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高中竞赛教程3.1.5 透镜成像


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§1.5、透镜成像 1.5、
1.5.1、透镜成像作图 1.5.1、
(1)三条特殊光线 ①通过光心的光线方向不变; ②平行主轴的光线,折射后过焦点;

S
F1

F2

S
③通过焦点的光线

,折射后平行主轴。 (2) 一般光线作图: 对于任一光线 SA, 过光心 O 作轴 OO’平行于 SA,OO′ 与焦平面
MM ′ 交于 P 点, 连接 AP 或 AP 的反向延长线

F1

F2

A S
O

P F

M O′ M′ M F2 M′
O′

即为 SA 的折射光线 *像与物的概念:发光物体上的每个发 光点可视为一个“物点”即“物” 。一个物点 上发出的光束,经一系列光学系统作用后,

M S F1 P O M′
图 1-5-1

若成为会聚光束,则会聚点为物的实像点;若成为发散光束,则其反向延长线交 点为物的虚像点;若为平行光束则不成像。

1.5.2、 1.5.2、薄透镜成像公式
薄透镜成像公式是: 1 1 1 + = u υ f 式中 f、u、v 的正负仍遵循“实正、虚负” 的法则。若令 x = u ? f , x ′ = υ ? f ,则有 xx ′ = f
2

x1 > 0 x 2 > 0

′ S2 S1
F1 S 2 O x′ > 0 2
图 1-5-2

F2
′ x1 > 0

S1′

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该式称为“牛顿公式” 。式中 x 是物到“物方焦点”的距离, x′ 是像到“像 方焦点”的距离。从物点到焦点,若顺着光路则 x 取正,反之取负值;从像点到 焦点,若逆着光路则 x′ 取正值,反之取负值,该式可直接运用成像作图来推导, 请读者自行推导,从而弄清 x, x ′ 的意义。下面用牛顿公式讨论一个问题。 一个光源以 v=0.2m/s 的速度沿着焦距 f=20cm 的凸透镜向光心运动,当它 经过距光心 u1 = 30cm 和 u 2 = 15cm 的两点时,求像所在的位置及速度。

x1 = u1 ? f = 10cm , x2 = u 2 ? f = ?5cm
代入牛顿公式得

′ ′ x1 = 40cm , x′ = ?80cm , υ1 = x1 + f = 60cm , υ 2 = x′ + f = ?60cm , 2 2 ′ ′ 上述 x1 、 x 2 、 x1 、 x 2 意义如图 1-5-2 所示。
设在△t 时间内,点光源的位移为△x,像点的位移为 ?x ′ ,有 x ′ + ?x ′ = f2 f 2 ( x + ?x) = 2 x ? ?x x ? ?x 2

当△t→0 时△x→0,略去△x 的二阶小量,有 x ′ + ?x ′ = f 2 f 2 ?x f 2 ?x + 2 = x′ + 2 x x x

?x ′ =

f 2 ? ?x x ′ = ? ?x x x2

?x ′ x ′ ?x x ′ υ′ = = ? = ?υ ?t x ?t x

n
P
(a )

n′

′ ′ ′ 将 x1 、x 2 、x1 、x 2 的值代入,求得 υ1 = 0.8m / s , ′ υ 2 = 3.2m / s 。像移动方向与移动方向相同。
*“实正、虚负”法则:凸透镜焦距取正值,凹透 镜焦距取负值;实像像距取正值,虚像像距取负值。

P′ O

O P0
(b)

P0′

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图 1-5-3

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实物物距取正值,虚物物距取负值。 *实物与虚物:发散的入射光束的顶点(不问是否有实际光束通过此顶点) 是实物;会聚的入射光束的顶点(永远没有实际光束通过该顶点)是虚物。假定

n′ > n ,P 为实物, P ′ 为虚像使所有光线都循原路沿相反方向进行,如将(a)
′ 反向为(b)图所示,则 P0 表示光线在未遇凸面镜之前是会聚的, P0 为虚物 P0 均
为实物。

1.5.3、组合透镜成像 1.5.3、
如果由焦距分别为 f1 和 f 2 的 A、 两片薄透镜构 B 成一个透镜组(共主轴)将一个点光源 S 放在主轴上 距透镜 u 处,在透镜另一侧距透镜 v 处成一像 S ′(图 1-5-4)所示。对这一成像结果,可以从以下两个不 同的角度来考虑。 因为 A、B 都是薄透镜,所以互相靠拢地放在一起仍可看成一个薄透镜。设 这个组合透镜的焦距是 f,则应有 1 1 1 + = u υ f
u 图 1-5-4 v

A B

S

S′



另一个考虑角度可认为 S ′ 是 S 经 A、B 两个透镜依次成像的结果。如 S 经 A 后成像 S1 ,设 S1 位于 A 右侧距 A 为 υ1 处,应有
1 1 1 + = u υ1 f1

② ,

因为 S1 位于透镜 B 右侧 υ1 处,对 B 为一虚物,物距为 υ1 ,再经 B 成像 所以
1 1 1 + = u υ1 f1



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由②、③可解得
1 ? υ1 + 1 = 1 f2

υ



比较①、④两式可知
1 1 1 1 + = + u υ f1 f 2

如果 A、B 中有凹透镜,只要取负的 f1 或 f 2 代入即可。

1.5.4、光学仪器的放大率 1.5.4、
实像光学仪器的放大率 幻灯下、照相机都是常见的实像光学仪器。由于

此类仪器获得的是物体的实像, 因而放大率 m 一般是指所有成实像的长度放大率, 即 v=mu。 如果有一幻灯机,当幻灯片与银幕相距 2.5m 时,可在银幕上得到放大率为 24 的像;若想得到放大率为 40 的像,那么,假设幻灯片不动,镜头和银幕应分 别移动多少? 根据第一次放映可知

?u1 + υ1 = 2.5 ? ? ?υ1 = m1u1 = 24u1 ?
可解得

u1 = 0.1m , υ1 = 2.4m
f = u1υ1 = 0.096m u1 + υ1

第二次放映 1 1 ?1 + = ?u ? 2 υ2 f ? ? ?υ 2 = m2 u 2 = 40u 2 ?

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可解得

u 2 = 0.0984m , υ 2 = 3.94m

比较 u1 和 u 2 ,可知镜头缩回 1.6mm;比较 υ1 和 υ 2 ,可知银幕应移远 1.54m。 虚像光学仪器的放大率 望远镜和显微镜是常见的虚像光学仪器。由于此

