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2013届高三人教A版文科数学一轮复习课时作业(4)函数及其表示)


课时作业(四) [第 4 讲 函数及其表示] [时间:45 分钟 分值:100 分] 基础热身 1.[2011· 茂名模拟] 已知函数 f(x)=lg(x+3)的定义域为 M,g(x)= 则 M∩N 等于( ) A.{x|x>-3} B.{x|-3<x<2} C.{x|x<2} D.{x|-3<x≤2} 2.下列各组函数中表示同一函数的是( A.f(

x)=x 与 g(x)=( x)2 1 的定义域为 N, 2-x

)

3 B.f(x)=|x|与 g(x)= x3 C.f(x)=lnex 与 g(x)=elnx x2-1 D.f(x)= 与 g(t)=t+1(t≠1) x-1 3.下列对应中: ①A={矩形},B={实数},f:“求矩形的面积”; ②A={平面 α 内的圆},B={平面 α 内的矩形},f:“作圆的内接矩形”; ③A=R,B={y∈R|y>0},f:x→y=x2+1; 1 ④A=R,B=R,f:x→y= ; x ⑤A={x∈R|1≤x≤2},B=R,f:x→y=2x+1. 是从集合 A 到集合 B 的映射的为________. 4.已知 f(2x+1)=3x-4,f(a)=4,则 a=________. 能力提升 a 5.已知 f(x)=x+ +1,f(3)=2,则 f(-3)=( ) x A.-2 B.-5 C.0 D.2 6.下表表示 y 是 x 的函数,则函数的值域是( ) x 0<x<5 5≤x<10 10≤x<15 15≤x≤20 y 2 3 4 5 A.[2,5] B.N C.(0,20] D.{2,3,4,5} 7.[2011· 北京卷] 根据统计,一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为 f(x) c ,x<A, x = (A,c 为常数). 已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装第 A 件产品 c ,x≥A A

? ? ?

用时 15 分钟,那么 c 和 A 的值分别是( A.75,25 B.75,16 C.60,25 D.60,16

)

f?2x? 8.若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 g(x)= 的定义域是( ) x-1 A.[0,1] B.[0,1) C.[0,1)∪(1,4] D.(0,1) ?2x,x>0, ? 9.[2012· 潍坊模拟] 已知函数 f(x)=? 若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等 ?x+1,x≤0, ? 于( )

A.-3 B.-1 C.1 D.3 1? 2 1 10.[2011· 杭州调研] 已知函数 f? ?x-x?=x +x2,则 f(3)=________.
?2x+a,x<1, ? 11.[2011· 江苏卷] 已知实数 a≠0,函数 f(x)=? 若 f(1-a)=f(1+a), ?-x-2a,x≥1, ? 则 a 的值为________. 12.设奇函数 y=f(x)(x∈R),满足对任意 t∈R 都有 f(1+t)=f(1-t),且 x∈[0,1]时,f(x) 3 - ?的值等于________. =-x2,则 f(3)+f? ? 2? 13.定义在 R 上的函数 f(x),如果存在函数 g(x)=kx+b(k,b 为常数),使得 f(x)≥g(x) 对一切实数 x 都成立,则称 g(x)为函数 f(x)的一个“承托函数”.现有如下命题:①对给定 的函数 f(x),其承托函数可能不存在,也可能有无数个;②g(x)=2x 为函数 f(x)=2x 的一个承 托函数;③定义域和值域都是 R 的函数 f(x)不存在承托函数.其中正确的命题是________. 14.(10 分)[2011· 青岛期末] 在计算机的算法语言中有一种函数[x]叫做取整函数(也称 2x 高斯函数), 表示不超过 x 的最大整数, 例如[2]=2, [3.3]=3, [-2.4]=-3.设函数 f(x)= 1+2x 1 - ,求函数 y=[f(x)]+[f(-x)]的值域. 2

15.(13 分)设计一个水槽,其横截面为等腰梯形 ABCD,要求满足条件 AB+BC+CD =a(常数),∠ABC=120° ,写出横截面面积 y 与腰长 x 之间的函数关系式,并求它的定义域 和值域.

难点突破 16.(12 分)已知二次函数 f(x)有两个零点 0 和-2,且 f(x)的最小值是-1,函数 g(x)与 f(x)的图象关于原点对称. (1)求 f(x)和 g(x)的解析式; (2)若 h(x)=f(x)-λg(x)在区间[-1,1]上是增函数,求实数 λ 的取值范围.

