数列的通项:an=a1+(n-1)d 或 an=am+(n-m)d. n?a1+an? n?n-1? (3)等差数列的前 n 项和:Sn= ,Sn=na1+ d. 2 2 (4)等差数列的性质 ①当公差 d≠0 时,等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d=dn +a1-d 是关于 n 的一次函数,且斜率为公差 d;前 n 项和 Sn n?n-1? d 2 d =na1+ d= n +(a1- )n 是关于 n 的二次函数且常数 2 2 2 项为 0.

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第三篇 4

②若公差 d>0,则为递增等差数列;若公差 d<0,则为递减等 差数列;若公差 d=0,则为常数列. ③当 m+n=p+q 时,则有 am+an=ap+aq,特别地,当 m+
本 n=2p 时,则有 a +a =2a . m n p 讲 栏 ④S ,S -S ,S -S 成等差数列. n 2n n 3n 2n 目 开 [问题 2] 已知等差数列{a }的前 n 项和为 S ,且 S =12, S20 n n 10 关

=17,则 S30 为 A.15 B.20 C.25 D.30

( A )

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第三篇 4

3.等比数列的有关概念及性质 an+1 (1)等比数列的判断方法:定义法 a =q(q 为常数),其中 n an+1 an q≠0,an≠0 或 a = (n≥2).如一个等比数列{an}共有 a n n-1 2n+1 项,奇数项之积为 100,偶数项之积为 120,则 an+1 5 = . 6 (2)等比数列的通项:an=a1qn-1 或 an=amqn-m. (3)等比数列的前 n 项和:当 q=1 时,Sn=na1;当 q≠1 a1?1-qn? a1-anq 时,Sn= = . 1-q 1- q

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第三篇 4

易错警示:由于等比数列前 n 项和公式有两种形式,为此在 求等比数列前 n 项和时,首先要判断公比 q 是否为 1,再由 q 的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比 q 是否为 1 时, 要对 q 分 q=1 和 q≠1 两种情形讨论求解.
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(4)等比中项:若 a,A,b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的 等比中项.值得注意的是,不是任何两数都有等比中项,只有 同号两数才存在等比中项,且有两个,即为 ± ab.如已知两个 正数 a,b(a≠b)的等差中项为 A,等比中项为 B,则 A 与 B 的大小关系为 A>B. (5)等比数列的性质 当 m+n=p+q 时,则有 am· an=ap· aq,特别地,当 m+n=2p 时,则有 am· an=a2 p.

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[问题 3]
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(1)在等比数列{an}中,a3+a8=124,a4a7=-512,

公比 q 是整数,则 a10=________. 512 (2)各项均为正数的等比数列{an}中,若 a5· a6=9,则 log3a1+ log3a2+?+log3a10=________. 10

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第三篇 4

4.数列求和的方法 (1)公式法:等差数列、等比数列求和公式; (2)分组求和法;
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(3)倒序相加法; (4)错位相减法; (5)裂项法. 1 ? 1 1 1 1 1? ?1 如: =n - ; =k?n-n+k? ?. n?n+1? n+1 n?n+k? ? ? 数列求和时要明确:项数、通项,并注意根据通项的特点 选取合适的方法.

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第三篇 4

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1 [问题 4] 数列{an}满足 an+an+1= (n∈N,n≥1),若 a2=1, 2 9 2 Sn 是{an}前 n 项和,则 S21 的值为________ .

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第三篇 4

5.在求不等式的解集、定义域及值域时,其结果一定要用集
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合或区间表示,不能直接用不等式表示. [问题 5] 不等式-3x2+5x-2>0

?2 ? ? ,1? ?3 ? . 的解集为________

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第三篇 4

6.不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数,必须讨论
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这个数的正负.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时 才能进行. [问题 6] 已知 a,b,c,d 为正实数,且 c>d,则“a>b”

充分不必要 条件. 是“ac>bd”的_____________

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第三篇 4

a+b 7.基本不等式: ≥ ab (a,b>0) 2 a2+b2 a+b 2 + (1)推广: ≥ ≥ ab≥ (a、b∈R ). 2 2 1 1 a+b
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(2)用法:已知 x,y 都是正数,则 ①若积 xy 是定值 p,则当 x=y 时,和 x+y 有最小值 2 p; 12 ②若和 x+y 是定值 s,则当 x=y 时,积 xy 有最大值 s . 4 易错警示:利用基本不等式求最值时,要注意验证“一正、 二定、三相等”的条件. [问题 7] 1 4 已知 a>0,b>0,a+b=1,则 y=a+b的最小值

是________ . 9

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第三篇 4

8.解线性规划问题,要注意边界的虚实;注意目标函数中 y 的系数的正负;注意最优整数解.
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[ 问题 8] 设定点 A(0,1) ,动点 P(x , y) 的坐标满足条件 2 ? ?x≥0, ? 则|PA|的最小值是________ . 2 ? ?y≤x,

易错警示

第三篇 4

易错点 1 忽视对等比数列中公比的分类讨论致误
本 例 1 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+S6=S9,则数列 讲 的公比 q 是________. 栏 目 开 错解 -1 关

找准失分点 当 q=1 时, 符合要求. 很多考生在做本题时都 想当然地认为 q≠1.