类仪器得到的是物体的虚像,目的是扩大观察的视角,因此放大率 m 一般是指视 角放大率。如果直接观察物体的视角为α,用仪器观察物体的视角为β,那么

m=β/α
先看显微镜的放大率。如果
L


A
B2 有一台显微镜,物镜焦距为 f1 ,目



F1

B1
β

F2 O2

B
镜焦距为 f 2 ,镜筒长 L,若最后的 像成在离目镜 d 处, 试证明显微镜
m= Ld f1 f 2 。

O1 A1

的放大率

显微镜的光路如图 1-5-5 所 示 , AB 经 物 镜 Ⅰ 成 一 放 大 实 像

A2

d 图 1-5-5

A1 B1 ,物镜的长度放大率
m1 = A1 B1 B1O1 = AB BO1

因 f1 、 f 2 相对 L 都较小,而且 B 很靠近 F1 ,所以

B1O1 ≈ L , BO1 ≈ f


m1 ≈ L / f1 A1 B1 位于目镜Ⅱ的焦点内,经目镜成一放大的虚像 A2 B2 (通常让 A2 B2 成在观 Ⅱ

察者的明视距离 d 上) 。因为都是近轴光线,所以此时观察者从目镜中看到 A2 B2 的视角β为

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β = tan β =

A2 B2 AB AB = 1 1 = 1 1 d B1O2 f2

若观察者不用显微镜,直接观看 AB 的视角α为

α = tan α =
则显微镜的放大率 m

AB d

m=

Ld β A1 B1 d ≈ × ≈ α f2 AB f1 f 2

不难看出目镜的长度放大率为

m2 = d / f 2
所以有

m = m1 m2

下面再看天文望远镜的放大率,如果天文

A
望远镜的物镜焦距为 f1 ,目镜焦距为 f 2 ,试证 明天文望远镜的放大率 m = f1 / f 2 。 望远镜成像光路如图 1-5-6 所示,远处物 体 AB 由物镜Ⅰ成像 A1 B1 ,然后再由目镜Ⅱ在远 Ⅰ Ⅱ 处成一虚像 A2 B2 (图中未画出) ,观察者观察





B O1
A1
s f1 图 1-5-6

α

B1

β

O2

f2

A2 B2 的视角即为图中的β, β = A1 B1 / f 2 。若不用望远镜,观察者直接观察距望
远镜 S 远处的物体 AB 的视角,近似为图中的α

α ≈ AB / S = A1 B1 / f 2
因此望远镜的放大率 m 为

m=

f f β A1 B1 = × 1 = 1 α f2 A1 B1 f2

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1.5.5、常见的光学仪器 1.5.5、


聚 光画 镜片

A B 相放大机以及绘图用的投影仪等,都 C
属于投影仪器,它的主要部分是一个 会聚的投影镜头,将画片成放大的实 像于屏幕上,如图 1-5-7。由于物距 u 略大于焦距 f,画片总在物方焦平面 附近,像距υ?f,放大率 m = υ / f , 它与像距 v 成正比。

投影仪器 电影机、幻灯机、印



P Q C′ R
u≈f

B′

投影镜头

R′


Q

A′
v

P′

图 1-5-7

A M L P
图 1-5-8

A M P
图 1-5-9

P′

一光学系统如图 1-5-8 所示,A 为物平面,垂直于光轴,L 为会聚透镜,M 与光轴成 45°角的平面镜。P 为像面,垂直于经平面镜反射后的光轴。设物为 A 面上的一个“上”字,试在图 1-5-9 中实像面 P 上画出像的形状。 眼睛 眼睛是一个相当复杂的天然光学仪器。 从结构上看, 类似于照像机,

图 1-5-10 为眼球在水平方向的剖面图。其中布满视觉神经的网膜,相当于照像 机中的感光底片,虹膜相当于照像机中的可变光阑,它中间的圆孔称为瞳孔。眼 球中的晶状体是一个折射率不均匀的 透镜,包在眼球外面的坚韧的膜,最前 面的透明部分称为角膜, 其余部分为巩 膜。角膜与晶状体之间的部分称为前 房,其中充满水状液。晶状体与网膜之 间眼球的内腔,称为后房,其中充满玻 璃状液。所以,眼睛是一个物、像方介质折射率不等的例子。聚焦光无穷远时,

H H′
角膜 虹膜 瞳孔 前房水状液 后房玻璃状液 晶状体 黄斑

巩膜 网膜

F

H H’

N′

F
盲点 视 神 经

图 1-5-10

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物焦距 f=17.1mm,像方焦距 f=22.8。眼睛是通过改变晶状体的曲率(焦距)来 调节聚焦的距离。 眼睛肌肉完全松弛和最紧张时所能清楚看到的点,分别称为它调节范围的 远点和近点。正常眼睛的远点在无穷远。近视眼的眼球过长,无穷远的物体成像 在网膜之前,它的远点在有限远的位置。远视眼的眼球过短,无穷远的物体成像 在网膜之后(虚物点) 。矫正近视眼和远视的眼镜应分 别是凹透镜和凸透镜。所谓散光,是由于眼球在不同 方向的平面内曲率不同引起的,它需要非球面透镜来 矫正。 视角、 视角放大 物体的两端对人眼光心所张的 视角、 角度叫做视角, 视角的大小跟物体的尺寸及物体到人眼的距离有关。 当两物点 (或
?4 同一物体上的两点)对人眼视角大小 I ′ (约 2.9 × 10 md )时,才能被人眼区分。

A′ B′ A F? E BO

F

图 1-5-11

在看小物体时,为了增大视角就要缩短物眼间距离,但当其小于人眼近点 距离时, 视网膜上所成的像反而模糊不清。 为此, 必须使用光学仪器来增大视角。 图 1-5-11 是人眼(E)通过放大镜观察物体 AB 的像 A′B ′ ,当人眼靠近光心 时视角。

? ′ = ∠A′OB ′ =

A′B ′ AB = B ′O BO

A B
图 1-5-12

若物体很靠近焦点,且成像于明视距离,则:

?

E

B ′O = 25cm , BO ≈ f

?′ =

A′B ′ AB = B ′O f

若不用放大镜将物体置于明视距离,如图 1-5-12,BE=25cm,则视角:

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? = ∠AEB =

AB 25cm

把用光学仪器观察虚像所得视角 ? ′′ 与将物体放在虚像位置上直接观察的视

角φ的比值叫做光学仪器的视角放大率。用β表示视角放大率,即有
AB f 25cm = β= AB f 25cm 。 对于放大镜,有

β=

? ′′ ?

被观察 显微镜 图 1-5-13 是显微镜成像原理图。 物体 AB 置于物镜 L1 焦点外很靠近焦点处, u1 ≈ f1 ) ( , 成 放 大 实 像 A ′ B ′ 于 目 镜 L2 焦 点 内 靠 近 焦 点 处 ( u2 ≈ f ) ,眼睛靠近目镜 L2 的光心可观察到位于明视 距离的虚像 A′′B ′′ 显微镜的物镜视角放大率 A′B ′ AB f ? ′′ L β= 1 = L = 1 = AB AB ?1 f1 L L

B′ L

?
?′

L2 A′

B′′

L1 A B
图 1-5-13

A′′

? 1 未在图中画出。目镜放大率:
A′B ′ A′′B ′′ f2 ? ′′ 25cm = β 2 = 2 = 25 = A′B ′ A′B ′ ?2 f2 25 25cm

? 2 未在图中画出。显微镜的视角放大率:
β = β1 ? β 2 =
25 L f1 ? f 2

式中 L 是镜筒长度。由于 f 2 ?L,因此在计算放大率时用 L 代表物镜像距。 通常显微镜焦距 f1 很小,多为 mm 数量级,明镜焦距稍长,但一般也在 2cm 以内。
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望远镜 望远镜用于观察大而远的物体,如图 1-5-14,图 1-5-15 分别表示 开 普 勒 望 远镜 和 伽利略 望 远镜的光路图。

B′′ A
?

B′
F1 F2 ? ′

两种望远镜都是用焦 B 距较长的凸透镜做物镜。远 处 物 体 从 同点 发 出的光 线 可近似为平行光,因此将在
图 1-5-14

A′ A′′

B′′
物 镜 的 焦 平面 上 成一实 像
A ′B ′ 。 开普勒望远镜的目镜

B′
?′

A
?

