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高三第一学期期末试题上海市闵行区2012届高三上学期期末质量抽测数学(理)试题


闵行区 2011 学年第一学期高三年级质量调研考试 数 学 试 卷(理科)
一. 填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸上相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.
2
[来源:学*科*网]

1.若 U ? { ? 3, ? 2, ? 1, 0,1, 2, 3} , A

? { x x ? 1 ? 0 , x ? Z } , B ? { x | ? 1 ? x ? 3, x ? Z } , 则 ? ?U A ? ? B ? 2.已知扇形的面积为
3? 16

. ,半径为 1,则该扇形的圆心角的弧度数是 .

3.已知 a、 b ? R ,命题“若 a ? b ? 2 ,则 a ? b ? 2 ”的否命题是
2 2

. .

4.若 ? 为第二象限角,且 s in ? ? ? ?
?

? ?

?? 4 ?

2 c o s 2? ? 0

,则 sin ? ? cos ? 的值为

5.椭圆

x t

2

? y

2

? 1 ( t ? 1) 上一焦点与短轴两端点形成的三角形的面积为 1, 则 t ?



b 6.设向量 a、 满足 a ? ( 2, 1) , b ? 2 5 ,且 b 与 a 的方向相反,则 b 的坐标为

? ?

?

?

?

?

?



7.已知直线 l : y ? kx ? 1 与两点 A ( ? 1, 5)、 B ( 4, ? 2 ) ,若直线 l 与线段 A B 相交,则 k 的取值 范围是 .
1 2
f ( k ? 1) ? f ( k ) ?

8 . 若 f (n) ? 1 ?

?

1 3

?? ?

1 3n ? 1

(n ? N ) , 则 对 于 k ? N
*

*



开始 输入 x



9. △ A B C 中, a ? b , 在 若 且

a

2

?

b

2

, ? C 的大小为 则


x ? y

ta n A

ta n B

y=2x+1
x? y ? 6

10.执行右图所示的程序框图, 若输入 x ? 2 ,则输出 y 的值为





11. 设等差数列 ? a n ? 的首项及公差均是正整数, n 项和为 S n , a 1 ? 1 , 前 且
a 4 ? 6 , S 3 ? 1 2 ,则 a 2 0 1 2 =

是 输出 y 结束



12. 若偶函数 y ? f ( x ) ( x ? R ) 满足 f (1 ? x ) ? f (1 ? x ) , 且当 x ? [ ? 1, 0 ]

C P M

B

N O

A

2 时, f ( x ) ? x ,则函数 g ( x ) ? f ( x ) ? lg x 的零点个数为

个.

13.如图,矩形 OABC 中,AB=1,OA=2 ,以 B 为圆心、BA 为半径在矩形内部作弧,点 P 是 弧上一动点, P M ? O A ,垂足为 M, P N ? O C ,垂足为 N,则四边形 OMPN 的周长的最 小值为 .

14.已知线段 AB 上有 10 个确定的点(包括端点 A 与 B). 现对这些点进行往返标数(从 A →B→A→B→?进行标数,遇到同方向点不够数时就“调头”往回数) 。如图:在点 A 上标 1, 称为点 1,然后从点 1 开始数到第二个数,标上 2,称为点 2,再从点 2 开始数到第三个数, 标上 3,称为点 3(标上数 n 的点称为点 n) ,??,这样一直继续下去,直到 1,2,3,?, 2012 都被标记到点上. 则点 2012 上 的所有标记的数中, 最小的是 .
A 1 6 2 5 3 4 B

二. 选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的 相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.抛物线 y ? 2 x 的准线方程是
2

[答]( . (C) x ? ?
x ?1



(A) x ? ?

1 2



(B) y ? ?

1 2

1 8



(D) y ? ?

1 8



16.若函数 y ? f ( x ) 的图像与函数 y ? 2 (A) lo g 2 x . (B) lo g 2 ( x ? 1) .

的图像关于 y ? x 对称,则 f ( x ) ? [答]( ) (D) lo g 2 ( x ? 1) .

(C) lo g 2 x ? 1 .