课时作业(四) 【基础热身】 1.B [解析] M={x|x>-3},N={x|x<2},所以 M∩N={x|-3<x<2}.故选 B. 2.D [解析] 由函数的三要素中的定义域和对应关系进行一一判断,知 D 正确. 3.①③⑤ [解析] 由映射的定义可知,①③⑤是从集合 A 到集合 B 的映射. 19 8 19 4. [解析] 令 3x-4=4,得 x= ,∴a=2x+1= . 3 3 3 【能力提升】 a a 5.C [解析] f(3)=3+ +1=2,所以 a=-6,所以 f(-3)=-3- +1=0,故选 C. 3 3 6.D [解析] 函数值只有四个数 2、3、4、5,故值域为{2,3,4,5}. c f?4?= =30, ?c=60, 4 ? 7.D [解析] 由题意可知 解得? 故应选 D. c ?A=16, ? f?A?= =15, A

? ? ?

8.B [解析] 因为 f(x)的定义域为[0,2],所以对 g(x),0≤2x≤2,且 x≠1,故 x∈[0,1). 9.A [解析] 当 a>0 时,由 f(a)+f(1)=0 得,2a+2=0,解得 a=-1,舍去;当 a≤0 时,由 f(a)+f(1)=0 得,a+1+2=0,解得 a=-3,选 A. 1 1 x- ?=?x- ?2+2,所以 f(x)=x2+2,所以 f(3)=32+2=11. 10.11 [解析] 因为 f? ? x ? ? x? 3 3 11.- [解析] 当 a>0 时,f(1-a)=2-2a+a=-1-3a=f(1+a),a=- <0,不成 4 2 3 立;当 a<0 时,f(1-a)=-1+a-2a=2+2a+a=f(1+a),a=- . 4 5 12. [解析] 因为 f(1+t)=f(1-t),所以 f(x)=f(2-x),所以 f(3)=f(2-(-1))=f(-1) 4 3? ? 1? ?1? 1 ? 3? 5 =-f(1)=1,f? ?-2?=-f?2-2?=-f?2?=4,所以 f(3)+f?-2?=4. 13.① [解析] 对于①,若 f(x)=x2,则 g(x)=c(c≤0),就是它的一个承托函数,且有 3? 3 ?3?=23= 无数个.又 f(x)=lgx 就没有承托函数,∴①正确;对于②,∵x= 时,g? = 3 , f ?2? ?2? 2 2 x 8,∴f(x)<g(x),∴g(x)=2x 不是 f(x)=2 的一个承托函数;对于③,若定义域和值域都是 R 的函数 f(x)=2x,则 g(x)=2x-1 是 f(x)的一个承托函数. 2x+1-1 1 1 1 14.[解答] f(x)= , x - = - 2 2 1+2x 1+2 1? 1 1 f(-x)= - ,当 x>0 时,f(x)∈? ?0,2?, 2 1+2-x 1 ? f(-x)∈? ?-2,0?,此时[f(x)]+[f(-x)]的值为-1; 当 x<0 时,同理[f(x)]+[f(-x)]的值为-1;当 x=0 时,[f(x)]+[f(-x)]的值为 0,故值域 为{-1,0}. 15.[解答] 如图,设 AB=CD=x,则 BC=a-2x,作 BE⊥AD 于 E.

∵∠ABC=120° ,∴∠BAD=60° ,BE= 1 3 故梯形面积 y= (a-2x+a-x)· x 2 2

3 1 x,AE= x,AD=a-x. 2 2

3 3 2 3 3 3? a?2 3 x- + a2. =- x + ax=- 4 2 4 ? 3? 12 x>0, ? ? 由实际问题意义得,?a-x>0, ? ?a-2x>0 1 ? 即定义域为? ?0,2a?. 1 ? 0<x< a, 2

a 3 当 x= 时,y 有最大值 a2, 3 12 3 即值域为?0, a2?. ? 12 ? 【难点突破】 16.[解答] (1)依题意,设 f(x)=ax(x+2)=ax2+2ax(a>0). f(x)图象的对称轴是 x=-1, ∴f(-1)=-1,即 a-2a=-1,得 a=1. ∴f(x)=x2+2x. 由函数 g(x)的图象与 f(x)的图象关于原点对称, ∴g(x)=-f(-x)=-x2+2x. (2)由(1)得 h(x)=x2+2x-λ(-x2+2x)=(λ+1)x2+2(1-λ)x. ①当 λ=-1 时,h(x)=4x 满足在区间[-1,1]上是增函数; λ-1 ②当 λ<-1 时,h(x)图象对称轴是 x= , λ+1 λ-1 则 ≥1,又 λ<-1,解得 λ<-1; λ+1 λ-1 ③当 λ>-1 时,同理则需 ≤-1, λ+1 又 λ>-1,解得-1<λ≤0. 综上,满足条件的实数 λ 的取值范围是(-∞,0].


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