B

F1 F2 A′

也是凸透镜,其焦距较短, 物 方 焦 平 面和 物 镜的像 方 焦平面几乎重合。结果,以

A′′

图 1-5-15

A′B ′ 为物,在无穷远处得到虚像 A′′B ′′ 。而伽利略望远镜的目镜则是凹透镜,当

它的物方焦平面(在右侧)与物镜的像方焦平面重合时,实像 A′B ′ 却成了虚物, 经凹透镜折射成像 A′′B ′′ 于无穷远处。 由图中看出伽利略望远镜观察到的像是正立的,可用于观察地面物体,而 开普勒望远镜观察到的像是倒立的,只适合作为天文望远镜。从图中的几何关系 还可看出两种望远镜的视角放大率均为:

β=

f1 f2

还有一类望远镜的物镜是凹面镜,称为反射式望远镜。大型的天文望远镜 都是反射式望远镜。 例题
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例 1、如图 1-5-16。AB 为一线状物体, A1 B1 为此物经透镜所成的像。试用 作图法确定此镜的位置和焦距,写出作图步骤。 分析: 分析: 像 A1 B1 是倒像,所以透镜 应是凸透镜。物 AB 和像 A1 B1 不平行, 所以物相对于透镜的主轴是斜放的,沿 物体 AB 和其像 A1 B1 所引出的延长线的 交点必在过光心且垂直于主轴的平面

A B

B1 A1

图 1-5-16

C
上,这条特殊光线是解答本题的关键光 线。 两条连 解: 作 AA1 和 BB1 的连线, 线的交点 O 就是凸透镜光心的位置。作

A

D
O

B1

N

M
B

F′

F
A1

E
图 1-5-16

AB 和 A1 B1 的延长线交于 C 点,C 点必定
落在透镜上。由 C、O 两点可画出透镜 的位置,过 O 点且与

CO 垂直的连线 MN 就是透镜的主光轴, 如图 1-5-17 所示。

过 A 点作平行于主光轴的直线交透镜于 D 点,连接 DA1 ,该连线与主光轴的交点

F 就是透镜的右焦点位置。过 A1 作平行于主光轴的直线交透镜于 E 点,连线 EA
与主光轴的交点 F ′ 就是透镜左焦点的位置所在。 点评 熟练掌握凸透镜、凹透镜的成像特点和规律,并能灵活运用特 殊光线来作图是解决这一类作图题的关键。 例 2、如图 1-5-18,MN 是凸透镜主光轴,O 为光心,F 为焦点,图中所画两 条光线为点光源 S 经凸透镜折射的两条光线。 用作图法确定光源 S 与像点 S ′ 的位 置。

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分析: 分析:

经凸透镜折射后的两条出射光线它们看上去

是由像点发出来的,所以两条出射光线的反向延长线的交 点就是像点 S ′ 的所在位置。由于物点发出的过光心的光线 不改变方向,由此可以确定物点 S 落在 S ′O 直线上, S ′ 与 凸透镜右焦点 F 的连线交凸透镜于 P 点,由于物点发出的 平行于主光轴的光线经凸透镜折射后过 F 焦点,所以过 P 点作与主光轴 MN 的平行线与 S ′O 相交处就是物点 S 所在位

M F

O

N

F

图 1-5-18

S′ S M F
O N

F

图 1-5-19

置。如图 1-5-19 所示。 它们的交点就是像点 S ′ , 分别作 S ′ 和 O 的连 解: 反向延长两条出射光线, 线, S ′ 和 F 的连线且与凸透镜交于 P,过 P 点作与 MN 的平行线 PS 与 S ′O 交于 S,

S 就是物点所在位置。
点评 图题。 ,由于墨水褪色只留下 例 3、在斯涅耳的档案中有一张光学图(见 1-5-20) 三个点;一个薄透镜的焦点 F,光源 S 和透镜上的一点 L。此外还留下一部分从 光源 S 画到其像 S ′ 的直线 a。从正文中知道 S 点比 S ′ 点 更靠近透镜,有可能恢复这张图吗?如果可能,把它画 出来,并确定图中透镜的焦距。 解: 1、令 O 为透镜的光学中心; 2、 F 和 O 点应位于垂直于透镜的光轴上,因此 正确理解像的物理意义,物与像之间的关系,才能顺利解答这类作

S
F

a
L
图 1-5-20

S

a 2F 2F

n2

n1 O2 O1 L

∠FOL 是直角;
3、连接光源及其像的直线总是通过透镜的光学中

F C
图 1-5-21

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心; 4、连接 F,L 点并以线段 FL 的中点 C 为圆心,画一通过 F 及 L 点的圆; 5、由于一个圆的直径所对着的圆周角总是直角,可以判定 O 点位于圆和直 线 a 的交点上; 6、从圆中找到 O 点的两个可能的位置( O1 和 O2 ) ; 7、恢复出两种可能的示意图,如图 1-5-21 所示; 8、由于光源 S 比其像 S ′ 更靠近透镜,可以断定只有透镜 n1 符合题意。实际 上,对透镜 n1 可以看到 S 到 n1 的距离大于二倍焦距,因此 S ′ 到 n1 的距离小于二倍 焦距。 焦距均为 f 的 例 4、 二凸透镜 L1 、 L2 与两个

M1

L1 A F1′
f f f

L2 F2′
f 2

M2

F1
f 2

O

F2
f f

M 圆形平面反射镜 M 1 、 2
放置如图 1-5-22。 二透镜 共轴, 透镜的主轴与二平
f

图 1-5-22

面镜垂直,并通过二平面镜的中心,四镜的直径相同,在主轴上有一点光源 O。 1、画出由光源向右的一条光线 OA(如图 1-5-22 所示)在此光学系统中的 光路。 2、分别说出由光源向右发出的光线和向左发出的光线各在哪些位置(O 点 除外)形成光源

M1
P

L1

L2

M2 F2′
Q

O 的能看到的像,
哪些是实像?哪 些是虚像。

A
F1
f 2

F1′

O

F2

f 2

图 1-5-23
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3、现在用不透明板把 L1 和 L2 的下半部(包括透镜中心)都遮住,说出这些 像有什么变化。

解: 1、光线 OA 的第一次往返光路如图 1-5-23 所示。当光线由图中左方返 回经 O 点后,将继续向右下方进行,作第二次往返。第二次往返的光路在图中未 画出,可按图中光路对称于主轴画出。以后,光线重复以上两种往返光路。 2、向右发出的光线: F2′ 处成实像,右方无限远处成虚像; F1 处成实像;P
f M 1 左方 2 处主轴上)成虚像。 处(

向左发出的光线: F1 处成实像;左方无限远处成虚像; F2′ 处成实像;Q 处
f ( M 2 右方 2 处主轴上)成虚像。

3、向右发出的光线只在 F2′ 处成实像。向左发出的光线只在 F1 处成实像。两 像均比未遮住时暗。 一平凸透镜焦距为 例 5、

f,其平面上镀了银,现在其凸
面一侧距它 2f 处,垂直于主 轴放置一高为 H 的物,其下端 在透镜的主轴上 (图 1-5-24) 。

H F 2f F/

图 1-5-24

(1)用作图法画出物经镀银透镜所成的像,并标明该像是虚、是实。 (2)用计算法求出此像
P LM Q F A P S T 图 1-5-25
/

的位置和大小。
H

S/ F/

分析:

这道题实质是

A/

α α

O

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一个凸透镜与一紧密接合的平面镜的组合成像问题。虽然我们画不出光线经透镜 折射后射向平面镜的光路,但光路仍然遵守凸透镜与平面镜成像规律,这是我们 在具体分析光路时必须牢牢抓住的一点。成像的计算也是遵守凸透镜与平面镜的 成像计算方法的。 用作图法求得物 AP 的像 A′P ′ 及所用各条光线的光路如图 1-5-25 解: (1) 所示。 说明: 说明:平凸透镜平面上镀银后构成一个由会聚透镜 L 和与它密接的平面镜 M 组合 LM,如图 1-5-25 所示。图中 O 为 L 的光心, AOF ′ 为主轴,F 和 F ′ 为 L 的 两个焦点,AP 为物。作图时利用了下列三条特征光线: ①由 P 射向 O 的入射光线,它通过 O 后方向不变,沿原方向射向平面镜 M, 然后被 M 反射,反射光线与主光轴的夹角等于入射角,均为α。反射线射入透镜 时通过光心 O,故由透镜射出时方向与上述反射线相同,即图中的 OP ′ 。 ②由 P 发出且通过 L 左方焦点 F 的入射光线 PFR, 它经过 L 折射后的出射线 与主轴平行,垂直射向平面镜 M,然后被 M 反射,反射光线平行于 L 的主轴,并 向左射入 L,经 L 折射后的出射线通过焦点 F,即为图个中 RFP。 ③由 P 发出的平行于主轴的入射光线 PQ,它经过 L 折射后的出射线将射向

L 的焦点 F ′ ,即沿图中的 QF ′ 方向射向平面镜,然后被 M 反射,反射线指向与 F ′
对称的 F 点,即沿 QF 方向。此反射线经 L 折射后的出射线可用下法画出:通过 O 作平行于 QF 辅助线 S ′OS , S ′OS 通过光心,其方向保持不变,与焦面相交于 T 点。由于入射平行光线经透镜后相交于焦面上的同一点,故 QF 经 L 折射后的出 射线也通过 T 点,图中的 QT 即为 QF 经 L 折射后的出射光线。 上列三条出射光线的交点 P ′ 即为 LM 组合所成的 P 点的像,对应的 A′ 即 A

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的像点。由图可判明,像 A′P ′ 是倒立实像,只要采取此三条光线中任意两条即可 得 A′P ′ ,即为正确的答案。 (2)按陆续成像计算物 AP 经 LM 组合所成像的位置、大小。 物 AP 经透镜 L 成的像为第一像, u1 = 2 f , 取 由成像公式可得像距 υ1 = 2 f , 即像在平面镜后距离 2f 处,像的大小 H ′ 与原物相同, H ′ = H 。 第一像作为物经反射镜 M 成的像为第二像。第一像在反射镜 M 后 2f 处,对

M 来说是虚物,成实像于 M 前 2f 处。像的大小 H ′′ 也与原物相同, H ′′ = H ′ = H 。
第二像作为物,再经透镜 L 而成的像为第三像。这是因为光线由 L 右方入 射。且物(第二像)位于 L 左方,故为虚物,取物距 u 3 = ?2 f ,由透镜公式
1 1 1 + = u3 υ3 f 可得像距

υ =
3

fu 3 >0 u3 ? f

2 f 上述结果表明,第三像,即本题所求的像的位置在透镜左方距离 3 处,像

H ′′′ υ 3 1 = = H ′′ u 3 3 求得,即 的大小 H ′′′ 可由
H ′′′ = 1 1 H ′′ = H 3 3

1 像高为物高的 3 。

如图 1-5-26 所示, 凸透镜焦距 f=15cm, =25cm, C 为圆心、 =5cm OC 以 r 例 6、 为半径的发光圆环与主轴共面。试求出该圆环通过透镜折射后所成的像。 分析: 分析: 先考虑发光圆环上任意一点

P 经透镜所成之像, P 点绕圆环一周时, 当

C

F

O

F

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图 1-5-26

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对应的像点的集合就构成整个发光圆环通过透镜所成的像。因此可用解析几何的 方法讨论本题。 以 解: 如图 1-5-27 所示, O 点为直角坐标系原点建立坐标系 xOy 和 x ′Oy ′ 。 考虑发光圆环上任一点 P(x,y) ,则有 ( x ? 25) 2 + y 2 = 5 2 发光点 P(x,y)的像为
P ′( x ′, y ′) ,根据透镜成像公式
y,yˊ P x C F O F Pˊ xˊ



及放大率关系可有 1 1 1 + = x x′ f y′ x′ = y x 联立②、③式解得
x= 15 x ′ x ′ ? 15 15 y ′ x ′ ? 15



图 1-5-27





y=



将④、⑤式代入①式中并整理得
( x ′ ? 45) 2 y′2 + =1 15 2 (5 3 ) 2



⑥式即为所需求的圆环之像。这是一个对称中心位于光心 45cm 处,以主光 轴为长轴的椭圆。 讨论 如果把发光圆环用一球壳取代,则根据对称性,球壳的像是以圆环

的像绕主轴旋转一周行成的一椭圆。 点评 曲线形线状物通过透镜所成的像也是一定曲线状,至于是什么样的

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曲线,要视具体情况而定。例如本题中的发光圆环所成的像变为一椭圆环就是一 例。本题的关键是要建立恰当的物方和像方坐标系来球解问题。 例 7、求厚透镜对两个不同波长有同一焦距的条件。并且不同类型的透镜, 讨论可行性。 解: 我们必须知道厚透镜的性质。厚透镜由下述数据表征;球形表面的半 径 r1 和 r2 ,厚度 d 和折射 n(图 1-5-28) ,焦距 f=BF 由下式给出

?1 1 1 ? n ?1? 1 ? = (n ? 1) ? + ? d ? ? ? f ? n ? r1 r2 ? ? r1 r2

B 焦距是从主点 B 算起的。 离表面的距离为
BA = h = r2 d n(r1 + r2 ) ? d (n ? 1)

r1 B d A

r2 f

F

上述公式对任意厚度的厚透镜都成 立,但只对近轴光线才给满意结果,因为 是在一定的近似下得到的。

图 1-5-28

光被透镜色散。透镜对波长 λ 0 的折射率是 n a ,对波长 λb 的折射率是 nb 。按 折射率 n 的幂次整理焦距公式,得 f (r1 + r2 ? d )n 2 + [2 fd ? f (r1 + r2 ) ? r1 r2 ]n ? fd = 0 这是一个二次方程。给定一个 f 值,应有两个 n 值,因此,我们的问题可以解决。 先后以 n a 和 n b 代入方程,并令其相等

?1 1 n ?1? ? (na ? 1)? + ? d ? a ?r r na r1r2 ? 2 ? 1 ? ?1 1 n ?1? ? = (nb ? 1)? + ? d ? b ?r r nb r1 r2 ? 2 ? 1 ?
整理后得到

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? 1 r1 + r2 = d ?1 ? ? n n a b ?

? ? ? ?