17 . 已 知 关 于 x、 y 的 二 元 一 次 线 性 方 程 组 的 增 广 矩 阵 为 ?
? ? a ? ( a , a ) ,b ? 1 2 ? (1b , 2 ) ?c b ,

? a1 ? a2

b1 b2

c1 ? ? ,记 c2 ?

1

( ,则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是 c 2,c )
? ? ? (B) a、b、c 两两平行. ? ? ? (D) a、b、c 方向都相同.

? ? ? ? (A) a ? b ? c ? 0 . ? ? (C) a / / b .

[答 ](



[来源:学|科|网]

18.设 x1 、 x 2 是关于 x 的方程 x ? m x ? m ? m ? 0 的两个不相等的实数根,那么过两点
2 2

A ( x1 , x1 ) , B ( x 2 , x 2 ) 的直线与圆 ? x ? 1 ? ? y
2 2
2

2

? 1 的位置关系是(


[来源:Zxxk.Com]

(A)相离.

(B) 相切.

(C)相交.

(D)随 m 的变化而变化.

三. 解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤. 19. ( 本 题 满 分 12 分 )
?? ? m ? n ? ( x1 x 2 , y 1 y 2 ) .
? ? ?? ? ? ?? ?? ? ( a * b ) ? e1 ? 1 ? ? 1. 若 a ? ( x , 1), b ? ( ? 1, x ), e1 ? (1, 0 ), e 2 ? (0, 1) .解不等式 ? ? ?? ( a * b ) ? e2 ? 1
? 对 于 m ? ( x1 , y1 ) , n ?? ? (x , y , 规 定向 量的“ * ”运 算 为: ) 2 2

[来源:学_科_网]

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 5 分,第(2)小题满分 9 分. 设双曲线 C :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ? a , b ? 0 ? , R1 , R 2 是它实轴的两个端点, I 是其虚轴的一个端

点.已知其一条渐近线的一个方向向量是 1, 3 , ? IR1 R 2 的面积是
??? ?

?

?

3 , O 为坐标原点,直

线 y ? kx ? m ? k , m ? R ? 与 双曲线 C 相交于 A 、 B 两点,且 O A ? O B . (1)求双曲线 C 的方程; (2)求点 P ? k , m ? 的轨迹方程,并指明是何种曲线.

??? ?

[来源:Z。xx。k.Com]

[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分.

某地政府为改善居民的住房条件,集中建设一批经适楼房.用了 1400 万元购买了一块空 地,规划建设 8 幢楼,要求每幢楼的面积和层数等都一致,已知该经适房每幢楼每层建筑面 积均为 250 平方米,第一层建筑费用是每平方米 3000 元,从第二层开始,每一层的建筑费用 比其下面一层每平方米增加 80 元. (1)若该经适楼房每幢楼共 x 层,总开发费用为 y ? f ( x ) 万元,求函数 y ? f ( x ) 的表达 式(总开发费用=总建筑费用+购地费用) ; (2)要使该批经适房的每平方米的平均开发费用最低,每幢楼应建多少层?

[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 5 分,第(3)小 题满分 7 分.
[来源:学科网]

将边长分别为 1、2、3、?、n、n+1、?( n ? N )的正方形叠放在一起,形成如图所
*

示的图形,由小到大,依次记各阴影部分所在的图形为第 1 个、第 2 个、??、第 n 个阴影 部 分 图 形 . 设 前 n 个 阴 影 部 分 图 形 的 面 积 的 平 均 值 为 f (n) . 记 数 列 ?an? 满 足
? f ( n ), 当 n 为 奇 数 ? a1 ? 1 , a n + 1 ? ? ? f ? a n ? , 当 n为 偶 数 ?

(1)求 f ( n ) 的表达式; (2)写出 a 2 , a 3 的值,并求数列 ? a n ? 的通项公式;
1 0 bn bn ?1 0 b n ? 2 ? 0 有解,求 s 的取值范围. bn ?1

(3)记 b n ? a n ? s ? s ? R ? ,若不等式 0
bn ?1

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题 ,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分. 记 函 数 f ( x ) 在 区 间 D 上 的 最 大 值 与 最 小 值 分 别 为 m ax ? f ( x ) | x ? D ? 与
m in ? f ( x ) | x ? D ? .
? ? x ? 2 b , x ? ?1, b ? ? ? b , x ? ( b , 3] ?

