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高中数学:3.1.1-3.1.2《空间向量及其加减与数乘运算》课件(新人教B版选修2-1)


复习回顾: 平面向量

这是什么?

向量

既有大小又有方向的量。 1、定义:
几何表示法:用有向线段表示 字母表示法: 用小写字母表示,或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。 相等向量:长度相等且方向相同的向量
B A D C

2、平面向量的加法、减法与数乘运算



b

b

a
向量加法的三角形法则

a
向量加法的平行四边形法则

a
b a
向量减法的三角形法则

ka

(k>0) (k<0)

向量的数乘

ka

3、平面向量的加法、减法与数乘运算律

加法交换律: a ? b ? b ? a 加法结合律: (a ? b) ? c

? a ? (b ? c)

数乘分配律: k (a ? b) ? k a+k b

推广:

(1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量;
A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An ?1 An ? A1 An

(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形,则它们的和为零向量。
A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An A1 ? 0

问题 1:

C
向上

B
正北

如图:已知 OA=6 米, AB=6 米,BC=3 米, 那么 OC=

O

正东

A
F2

?

问题 2:

已知F1=10N, F2=15N,F3=15N F3 F1
这需要进一步来认识空间中的向量

这三个力两两之间 的夹角都为90度, 它们的合力的大小 为多少N?

空间向量的有关概念: 空间向量:在空间中,具有大小和方向的量. ? ? ? 常用 a 、 、 ……等小写字母来表示. ?b c ? 1.向量 a 的大小叫做向量的长度或模,记为 a . ??? ? ??? ? 2.可用一条有向线段 AB 来表示向量,向量 AB ??? ? ? 的模又记为 AB 就是线段 AB 的长度. c

B
起点

终点

? a

A

? b

空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法 减法 数乘 运算 运 算 律 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零 加法交换律 a ? b ? b ? a

空间向量
具有大小和方向的量

加法结合律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律 k (a ? b) ? k a+k b

D A B

C

a
D1 C1 B1

A1

b
D C B A

D B

C

A

空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法 减法 数乘 运算 运 算 律 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零

空间向量
具有大小和方向的量

加法交换律 a ? b ? b ? a
加法结合律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律 k (a ? b) ? k a+k b

C

a b
O

+
A

b

B

OB ? OA ? AB

a
ka

CA ? OA ? OC
空间向量的加减法

(k>0)
空间向量的数乘

ka

(k<0)

思考:空间任意两个向量是否可能异面?
B

b

O

A

思考:它们确定的平面是否唯一?

a
结论:空间任意两个向量都是共面向量,所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题,平面向量中有 关结论仍适用于它们。

空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 运 算 律
加法交换律 a ? b ? b ? a
加法结合律

空间向量
具有大小和方向的量

加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零 加法交换律 a ? b ? b ? a 成立吗? 加法结合律 数乘分配律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律 k (a ? b) ? k a+k b

k (a ? b) ? k a+k b

向量加法结合律在空间中仍成立吗? ( a + b )+ c = a +( b + c )
O a A b B c a b
+

O

c

C A
b

C

B

c

(平面向量)

空间中

向量加法结合律:
( a + b )+ c = a +( b + c )
O

O

a
A

a b
C A
+

c
B

C

b

B

c

b

c

(空间向量)

推广:

(1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量;
A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An ?1 An ? A1 An

(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形,则它们的和为零向量。
A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An A1 ? 0

小结

类比思想

数形结合思想

平面向量
概念 定义 表示法 相等向量

空间向量
具有大小和方向的量

加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 算 律
加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律 加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律 k (a ? b) ? k a+k b

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)
数乘分配律

k (a ? b) ? k a+k b

我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算, 其运算律是否也与平面向量完全相同呢? 定义: 数乘空间向量的运算法则 ? 与平面向量一样,实数 ? 与空间向量 a 的乘积
? ? a 仍然是一个向量.

?

? ? ⑴当 ? ? 0 时, ? a 与向量 a 的方向相同; ? ? ⑵当 ? ? 0 时, ? a 与向量 a 的方向相反; ? ⑶当 ? ? 0 时, ? a 是零向量.