如果半径 r1 , r2 与厚度 d 满足这一条件,则对两个不同的波长,即对两不同 的折射率来说,焦距是相同的。有趣的是折射率的乘积 n a n b 在起作用,而不是色 散( nb ? na ) 。因折射率大于 1,于是括号内的数值小于 1,说明半径之和小于镜 厚。这意味着透镜将是相当厚的。 结果讨论: 结果讨论:首先,透镜不可以是平凸或平凹的,因为这种透镜有无限大的 半径。其次, r1 和 r2 之一为负的发散透镜是许可的,但不能是双凹透镜。 如果要求的不是 f 而是(f-h)对两个折射率有相同的值。实现这一点也是 可能的,但却是一个复杂得多的问题。 例 7、照相机镜头 L 前 2.28m 处的物体被清晰地成像在镜头后面 12.0cm 处 的最相胶片 P 上,两面平行的玻璃平板插入镜头与胶片之间,与光轴垂直,位置 如图 1-3-29 所示。设照相机镜头可看作一个简单薄凸透镜,光线为近轴光线。 1、求插入玻璃板后,像的新位置。
0.90cm
z z

L
2、如果保持镜头、玻璃板、胶片三者间距离不变,若 要求物体仍然清晰地成像于胶片上,则物体应放在何处? 解: 解法 1 1、折射率为 n,厚度为 d 两面平行的玻璃板,对于会 聚在像点 P ′ 的傍轴光束的折射作用可如下方法求出:如图

P

AzB
8.0cm 12.0cm 图 1-3-29
z

1-3-30,取任一指向 P ′ 点的傍轴光线 C P ′ ,此光线经平行玻璃板折射的光路为

CDE P ′′ ,在平板第一面的入射角 i 与折射角 r 均为
小角度,反向延长 E P ′′ 交 D 点处的法线于 F,容易

C

i D
r

F E
b

d

P′

P ′′

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图 1-3-30

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看出,DE P ′′ P ′ 为平行四边形,则
P ′P ′′ = DF = b / tan γ ? b / tan i

平行板厚度 d 为
d = b / tan γ



P ′P ′′ = d (1 ? tan γ / tan i )

因为 i 与 r 都很小,所以
tan γ / tan i ≈ sin γ / sin i ≈ 1 / n

故得
? 1? P ′P ′′ = d ?1 ? ? ? n?

以上结果对任何会聚于 P ′ 点的傍轴光线均成立,所以向轴上 P ′ 点会聚的傍 轴光束经平行玻璃板折射后会聚于轴上 P ′′ 点。在这种情形下,平行玻璃板的作 用是使像点向远离平板方向移动距离 P ′ P ′′ ,由题给数据得
P ′P ′′ = 0.9 × (1 ? 1 / 1.5) = 0.3(cm )

故像成在镜头后面 12.0+0.3=12.3(cm)处。 2、设照像机镜头焦距为 f, 不放玻璃板时有 1/228+1/2=1/f, 可得 f=11.4cm。

插入玻璃板时,若要像仍成在离镜头 12cm 处的胶片上,应改变物距使不放 玻璃板时成像在镜头后面 v 处,即

v=12.0-0.3=11.7(cm)。
设这时物距为 u,则

1/u+1/11.7=1/11.4,
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u≈4.45m。

即:物体置于镜头前 4.45m 时,插入玻璃板后,仍可在胶片上得到清晰的像。 解法 2 1、对于玻璃板第一面上的折射,其物距为
n 0 = 1 .0 n = 1 . 5

AP = ?8.9cm , n0 = 1.0 , n = 1.5
根据公式 可得 AP1 / AP = ? n / n0

A
(见图 1-5-31)

p

p1

AP1 = ? AP ? n / n0 = (?8.9)(?1.5 / 1.0) = 13.35(cm)

图 1-5-31

对于玻璃板第二面上的折射, (见图 1-3-32) 其物距为

BP1 = ?( AP1 ? AB) = ?12.45cm
又根据 可得 BP2 ? (? n / n0 ) BP1 = (?1.0 / 1.5)(?12.45) = 8.3(cm) 故像成在镜头后面的像距为 BP2 / BP1 = ? n / n0

n = 1 .5

n 0 = 1 .0

B
图 1-5-32

p 2 p1

υ = 3.1 + 0.9 + 8.3 = 12.3(cm)
比原像向后移动△v,即
?υ = 12.3 ? 12 = 0.3(cm )

2、设照像机镜头焦距为 f,不插入玻璃板时,

1/f=1/228+1/12,


f=11.4cm。

要使放上玻璃板后,像还成在离镜头 12cm 处的胶片上,可采用个光路可逆性原 理从已知像 P2 的位置,求此物体应在的位置。

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对于玻璃板第二面上的折射:
1 已知:像距 BP2 = 8cm , n = 1.50 , n0 = 1.0 ,设与之相应的物为 P ,则可得

BP1 (?n / n0 ) ? BP2 = ?12cm 对于玻璃板第一面上的折射: 已知:像距 AP1 = 12.9cm , n = 1.5 , n0 = 1.0 ,设与之相应的物为 P,则可 得 AP = (?n / n0 ) ? AP1
= ( ?1.0 / 1.5) × 12.9 = ?8.6(cm )

对于凸透镜,像距为 v=8.6+3.1=11.7(cm) ,则此时物距为 u,则有

1/u+1/11.7=1/11.4, u=4.45m。
即物体应放在照相机镜头前 4.45m 处,才能在胶片上得到清晰的像。

例 8、有两个焦距分别为 f a 和 f b 的凸透镜。如果把这两个透镜做适当的配 置,则可使一垂直于光轴的小物体在原位置成一等大、倒立的像,如图 1-5-33 所示。试求出满足上述要求的配置方案中各 透镜的位置。 分析: 分析: 首先,我们应根据题目给出的

物 L1 L2

L 条件, 分析得出物经透镜 L1 、 2 所成像的虚、
实与大小,从而得出光学系统的配置关系; 然后再运用透镜成像公式求出光学系统中 物、 L1 、 L2 位置的具体距离与 f a 、 f b 的数
图 1-5-29 L1 d v u
O1

L2

d-v
O2

物理课件网(www.wulikj.com)----全力打造物理课件、物理试题、物理教案、物理视频第一交流平台! d+u

图 1-5-31

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量关系。 解: 设光线由左向右,先后经过两个凸透镜而成像于题目所要求的位置。 反回去考虑,光线经过第 2 个透镜后将继续向右传播,所以最后成的像必为虚像 才能满足题设要求。由此判定,作为透镜 2 的“物”必在其左侧,物距 u 2 小于透 镜 2 的焦距 f 2 ,并且是倒立的。再考虑到透镜 2 的“物”应该是透镜 1 对给定的 傍轴物体所成的像(中间像) ,它只能是给定物的倒立实像,必然成像在透镜 1 的右侧。 (由于最后的像与原物同样大小,还可以肯定中间像一定是缩小的。 )以 上分析表明,光线系统的配置如图 1-5-28 所示。 根据图上标明的两透镜位置和物距、像距,有
1 1 1 + = u υ f1



因最后像为虚像,则
1 1 1 ? = d ?υ d + u f2



又因物、像大小相等,则
u = u+d d ?υ

υ
由③得



υ=

ud 2u + d

代入①②并经过化简可得
u= 2 f1 f 2 f2 ? f1

d = 2 f1 f 2 ,

因题图中要求 u > 0 ,故必须 f 2 > f1 。由以上分析可知,要取焦距较小的透 镜(即如 f a < f b ,取透镜 a,反则反之)作透镜 L1 ,放在物右方距离 u 处,而把

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焦距较大的透镜作为 L2 透镜放在透镜 L1 右方距离 d 处,就得到题所要求的配置 方案。 例 9、焦距为 20cm 的薄凸透镜和焦距为 18cm 的薄凹透镜,应如何放置,才 能使平行光通过组合透镜后成为 1、平行光束;2、会聚光束;3、发散光束; (所有可能的情况均绘图表示) 。 解: 设凸透镜主焦点为 F1 , F1′ ;凹透镜主焦点为 F2 , F2′ 。 1、平行光束 。 (1)凸透镜在前时,d=2cm,d 为两透镜间距离(见图 1-5-34)