设函数 f ( x ) ? ?

, 1 ? b ? 3 . g ( x ) ? f ( x ) ? a x , x ? [1, 3] .

(1)若函数 g ( x ) 在 [1, 3] 上单调递减 ,求 a 的取值范围; (2)若 a ? R .令 h ( a ) ? m ax ? g ( x ) | x ? [1, 3]? ? m in ? g ( x ) | x ? [1, 3]? .
3) 记 d ( b ) ? m in ? h ( a ) | a ? R ? .试写出 h ( a ) 的表达式,并求 m in ? d ( b ) b ? (1, ? ;

I (3)令 k ( a ) ? m a x? g [ f ( x ) ] | x ? I? ? m i n g [ f (x ) ] | x? ? (其中 I 为 g [ f ( x )] 的定义 ?

域).若 I 恰好为 [1, 3] ,求 b 的取值范围,并求 min ?k ( a ) a ? R ? .

参考答案与评分标准
1. ? 2 , 3? ;2.
3? 8

;3.若 a ? b ? 2 , 则 a ? b ? 2 ;4. 1 ;5. 2 ;6. ( ? 4, ? 2 ) ;
2 2

2

7. ? ? ? , ? 4 ? ? ? ?
?

?

1 1 1 1 ? o ? ? , ? ? ? ;8. ;9. 9 0 ;10.23;11.(文) 、 3k 3k ? 1 3k ? 2 2 4 ?

3

(理) 4 024;12.10;13. (理) 6 ? 2 2 ;14. (理)3. 二. 选择题 15. D ;16.C;17.B;18. (理)D 三.
? ? ?? ( a * b ) ? e1 ? 1 ( ? x , x ) ? (1, 0 ) ? 1 ? x ? 1 ? ? ? ?1 解: ? ? ?? x ?1 ( a * b ) ? e 2 ? 1 ( ? x , x ) ? (0 ,1) ? 1
? ?x ?1 x ?1 ?1 ? 0 ? 2x x ?1 ? 0 ? ?1 ? x ? 0 .

解答题 19.(本题满分 12 分)

(6 分) (12 分)

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. 解: (1) (理)由题意,双曲线的渐近线方程为 y ? ? 3 x ,则有 b ? 又 ? IR1 R 2 的面积是 3 ,故 所以双曲线 C 的方程为 x ?
2

3a , c ? 2 a

1 2

? 2a ?b ?
2

3 ,得 a ? 1, b ?

3 , c ? 2 (3 分)

y

?1.

(6 分)

3

(2)设 A ? x 1 , y 1 ?, B ? x 2 , y 2 ? ,直线 AB : y ? kx ? m 与双曲线 x ?
2

y

2

? 1 联立消去 y ,

3

得 (3 ? k ) x ? 2 km x ? m ? 3 ? 0 由题意 3 ? k ? 0 ,
2 2 2

2

(2 分)

? 2 2 2 ? ? ? ? 2 km ? ? 4 ? 3 ? k ? ? ? m ? 3 ? ? 0 ? 2 km ? 且 ? x1 ? x 2 ? 2 3?k ? 2 ? ?m ? 3 x1 x 2 ? ? 2 3?k ?

(4 分)

又由 O A ? O B 知 x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 而 x1 x 2 ? y1 y 2 ? x1 x 2 ? ? kx1 ? m ? ? kx 2 ? m ? ? x1 x 2 ? k x1 x 2 ? km ( x1 ? x 2 ) ? m
2 2

??? ?

??? ?