易错警示
正解 ①当 q=1 时,S3+S6=9a1,S9=9a1,
∴S3+S6=S9 成立.
本 讲 栏 目 开 关

第三篇 4

②当 q≠1 时,由 S3+S6=S9 a1?1-q3? a1?1-q6? a1?1-q9? 得 + = 1-q 1-q 1-q ∴q9-q6-q3+1=0,即(q3-1)(q6-1)=0. ∵q≠1,∴q3-1≠0,∴q6=1,∴q=-1.
答案 1 或-1

易错警示

第三篇 4

易错点 2 忽视分类讨论或讨论不当致误
例 2 若等差数列{an}的首项 a1=21,公差 d=-4,求:Sk= |a1|+|a2|+|a3|+?+|ak|.
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错解 由题意,知 an=21-4(n-1)=25-4n,
25 因此由 an≥0,解得 n≤ , 4 即数列{an}的前 6 项大于 0,从第 7 项开始,以后各项均小 于 0. |a1|+|a2|+|a3|+?+|ak| =(a1+a2+a3+?+a6)-(a7+a8+?+ak)

易错警示

第三篇 4

=2(a1+a2+?+a6)-(a1+a2+?+a6+a7+a8+?+ak) =2k2-23k+132 所以 Sk=2k2-23k+132.
本 讲 栏 目 开 关

找准失分点 忽视了 k≤6 的情况,只给出了 k≥7 的情况.
正解 由题意,知 an=21-4(n-1)=25-4n,因此由 an≥0, 25 解得 n≤ ,即数列{an}的前 6 项大于 0,从第 7 项开始,以后 4 各项均小于 0.

当 k≤6 时,Sk=|a1|+|a2|+?+|ak|=a1+a2+?+ak =-2k2+23k.

易错警示

第三篇 4

当 k≥7 时,|a1|+|a2|+|a3|+?+|ak| =(a1+a2+a3+?+a6)-(a7+a8+?+ak)
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=2(a1+a2+?+a6)-(a1+a2+?+a6+a7+a8+?+ak) =2k2-23k+132, 所以
2 ? - 2 k +23k ? Sk=? 2 ? ?2k -23k+132

?k≤6? . ?k≥7?

易错警示
例3

第三篇 4

易错点 3 忽视等比数列中的隐含条件致误
各项均为实数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S10 =10,S30=70,则 S40=________. 150

错解 150 或-200
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找准失分点 数列 S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30 的公比 q10>0.忽略了此隐含条件,就产生了增解-200.
正解 记 b1=S10, b2=S20-S10, b3=S30-S20, b4=S40-S30, b1,b2,b3,b4 是以公比为 r=q10>0 的等比数列. ∴b1+b2+b3=10+10r+10r2=S30=70, ∴r2+r-6=0,∴r=2 或 r=-3(舍去), 10?1-24? ∴S40=b1+b2+b3+b4= =150. 1-2

易错警示

第三篇 4

易错点 4 忽视基本不等式中等号成立的条件致误
例4
本 讲 栏 目 开 关
? 1?2 ? 1?2 已知:a>0,b>0,a+b=1,求?a+a? +?b+b? 的最小值. ? ? ? ?
? 1?2 ? 1?2 2 2 1 1 由?a+a? +?b+b? =a +b +a2+b2+4 ? ? ? ?

错解

2 ≥2ab+ab+4≥4

1 ab· ab+4=8, 8.

? 1?2 ? 1?2 得?a+a? +?b+b? 的最小值是 ? ? ? ?

找准失分点 两次利用基本不等式,等号不能同时取到.

易错警示
正解
2

第三篇 4

? 1?2 ? 1?2 ?a+ ? +?b+ ? a ? ? b? ?
2

?1 1? 1 1 2 2 =a +b +a2+b2+4=(a +b )+?a2+b2?+4 ? ? ??1 1? 2? ?? 2 2 =[(a+b) -2ab] +? a+b? -ab? ?+4 ? ?? ? 本 ? 1 ? 讲 1+a2b2?+4 栏 =(1-2ab)? ? ?

目 开 关



?a+b? ? ?2 1 ab≤? =4,得 ? ? 2 ?

1 1 1-2ab≥1-2=2,

1 1 且a2b2≥16,1+a2b2≥17. 1 25 1 ∴原式≥2×17+4= 2 (当且仅当 a=b=2时,等号成立), ? 1?2 ? 1? 2 25 ? ? ? ? a + b + ∴ a? +? b? 的最小值是 2 . ?

