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概率与统计、算法初步、复数


概率与统计、算法初步、复数 一、选择题 1.(2011 年高考大纲全国卷)4 位同学每人从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门,则恰有 2 人选 修课程甲的不同选法共有( ) A.12 种 B.24 种 C.30 种 D.36 种 2.(2011 年高考湖北卷)有一个容量为 200 的样本,其频率分布直方图如图所示.根据样本的 频率分布直方图估计,样本数据落在区间[10,12)内

的频数为( )

A.18 C.54

B.36 D.72

3. (2011 年课标全国卷)执行如图所示的程序框图, 如果输入的 N 是 6, 那么输出的 p 是( ) A.120 B.720 C.1440 D.5040 4.(2011 年高考天津卷)阅读下边的程序框图,运行相应的程序,若输入 x 的值为-4,则输 出 y 的值为( )

A.0.5 B.1 C.2 D.4 5.(2011 年高考福建卷)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果是(

)

A.3 C.38

B.11 D.123 i-2 6.(2011 年高考北京卷)复数 =( ) 1+2i A.i B.-i 4 3 4 3 C.- - i D.- + i 5 5 5 5 7.(2011 年高考湖南卷)若 a,b∈R,i 为虚数单位,且(a+i)i=b+i,则( ) A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1 C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1 8.(2011 年高考江西卷)观察下列各式:72=49,73=343,74=2401,?,则 72011 的末两位数字 为( ) A.01 B.43 C.07 D.49 9.(2011 年高考重庆卷)从一堆苹果中任取 10 只,称得它们的质量如下(单位:克): 125 120 122 105 130 114 116 95 120 134 则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为( ) A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5 2-i 10.(2011 年高考山东卷)复数 z= (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( ) 2+i A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限 11.(2011 年高考山东卷)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 4 2 3 5 广告费用 x(万元) 49 26 39 54 销售额 y(万元)

^ ^ ^ ^ 根据上表可得回归方程y=bx+a中的b为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为 ( ) A.63.6 万元 B.65.5 万元 C.67.7 万元 D.72.0 万元 1-3i 12.(2011 年高考天津卷)i 是虚数单位,复数 =( ) 1-i A.2-i B.2+i C.-1-2i D.-1+2i 1 1 1 1 13.(2011 年高考辽宁卷)i 为虚数单位, + 3+ 5+ 7=( ) i i i i A.0 B.2i C.-2i D.4i 14.(2011 年高考福建卷)i 是虚数单位,1+i3 等于( ) A.i B.-i C.1+i D.1-i 15.(2011 年高考福建卷)某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有 30 名,高二年级有 40 名.现用分层抽样的方法在这 70 名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了 6 名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为( ) A.6 B.8 C.10 D.12 1+ai 16.(2011 年高考安徽卷)设 i 是虚数单位,复数 为纯虚数,则实数 a 为( ) 2-i A.2 B.-2 1 1 C.- D. 2 2 17.(2011 年高考安徽卷)从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点,则以它们作为顶点的 四边形是矩形的概率等于( ) 1 1 A. B. 10 8 1 1 C. D. 6 5 18. (2011 年高考北京卷)执行如图所示的程序框图, 若输入 A 的值为 2, 则输出的 P 值为( )

A.2 B.3 C.4 D.5 二、填空题 19.(2011 年高考四川卷)(x+1)9 的展开式中 x3 的系数是________.(用数字作答) 20.(2011 年高考山东卷)执行如图所示的程序框图,输入 l=2,m=3,n=5,则输出的 y 的 值是________.

21. (2011 年高考江苏卷)设复数 z 满足 i(z+1)=-3+2i(i 为虚数单位), z 的实部是________. 则 22.(2011 年高考浙江卷)某中学为了解学生数学课程的学习情况,在 3000 名学生中随机抽取 200 名,并统计这 200 名学生的某次数学考试成绩,得到了样本的频率分布直方图(如图).根 据频率分布直方图推测,这 3000 名学生在该次数学考试中成绩小于 60 分的学生数是 ________.