所以

m ?3
2

k ?3
2

?k ?
2

m ?3
2 2

2 km 2 ? km ? ?m ? 0 2 k ?3 3?k

化简得 2 m 2 ? 3 k 2 ? 3 ① 由 ? ? 0 可得 k 2 ? m 2 ? 3 ② 由①②可得 2 m ? 3 k ? 3
2 2

(6 分) (8 分)

故点 P 的轨迹方程是 2 y ? 3 x ? 3 ( x ? ? 3 )
2 2

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. (1)由已知,每幢经适楼房最下面一层的总建筑费用为: 3 0 0 0 ? 2 5 0 ? 7 5 0 0 0 0 (元) ? 7 5 (万元) , 从第二层开始,每幢每层的建筑总费用比其下面一层多: 8 0 ? 2 5 0 ? 2 0 0 0 0 (元) ? 2 (万元) , 每幢经适楼房从下到上各层的总建筑费用构成以 75 为首项,2 为公差的等差数列,2 分 所以函数表达式为:
y ? f ( x ) ? 8[7 5 x ? x ( x ? 1) 2 ? 2] ? 1400 ? 8 x ? 592 x ? 1400 ( x ? N )
2 *

[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

; (6 分)

(2)由(1)知经适楼房每平方米平均开发费用为:
g ( x )? f ( x) 8? 2 5x 0 ? 1 0 0 0 0 ? 4 0x? (
2

7? x 4 x

1 7 5 )

(10 分) (元) (12 分)

175 ? ? ? 40 ? x ? ? 74 ? ≥ 40 2 175 ? 74 ? 4018 x ? ?

?

?

当且仅当 x ?

175 x

,即 x ? 1 3 .2 时等号成立,
? ? 175 ? ? 74 ? ? 4018 13 ?

但由于 x ? N ,验算:当 x ? 1 3 时, g ( x ) ? 4 0 ? 1 3 ?
*

,当 x ? 1 4 时,

175 ? ? g ( x) ? 40 ?14 ? ? 74 ? ? 4020 14 ? ?



答:该经适楼建为 13 层时,每平方米平均开发费用最低. (14 分) 22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 5 分,第(3)小 题满分 7 分. 解: (理)解: (1)由题意,第 1 个阴影部分图形的面积为 2 ? 1 ,第 2 个阴影部分图形的面
2 2

积为 4 ? 3 ,??,第 n 个阴影部分图形的面积为 ? 2 n ? ? ( 2 n ? 1) .(2 分)
2 2
2 2

故 f (n) ?
?

?2

2

?1

2

? ? ?4

2

?3

2

? ? ?? 2 n ? ?
n

2

2 ? ( 2 n ? 1) ? ?

1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ( 2 n ? 1) ? 2 n n

? 2n ? 1

(4 分)

(2) a 1 ? 1 , a 2 ? f (1) ? 3 , a 3 ? f ( a 2 ) ? 2 ? 3 ? 1 ? 7 , 当 n 为偶数时, a n ? f ( n ? 1) ? 2 n ? 1 , (3 分)

当 n 为大于 1 的奇数时, a n ? f ( a n ? 1 ) ? 2 a n ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ( n ? 1) ? 1 ? ? 1 ? 4 n ? 5 ,
?1, 当 n ? 1 ? 故 a n ? ? 2 n ? 1, 当 n 为 偶 数 . ? ? 4 n ? 5, 当 n 为 大 于 1的 奇 数

(5 分)

?1 ? s , 当 n ? 1 ? (3)由(2)知 b n ? ? 2 n ? 1 ? s , 当 n 为 偶 数 . ? ? 4 n ? 5 ? s , 当 n 为 大 于 1的 奇 数 1 0 bn bn ?1 0 b n ? 2 ? 0 ? b n ? 1b n ? b n ? 1b n ? 2 ? b n ? 1 ( b n ? b n ? 2 ) ? 0 . bn ?1