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L1

L2

F′ F (共焦) d 2cm 图 1-5-34 18cm

L1

L2 L2 F2 F′ d 图 1-5-35 图 1-5-36 L1 L1 F2 F1 L2 F2 F1

L1

L2

F2 F′

d 图 1-5-37 F F LL 图 1-5-39 图 1-5-38 d

(2)凹透镜在前时,d=2cm,根据光路可逆性原理,这相当于把前面的系 统反过来。 2、会聚光束。

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(1) (2)

凸透镜在前时,20cm>d>2cm(图 1-5-35) 。 凹透镜在前时 d>2cm(图 1-5-36) 。

3、发散光束 (1)凸透镜在前时,d>2cm(图 1-5-37) (2)凸透镜在前时,20cm>d>2cm(图 1-5-38) 凹透镜在前时,20cm>d>2cm(图 1-5-39)

10、 10、焦距 f 的数值均相同的三个薄透镜 L1 、 L2 与 L3 ,依次为凸透镜、凹 透镜与凸透镜,它们构成一个共轴光学系统,相邻透镜间的距离均为 d,各透镜 的光心分别为 O1 , O2 , O3 ,如图 1-5-40 所示,在透镜 L1 左方,位于主光轴上的物 点 P,经过此光学系统最终成像于透镜 L3 右方的 Q 点 物点 P 与透镜 L1 的距离应为多少? 分析: 一个一个透镜 分析: 此题按陆续成像考虑, 做下去也能得出⑥式的解,但列式子时容易出错, 不如考虑对称性的解法,有清晰的物理图像,求
图 1-5-40
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若距离 PO 2 = O2 Q ,则

L1 P
O1
d

L2

L3

Q
O2
d

O3

P2

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解主动。 此题的⑦式的解也以用“P 经 L1 成像 O2 ”的思路解出最为简明,但能这样 想必须以“透镜成像时,若物距为零则像距也为零”作为已知结论才行。 解:(1)该系统对凹透镜 L2 而言是一左右对称的光学系统。依题意,物点 P 与像点 Q 处于对称的位置上,即对凹透镜 L2 而言,物点及经它成像后的像点应 分居 O2 的两侧,且物距 u 2 与像距 υ 2 相等。即

u2 = υ 2
代入凹透镜 L2 的物像公式
1 1 1 + =? u2 υ2 f


1


2

解得

u 2 = υ 2 = ?2 f < 0


3

物距与像距均为负值表明: 物点 P 经透镜 L1 成像后, 作为凹透镜 L2 的物点 P2 位于它的右侧,因而是虚物,经凹透镜 L2 成像于它的左侧,为一虚像,虚像点 P2 与虚像点 Q2 的凹透镜 L2 位于对称位置(图 1-5-41)

υ1 = 2 f + d
代入凸透镜 L1 的物像公式
1 1 1 + =? u1 υ 1 f


4

L1 P

L2

L3

Q
O1 O2 O3
P2


5

Q2

解出 u1 = f (2 f + d ) f +d

图 1-5-41

(2)由②式,凹透镜 L2 的像距可表示为
P

L1

L2 Q2 P2
d

L3 Q O3

O1

O2
d

图 1-5-42 物理课件网(www.wulikj.com)----全力打造物理课件、物理试题、物理教案、物理视频第一交流平台!

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υ2 = ?

fu 2 ?f = f u2 + f 1+ u2

当物点 P2 由右向左逐渐趋近于 O2 时,即物距 u 2 由负值逐渐增大而趋于零 时, 像距 υ 2 亦由负值逐渐增大趋于零, 即像点 Q2 由左向右亦趋近于 O2 。 u 2 → 0 即

υ υ 时, 2 → 0 当 u 2 = 0 时, 2 = 0 , 即对凸透镜 L1 而言, 像距 υ1 = d , 参见图 1-5-42,
代入⑤式
1 1 1 + =? u1 d f

解得: u1 = fd d? f


7

此结果表明,当物点 P 经过透镜 L1 后恰成像于透镜 L2 的光心 O2 上,由系统 的对称性,可知经透镜 L3 后,将成像于对称点 Q。像距 υ 3 数值为

υ3 =

fd d? f

由此可知⑥式与⑦式均为所求的解,但对⑦式的结果,透镜间距 d 必须满足 条件
d> f


8

这也可以从另一角度来考虑,当 P 通过 L1 成像正好在 L2 的光心处时,它经 过 O2 的像仍在原处,即 u 2 = υ 2 = 0 。这样也可得到上面的结果。 例 11、一束平行光沿薄平凸透镜的主光轴入射,经透镜折射后,会聚于透 镜后 f=48cm 处,透镜的折射率 n=1.5。若将此透镜的凸面镀银,物置于平面前 12cm 处,求最后所成像的位置。 分析: 分析:平凸透镜的凸面镀银后将成为凹面镜,我们可根据平凸透镜平行光汇
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聚的几何关系求出凸球面的曲率半径 R,即求出凹面镜的焦距,根据平面折射成 像及凹面镜成像的规律可进一步求出最后所成像的位置。 解:(1)先求凸球面的曲率求径 R。平行于主光轴的光线与平面垂直,不发 生折射,它在球面上发生折射,交主光轴于 F 点,如图 1-5-43 所示,C 点为球 面的球心, CO = R ,由正弦定理可得 R+ f sin r = R sin(r ? i ) 由折射定律知
sin i 1 = sin r n


1

i i
C

r

r ?i E O
f


2

当 i、r 很小时, sin r ≈ r , sin( r ? i ) ≈ r ? i , sin i ≈ i 由 以上两式得
1+ f r n 1 = = = 1+ R r ? i n ?1 n ?1
R = ( n ? 1) f

图 1-5-43


3

所以


4

(2)凸面镀银后将成为半径 R 的凹面镜,如图 1-5-44 所示令 P 表示物所在的位置,P 点经平面折射 成像于 P ′ ,根据折射定律可推出

P′ P′′′ P O C P′

12cm 图 1-5-44

P ′O = n PO


5

由于这是一个薄透镜,P ′ 与凹面镜的距离可认为等于 P ′O , 设反射后成像于
P ′′ ,则由球面镜成像公式可得

1 1 2 + = P ′O P ′O R


6

因此可解得 P ′O = 36cm ,可知 P ′ 位于平面的左方,对平面折射来说,是一

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个虚物,经平面折射后,成实像于点。
P ′′′O 1 = P ′′O n
P ′′′O = 24(cm)


7


8

最后所成实像在透镜左方 24cm 处。 例 12、在很高的圆柱形容器的上口平放一个焦距为 90mm 的凸透镜,在透镜 下方中轴线上距透镜 100mm 处平放一个圆面形光源(如图 1-5-45) 1、光源产生一个半径为 45mm 的实像,求此实像的位置。 2、若往容器中注水,水面高于光源 10mm,求此像的位 置。 3、继续注水,注满容器但又恰好不碰上透镜。求此时像 的大小。 解:1、设 u,v,f 分别为物距、像距和焦距,由成像公式 1 1 1 + = u υ f 得
图 1-5-45

υ = uf /(u ? f )
代入 u=100mm,f=90mm,得

υ = 900mm
又从放大率公式知光源的半径 b 为

b = ub′ / υ = 5mm
2、注入水后,当水面高于光源 h(mm)时,由于水面的 折射作用,使光源等效于上浮一段距离,等效光源在距水
h h′ i γ

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图 1-5-46

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面 h′ 处。设 i,r 分别为入射角和折射角,则 h ′ ∝ cot γ , h ∝ cot i (图 1-5-46) , 对近轴光线 h ′ / h = tan i / tan γ ≈ tan γ / sin γ = n / n水 = 3 / 4 故原来的物距 u 在注入水后变成等效物距 u
u ? = u ? h + h′ = u ? h / 4
?