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第三篇 4

1.公差不为零的等差数列第 2,3,6 项构成等比数列,则公比为
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( C ) A.1 B. 2 C.3 D.4
解析 设公差为 d,由题意知:a2 3=a2a6,

即(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),解得 d=-2a1, a3 a1+2d 所以公比为a = =3,选 C. a + d 2 1

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第三篇 4

1 1 2.若a<b<0,则下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<b 中, 正确的不等式有 A.0 个
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( B ) C.2 个 D.3 个

B. 1 个

1 1 解析 由 < <0,得 a<0,b<0, a b 故 a+b<0 且 ab>0,所以 a+b<ab,即①正确;
?1? ?1? 1 1 由 < <0,得?a?>?b?, a b ? ? ? ?

两边同乘|ab|,得|b|>|a|,故②错误; 由①②知|b|>|a|,a<0,b<0,所以 a>b,即③错误,选 B.

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第三篇 4

3.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S10∶S5=1∶2,则 S15∶S5 等于 A.3∶4
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( A ) B.2∶3 C.1∶2 D.1∶3

解析 ∵{an}是等比数列,∴S5,S10-S5,S15-S10 也构成等 比数列, 记 S5=2k(k≠0),则 S10=k,可得 S10-S5=-k, 1 3 进而得 S15-S10=2k,于是 S15=2k, 3 故 S15∶S5=2k∶2k=3∶4.

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?x≥0, ? 4.已知实数 x,y 满足约束条件?y≤x, ?2x+y-9≤0, ? 的最大值等于
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第三篇 4

则 z=x+3y ( B )

A.9

B.12

C.27

D.36

解析 作出实数 x、y 满足的可行域,结合图形可知,
z x 当直线 y=3-3过点(3,3)时, 目标函数 z=x+3y 取得最大值 12.

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第三篇 4

5.已知等比数列{an}中 a2=1,其前三项的和 S3 的取值范围是 ( D ) A.(-∞,-1] C.[3,+∞)
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B.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1]∪[3,+∞)

解析 因为等比数列{an}中 a2=1,
所以
? 1? 1 ? ? 1 + q + S3=a1+a2+a3=a2 q?=1+q+q, ?

1 所以当 q>0 时,S3=1+q+ ≥1+2 q 当 q<0
? 1? 时,S3=1-?-q-q?≤1-2 ? ?

1 q·=3. q
? 1? ?- ?=-1. ?-q?· ? q?

所以 S3 的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞),故选 D.

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第三篇 4

6.设数列{an}满足 a1+2a2=3,且对任意的 n∈N*,点列{Pn(n, an)}恒满足 PnPn+1=(1,2),则数列{an}的前 n 项和 Sn 为( A ) ? ? 4? 3? A.n?n-3? B.n?n-4? ? ? ? ? ? ? 2? 1? C.n?n-3? D.n?n-2? ? ? ? ?
解析 设 Pn+1(n+1,an+1), 则 PnPn+1=(1,an+1-an)=(1,2), 即 an+1-an=2, 所以数列{an}是以 2 为公差的等差数列. 1 又 a1+2a2=3,所以 a1=-3, ? 4? 所以 Sn=n?n-3?,选 A. ? ?

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第三篇 4

7 . 已 知 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 上 的 区 域 D 由 不 等 式 组 ?0≤x≤ 2 ? ?y≤2 ? ?x≤ 2y
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给定.若 M(x,y)为 D 上的动点,点 A 的坐

→ → 标为( 2,1),则 z=OM· OA的最大值为________ . 4
解析 画出区域 D,如图中阴影部分所示, → → 而 z=OM· OA= 2x+y,

∴y=- 2x+z, 令 l0:y=- 2x, 将 l0 平移到过点( 2,2)时, 截距 z 有最大值,故 zmax= 2× 2+2=4.

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第三篇 4

8.已知 x>0, y>0 , x+ 2y+ 2xy= 8,则 x+ 2y 的最小值是

4 ________ .
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解析

依 题 意 得 (x + 1)(2y + 1) = 9 , (x + 1) + (2y +

1)≥2 ?x+1??2y+1?=6,x+2y≥4,

即 x+2y 的最小值是 4.

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第三篇 4

9.已知点 A(m,n)在直线 x+2y-1=0 上,则 2m+4n 的最小 2 2 . 值为________
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解析 点 A(m,n)在直线 x+2y-1=0 上,

则 m+2n=1;2m+4n=2m+22n≥2 2m· 22n =2 2m
+2n

=2 2.

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第三篇 4

10.已知 x>0,y>0,x、a、b、y 成等差数列,x、c、d、y 成 ?a+b?2 等比数列,则 cd 的最小值是________ . 4
解析 由 x、a、b、y 成等差数列知 a+b=x+y,
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由 x、c、d、y 成等比数列知 cd=xy, ?a+b?2 把①②代入 cd 得 ?a+b?2 ?x+y?2 x2+y2+2xy ≥4, cd = xy = xy ?a+b?2 ∴ cd 的最小值为 4.




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