又 0
bn ?1

(ⅰ)当 n=1 时,即 b 2 ( b1 ? b3 ) ? (3 ? s )( ? 6 ) ? 0 ,于是 3 ? s ? 0 ? s ? ? 3 (ⅱ)当 n 为偶数时, 即 ? 4 ( n ? 1) ? 5 ? s ? ?? ( 2 n ? 1 ? s ) ? ? 2 ( n ? 2 ) ? 1 ? s ? ? ? ? 4 n ? 1 ? s ? ( ? 4 ) ? 0 ? ? 于是 4 n ? 1 ? s ? 0 , s ? ? ? 4 n ? 2 ? m ax ? ? 6 . (ⅲ)当 n 为大于 1 的奇数时, 即 ? 2 ( n ? 1) ? 1 ? s ? ? ? ? 4 n ? 5 ? s ? ? ? 4 ( n ? 2 ) ? 5 ? s ? ? ? ? 2 n ? 1 ? s ? ? ? ? 8 ? ? 0 ? ? 于是 2 n ? 1 ? s ? 0 , s ? ( ? 2 n ? 1) m ax ? ? 7 . (5 分) (3 分 )

综上所述: s ? ? 3 . (7 分) 23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题 满分 8 分. 解: (理) (1) g ( x ) ? ? 分)
? ( a ? 1) x ? 2 b , x ? [1, b ] ? a x ? b , x ? ( b , 3]

, 分)由题意 ? (2

?a ? 1 ? 0 ?a ? 0

? a ? 0 (4

[来源:Zxxk.Com]

(2) g ( x ) ? ?

? ( a ? 1) x ? 2 b , x ? [1, b ] ? a x ? b , x ? ( b , 3]
b ?1 2

1)当 0 ? a ? g(b)=ab+b, 2) 当

时, m a x ? g (x ) | x ? [1, 3 ]= g(1)=a+2b-1, m in ? g ( x ) | x ? [1, 3]? = ?

此时, h ( a ) ? a ? b ? a b ? 1
b ?1 2 ? a ? 1 时, m a xg ?

x (

) x| ?

[?1 =g(3)=3a+b, m in ? g ( x ) | x ? [1, 3]? = , 3]

g(b)=ab+b,

此时, h ( a ) ? 3 a ? a b

b ?1 ? (1 ? b ) a ? b ? 1,0 ? a ? ? ? 2 故 h(a ) ? ? , b ?1 ? (3 ? b ) a , ? a ?1 ? ? 2

(2 分 )


d(

h(a )

在 [0,
m ?

b ?1 2

]

上 单 调 递 减 , 在 [
b ?1 (3 ? b )( b ? 1) | R )= , 2 2 1 2

b ?1 2

,1]

单 调 递 增 , 故

b? )

i h n ? (? =h( a a)

(4 分) (6 分)

故当 b ? 2 时,得 m a x ? d ( b ) | b ? ? 1, 3 ?? ?



(3)ⅰ)当 x ? ( b , 3] 时,f (x)=b, g [ f ( x )] ? a b ? b
? x ? [1, b ] ? ? x ? 2 b ? [1, b ]

ⅱ)当 ?

,即 x ? b 时, g [ f ( x )] ? a b ? b

ⅲ)当 ? ① 若

? x ? [1, b ] ? ? x ? 2 b ? ( b , 3]

时,即 ?

? x ? [1, b ] ? x ? [ 2 b ? 3, b )

(*)(3 分) ,

2b-3>1



b>2,

由 ( *

) 知

x?[

2? b

3 b, 但 此 时 , )

I ? [ 2 b ? 3, b ) ? ? b ? ? ( b , 3] ? [1, 3] ,所以 b>2 不合题意。

②若 2b-3 ? 1 即 b ? 2, 由(*)知 x ? [1, b ) , 此时 I ? [1, b ) ? ? b ? ? ( b , 3] ? [1, 3] 故 1 ? b ? 2 , (5 分) 且 g [ f ( x )] ? ?
? ? a x ? 2 a b ? b , x ? [1, b ] ? a b ? b , x ? ( b , 3]

于是,当 a ? 0 时, k ( a ) ? ( a b ? b ) ? ( 2 a b ? b ? a ) ? (1 ? b ) a 当 a ? 0 时, k ( a ) ? ( 2 a b ? b ? a ) ? ( a b ? b ) ? ( b ? 1) a
? (1 ? b ) a , a ? 0 ? ( b ? 1) a , a ? 0

即 k (a ) ? ?

(7 分)

从而可得当 a=0 时, m ax ? k ( a ) | a ? R ? =0.

(8 分)


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