于是像距为
h? ? h ? ? u ? = u ? f /(u ? ? f ) = ? u ? ? f / ? u ? ? f ? 4? ? 4 ? ?

本小题中,h=100mm,u=100mm,故得

υ ? = 1170 mm
实像在透镜上方 1170mm 处。 3、当水注满而又恰好不碰上透镜时,仍可用上面的公式,但此时 h=100mm,
u? = u ? h = 75mm 4

等效光源已在焦距之内,此时像的半径为
b ′ = bυ ? / u ? = bf /(u ? ? f ) = ?30mm

此时所成像是一半径为 30mm 的正立虚像,位于透镜下方。 例 13、有一个由单个凸透镜构成的焦距为 12cm,暗箱的最大伸长为 20cm 的 照相机,要用这个照相机拍摄距镜头 15cm 处的物体,需要在镜头上附加焦距为 多少的一个薄透镜,使暗箱最大伸长时,像能清晰地呈现在底片上?(假设两个 薄透镜紧贴着,其间距离可以忽略不计) 分析: 这是一个组合透镜成像的问题, 可以从两个不同角度来考虑求解。 (1) 分析: 依照成像先后顺序,物体经前一个透镜成的像视为后一透镜成像之物,重复运用 透镜成像公式来求解; (2)把组合透镜视为一个透镜整体来处理,再根据组合透
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镜的总焦距与各分透镜之间的关系式来求解。 解法一: 解法一:将附加薄透镜加在镜头的前面,照相机镜头焦距为 12cm,暗箱最 大伸长为 20cm,设它能拍摄的物体的最近距离为 u。 以 f=12cm,v=20cm 代入透镜成像公式,可以求得 u。 1 1 1 + = u υ f u= fυ 12 × 20 = = 30cm u ? f 20 ? 12
A′ A′ A B′F ′
O 15cm 30cm
附加薄透镜

F′ B
30cm

(a)

设附加镜头的焦距为 f ′ ,它的作用是使距镜头 15cm 的物体成像在 30cm 处。

主透镜

B′

F B′′ F
O

以 u=15cm,v=-30cm 代入透镜成像公式,可以求 得 f ′。 1 1 1 = + f′ u υ f′= uυ 15 × (?30) = = 30(cm) u + υ 15 + (?30)

12cm 30cm (b)


20cm

A′′

A B



B′′

15cm (C) 图 1-5-47

A′′

所以 f ′ = 30cm , 是凸透镜, 光路图如图 1-5-47 所示。

图 1-5-47(a)表示附加薄透镜的作用是将距镜头 15cm 的物体在 30cm 处造 成的虚像 A′B ′ 。图 1-5-47(b)表示以 A′B ′ 为物,经主透镜成像于镜后 20cm 处 底板上成实像 A′′B ′′ 。图 1-5-47(c)表示附加透镜加在主透镜的前面,距透镜 15cm 的物体 AB, 其所发的光线经附加透镜和主透镜折射后在另一侧 20cm 处得一 实像 A′′B ′′ 。 解法二:将附加薄透镜加在镜头后面。

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无附加透镜时,物距 u=15cm,焦距 f=12cm,像距为 v。 1 1 1 + = u υ f





υ=

fu 12 × 15 = = 60cm u ? f 15 ? 12

设附加镜头的焦距为 f ′ ,上述像即附加透镜中的虚物,此时物距为

u ′ = ?60cm ,像距为 υ ′ = 20cm 。
1 1 1 + = u′ υ ′ f ′
f′= u ′υ ′ = 30cm u′ + υ ′





光路图如图 1-5-48 所示。 图 1-5-48(a)表示距主透镜 15cm 的物体,在主透镜另一侧成一距透镜 60cm 的实像 A′B ′ 。图 1-5-48(b)表示附加透镜附于主透镜之后,光线①因 通过光心方向不变,由物体射出之光线,经主
主透镜

透镜折射后其中的光线②再经附加透镜的折 射,改变方向为光线③因而成像于 A′′B ′′ 处。图 1-5-48(c)表示距透镜 15cm 的物体,经主透

A B

B′

12cm 15cm (a)
2 ○

2 ○ 1 ○

A′

附加薄透镜
B′′ F ′

镜、附加透镜折射后成像于另一侧 20cm 处。 解法三:照相机镜头焦距 f=12cm,附加薄凸透 镜焦距为 f ′ ,相当于一个焦距为 F 的凸透镜,且有
1 1 1 = + F f f′

F′

1 ○

O′


3

A′′
1 ○

(b)
主 附 透镜

A B

B′′

因为

15cm (c) 图 1-5-48

A′′

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u = 15cm , υ = 20cm
1 1 1 + = u υ F

所以

F=

uυ 15 × 20 60 = = (cm) u + υ 15 + 20 7

把求得的 F 值代入①式 有

1 1 1 = + 60 12 f ′ 7
则 f ′ = 30(cm ) 即为所求附加薄透镜焦距。 点评:透镜与透镜、透镜与平面镜、棱镜、球面镜等一个或多个光学元件构 成一个光学系统的成像问题是一类典型的问题,对于这类问题,一方面要注意不 同的光学元件各自的成像规律,另一方面要注意成像的先后顺序以及像与物的相 对性。即前一光学元件的像视为后一光学元件之物。 例 14、 长度为 4mm 的物体 AB 由图 1-5-49 所示的光学系统成像, 光学系统由 一个直角棱镜、一个会聚透镜和一个发散透镜组成,各有关参数和几何尺寸均示 于图中。求: 1、像的位置; 2、像的大小,并作图说明是实像还 是虚像,是正立还是倒立的。
n=1.5 A 6cm

f1=-20cm
B 10cm

f2=-10cm
5cm L1 L2

6cm
45?

解: 解法 1
图 1-5-49

f1

f2

1、分析和等效处理 根据棱镜玻璃的折射率,棱镜斜面上的全反射临界角为

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α c = arcsin

1 = 42 o n
6cm 6cm 10cm L1 5cm L2

注意到物长为 4mm, 由光路可估 算,进入棱镜的近轴光线在斜面上的

N=1.5

45?

入射角大多在 45?左右, 大于临界角, 发生全反射,所以对这些光线而言,
图 1-5-50

棱镜斜面可看成是反射镜, 本题光路可按反射镜成像的考虑方法, 把光路 “拉直” , 如图 4-3-34 的示。 现在,问题转化为正立物体经过一块垂直于光轴、厚度为 6cm 的平玻璃板及 其后的会聚透镜、发散透镜成像的问题。 2、求像的位置 厚平玻璃板将使的近轴光线产生一个向右侧移动一定距离的像, 它成为光学 系统后面部分光路的物,故可称为侧移的物。利 用沿光轴的光线和与光轴成 a 角的光线来讨论就 可求出这个移动的距离。 设轴上物点为 B, 由于厚度平玻璃板的作用而 形成的像点(即侧像的物点)为 B ′ (图 1-5-51) 。 画出厚平玻璃板对光线的折射,由图可知
?l = d (cot α )
β

α

α

d

α

B α
?l

d
B′

α

D

图 1-5-51



d = D (tan α ? tan β )

所以 当 a 为小角度时

? tan β ? ?l = D ? 1 ? ? tan α ? ?