例如:
? 3a

? a

? ?3a

显然,空间向量的数乘运算满足分配律 ? ? ? ? 及结合律

即:? (a ? b) ? ? a ? ? b ? ? ? (? ? ?) ? ? a ? ? a a ? ? ? ( ? a) ? (?? )a 其中?、?是实数。

类似于平面向量,为了研究的方便起见,我们规定: 零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行 向量、共面向量等概念。 (你认为应该怎样规定?)

定义:表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合,则称这些向量叫共线向量.(或平行向量)
? ? ? ? 思考⑴:对空间任意两个向量 a 与 b ,如果 a ? ? b ,那 ? ? 么 a 与 b 有什么关系?反过来呢?

类似于平面,对于空间任意两个 ? ? ? ? 向量 a , b ( b ? 0 ), ? ? ? ? ? b a // b ? 存在 ? ? R , a ? ? b .

? c

? a

例1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量 表达式,并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB ? BC (2) AB ? AD ? AA1 1 (3) ( AB ? AD ? AA1 ) 3 1 (4) AB ? AD ? CC1 2
A A1 D1 B1 C1

D B

C

D1 A1 B1

C1

a
D A C B D B C

A

平行六面体:平行四边形ABCD平移向量 a 到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. 记做ABCD-A1B1C1D1

例1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量 表达式,并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB ? BC (2) AB ? AD ? AA1 1 (3) ( AB ? AD ? AA1 ) 3 1 (4) AB ? AD ? CC1 2
解:) AB ? BC=AC; (1
A D B A1 G C D1 B1 C1

M

(2) AB ? AD ? AA1 ? AC ? AA1 ? AC ? CC1 ? AC1

始点相同的三个不共面向量之和,等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量

F2

F1=10N
F2=15N F3 F1 F3=15N

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

(1) AB1 ? A1 D1 ? C1C ? x AC
(2) 2 AD1 ? BD1 ? x AC1 (3) AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1
A A1

D1 B1

C1

D B

C

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

(1) AB1 ? A1 D1 ? C1C ? x AC 解(1) AB1 ? A1 D1 ? C1C
D1 A1 B1 C1

? AB1 ? B1C1 ? C1C ? AC ? x ? 1.
A

D B

C

(2) 2 AD1 ? BD1 ? x AC1 (3) AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

(2) 2 AD1 ? BD1 ? x AC1 (3) AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1
(2) 2 AD1 ? BD1

? AD1 ? AD1 ? BD1 ? AD1 ? ( BC1 ? BD1 ) ? AD1 ? D1C1 ? AC1
A1 D1 B1 C1

? x ? 1.
A

D B

C

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

(3) AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1

(3) AC ? AB1 ? AD1
? ( AD ? AB) ? ( AA1 ? AB) ? ( AA1 ? AD) ? 2( AD ? AB ? AA1 )
? 2AC1
D1 A1 B1 C1

? x ? 2.
A

D B

C

练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A

1 (1) AB ? ( BC ? BD) 2 1 (2) AG ? ( AB ? AC ) 2
D G

B

M

C

练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A

1 (1) AB ? ( BC ? BD) 2 1 (2) AG ? ( AB ? AC ) 2
D G

(1)原式=AB ? BM ? MG ? AG
(2)原式
1 =AB ? BM ? MG ? ( AB ? AC ) 2 1 =BM ? MG ? ( AB ? AC ) 2 =BM ? MG ? MB ? MG

B

M

C

练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D
' '

(1) AC ? x( AB ? BC ? CC )
'

(2) AE ? AA ? x AB ? y AD

A

D

B

C

练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D
' '

(1) AC ? x( AB ? BC ? CC )
'

(2) AE ? AA ? x AB ? y AD

A

D

B

C

练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D

(2) AE ? AA ' ? x AB ? y AD

A

D

B

C

作业
空间四边形ABCD中, ? a , =b , ? c , AB BC AD
??? ? ???? ? ? 如图,已知空间四边形 ABCD 中,向量 AB ? a , AC ? b , ??? ? ? AD ? c ,若 M 为 BC 的中点, G 为 △BCD 的重心, ? ? ? A 试用 a 、b 、c 表示下列向量: ???? ? ???? ⑴ DM ⑵ AG

试用a , b, c来表示CD, , BD. AC

1 ? ? ? ( ? b) ? c a 2 1 ? ? ? ( ? b ? c) a 3

D

B
M

G C


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