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tan β sin β 1 ≈ = tan α sin α n

故得
? 1? ?l = D?1 ? ? = 2cm ? n?

这也就是物 AB 与它通过厚平玻璃板所成的像之间的距离。 这个像对透镜 L1 来说就是物,而物距

u1 = [(6 ? 2) + 6 + 10]cm = 20cm
可见,物证好在 的左方焦平面上,像距即为

υ1 = ∞
再考虑透镜 L2 ,这是平行光线入射情况

u2 = ∞
所以必成像于这个发散透镜 L2 左侧焦平面上(虚像) 。

υ 2 = f 2 = ?10cm
整个光路的最后成像位置就是在 的左侧 10cm 处。

3、求像的大小和虚、实、正、倒情况 可用作图法求解,如图 1-5-52 所示(为 了图示清楚,图中把物高加大了) 。 连接 A′O1 并延长,便得到发自 A′ 的光线 经 A′ 后的平行光线的方向。 L2 的光心 O1 作 过
A′ A′′
f2 L1

L2

B′

B ′′
f1

C

γ
O2

O1

A′O1 的平行线,它与 L1 交于 C 点,则 A′C 即
为从 A′ 出发经过 L1 折射又通过 L2 光心的光

图 1-5-52

线。 反向延长 O2 C 与 L2 左侧焦面的交点 A′′ 就是 A′ 由 L1 经 L2 所成的像点。 L2 左 令 侧焦面与光轴的焦点为 B ′′ , A′′B ′′ 就是 A′B ′ 的像。这是一个正立的虚像。由图可
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得 A′′B ′′ = f 2 tan γ
A′B ′ = f 1 tan γ

而 A′B ′ 与 AB 等高,所以像的大小为
A′′B ′′ = f2 f1 A′B ′ = 2mm

解法 2 关于物体经棱镜(折射、反射、再折射)后, 所成像的位置及大小可采用视深法处理。
A2
A1 B1

A

B

如图 1-5-53 所示,AB 发出的与 PQ 面近乎垂直的小光束
B2

A′ B′

P

C1 C2

Q C3

经 PQ 面折射后成像于 A1 B1 这是视深问题, A1 , B1 与 PQ 面的距离均为 A,B 与 PQ 面的距离的 n 倍,即 图 1-5-53

R

C1 B1 = nC1 B A1 B1 = AB , (像与物的大不相同)

A1 B1 经 PQ 面的折射成像于 A2 B2 ,大小不变,且
C 2 B2 = C 2 B1 = C 2 C1 + C1 B1 = PC1 + nC1 B

A2 B2 经 PQ 面的折射成像于 A′B ′ ,大小不变,且
C3 B ′ = = 1 1 C 3 B 2 = C 3 C 2 + C 2 B2 n n

(

)

1 C1Q + PC1 + nC1 B n 1 = PQ + C1 B n

(

)

? 6 ? =? + 6 ?cm = 10cm ? 1 .5 ?

由此即可求出这个像 A′B ′ 作为透镜 L1 的物距。其它部分的求解同解法 1。

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例 15、 在焦距为 20.00cm 的薄凸透镜的主轴上离透 镜中心 30.00cm 处有一小发光点 S,一个厚度可以忽略 的光楔 C 顶角 a 很小的三棱镜) ( 放在发光点与透镜之间,

C

L

M

S

图 1-5-54

垂直于轴,与透镜的距离为 2.00cm,如图 1-5-54 所示, 设光楔的折射率 n=1.5,楔角 a =0.028 弧度。在透镜另一侧离透镜中心 46.25cm 处放一平面镜 M,其反射面向着透镜并垂直于主轴。问最后形成的发光点的像相 对发光点的位置在何处(只讨论近轴光线,小角度近似适用。在分析计算过程中 应作出必要的光路图)? 分析: 分析:这是一个光具成像问题,厚度可忽略的光楔在成像过程中的作用相当 于一使光线产生偏折的薄平板,平面镜使光线反射后再次经凸透镜成像,在这一 过程中,我们再根据折射定律、透镜成像公式及有关数学近似进行一系列计算, 就可得出最后结果。 解:共有五次成像过程。 (1)光楔使入射光线偏折,其偏向角(出射光线与入射光 线方向的夹角)用 δ 表示,由图 1-5-55 可知

a i1 ′ i1′ i 2 i 2 n

δ

′ ′ ′ ′ sin i1 = n sin i1 , sin i2 = n sin i2 , i1 + i2 = α ′ 对近轴光线, i1 很小,有 i1 = ni1 ;
因 a 也很小,同样有

图 1-5-55

′ i2 = ni2
故有

′ δ = (i1 ? i1′ ) + (i2 ? i2 ) ′ = i1 + i2 ? α = (n ? 1)α

δ
S1′
S
h l
图 1-5-56

δ

代入数值,得

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δ = (1.5 ? 1) × 0.028 rad = 0.014 rad
因 δ 与入射角大小无关,各成像光线经光楔后都偏折同样角度 δ 。又因光楔 图 厚度可忽略, 所以作光路图时可画成一使光线产生偏折角 δ 的薄平板, 1-5-56。 光点 S 经光楔成一虚像点 S1′ 。 对近轴光线,S1′ 在 S 正上方, S 的距离为 h, 到 离光楔距离 l = 28.00cm 。
h = δl = ( n ? 1)αl

代入数据,得

h = 0.39cm ′ (2) S1′ 为透镜 L 的实物,像点 S 2 的位置可由下式求出
1 1 1 + = u υ f 以 u=30.00cm,f=20.00cm 代入,得

υ = 60.00cm
′ 将 SS1 视为与光轴垂直的小物,由透镜的放大率公式
M1 =

υ
u
C

L

可求得

M
F

′ h2 = M 1 h = 0.78cm ′ 即像点 S 2 在光轴下方与光轴的

S1′ h S

′ h3
30 .00

′ h2
′ S2

距离为 0.78cm,与透镜的中心距离 为 60.00cm 处,图 1-5-57。
图 1-5-57

′ S3 d 46 .25 60 .00

′ (3)S 2 在平面镜之后, 对平面
′ ′ 镜是虚物,经平面镜成像,像点 S 3 与 S 2 对称于平面镜(图 1-5-57)

d = 13.75cm
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′ ′ h3 = h2 = 0.78cm ′ ′ ′ ′ (4) S 3 作为透镜的实物,经透镜折射后再次成像,设像点 S 2′ , S 2′ 及 S 3 与 L 的距离分别为 和 u ′ ,则

u ′ = 32.50cm ,

υ′ =

fu ′ = 52.00cm (u ? f )

′ S 2′ 在透镜左侧,主轴上方,图 1-5-58。 ′ ′ h2′ = M 2 h2 = 1.25cm ′ (5)第二次经透镜折射后成像的光线还要经光楔偏折,再次成像,像点 S1′ ′ 在 S 2′ 正下方, 离光楔距离为
50cm,离光轴的距离为(见 图 1-5-58) 。
l′ 52.00 C

L

′ S 2′ ′ h2 S ′′ 1

?h h′

F

′ S2

?h = δl ′ = 0.70cm ′ h′ = h2′ ? ?h = 0.55cm

图 1-5-58

′ 像点 S1′ 在光轴上的垂足与 S 的距离为 ?s = l ′ ? l = 22.00cm
即最后的像点在发光点 S 左侧光轴上方,到光轴的距离为 0.55cm,其在光轴上 的垂足到 S 的距离为 22.00cm。

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