23.(2011 年高考湖南卷)已知圆 C:x2+y2=12,直线 l:4x+3y=25. (1)圆 C 的圆心到直线 l 的距离为________; (2)圆 C 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率为________. 24.(2011 年高考大纲全国卷) (1-x) 10 的二项展开式中,x 的系数与 x9 的系数之差为 __________. 25.(2011 年高考湖北卷)某市有大型超市 200 家、中型超市 400 家、小型超市 1400 家,为掌 握各类超市的营业情况,现按分层抽样方法抽取一个容量为 100 的样本,应抽取中型超市 __________家. 1 ?18 26.(2011 年高考湖北卷)?x- 的展开式中含 x15 的项的系数为__________.(结果用数 ? 3 x? 值表示) 27.(2011 年高考重庆卷)(1+2x)6 的展开式中 x4 的系数是__________. 28. (2011 年高考辽宁卷)调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位: 万元)和年饮食支出 y(单位: 万元),调查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系,并由调查数据得到 y 对 x 的回 ^ 归直线方程:y=0.254x+0.321.由回归直线方程可知,家庭年收入每增加 1 万元,年饮食支

出平均增加________万元. 三、解答题 29.(2011 年高考大纲全国卷)根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买 乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3.设各车主购买保险相互独立. (1)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率; (2)求该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.

30.(2011 年高考山东卷)甲、乙两校各有 3 名教师报名支教,其中甲校 2 男 1 女,乙校 1 男 2 女. (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名教师性 别相同的概率; (2)若从报名的 6 名教师中任选 2 名,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名教师来自同一学 校的概率.

31.(2011 年高考安徽卷)某地最近十年粮食需求量逐年上升,下表是部分统计数据: 2002 2004 2006 2008 2010 年份 236 246 257 276 286 需求量(万吨) ^ (1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y=bx+a; (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地 2012 年的粮食需求量.

32.(2011 年高考重庆卷)某市公租房的房源位于 A、B、C 三个片区.设每位申请人只申请其

中一个片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的,求该市的任 4 位申请人中: (1)没有人申请 A 片区房源的概率; (2)每个片区的房源都有人申请的概率.

专题七 概率与统计、算法 初步、复数 一、选择题 1. 【解析】选 B.分三步,第一步先从 4 位同学中选 2 人选修课程甲,共有 C2种不同的选法, 4 第二步给第 3 位同学选课程,必须从乙、丙中选取,共有 2 种不同的选法,第三步给第 4 位 同学选课程,也有 2 种不同的选法,故共有 N=C2×2×2=24 种不同的选法. 4 2. 【解析】选 B.由 0.02+0.05+0.15+0.19=0.41, ∴落在区间[2,10)内的频率为 0.41×2=0.82. ∴落在区间[10,12)内的频率为 1-0.82=0.18. ∴样本数据落在区间[10,12)内的频数为 0.18×200=36. 3.【解析】选 B.当输入的 N 是 6 时,由于 k=1,p=1,因此 p=p· k=1.此时 k=1,满足 k<6,故 k=k+1=2. 当 k=2 时,p=1×2,此时满足 k<6,故 k=k+1=3. 当 k=3 时,p=1×2×3,此时满足 k<6,故 k=k+1=4. 当 k=4 时,p=1×2×3×4,此时满足 k<6,故 k=k+1=5. 当 k=5 时,p=1×2×3×4×5,此时满足 k<6,故 k=k+1=6. 当 k=6 时,p=1×2×3×4×5×6=720, 此时 k<6 不再成立,因此输出 p=720. 4. 【解析】选 C.当 x=-4 时,|x|=4>3,x 赋值为 x=|-4-3|=7>3,∴x 赋值为 x=|7-3| =4>3,x 再赋值为 x=|4-3|=1<3,则 y=21=2,输出 2. 5. 【解析】选 B.a=1,a<10,a=12+2=3;a=3<10,a=32+2=11;a=11>10,∴输出 a =11. i-2 ?i-2??1-2i? 5i 6. 【解析】选 A. = = =i. 1+2i ?1+2i??1-2i? 5 7. 【解析】选 D.(a+i)i=-1+ai=b+i,故应有 a=1,b=-1. 8. 【解析】选 B.因为 71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,76=117649,?,所以这些数 的末两位数字呈周期性出现, 且周期 T=4.又因为 2011=4×502+3, 所以 72011 的末两位数字 与 73 的末两位数字相同,故选 B. 9. 【解析】选 C.落在[114.5,124.5)内的样本数据为 120,122,116,120,共 4 个,故所求频率为 4 2 = =0.4. 10 5 2-i ?2-i?2 4-4i-1 3 4 10. 【解析】选 D.∵z= = = = - i, 5 5 5 2+i ?2+i??2-i? 3 4? ∴复数 z 对应的点的坐标为?5,-5?,在第四象限. ? 4+2+3+5 7 49+26+39+54 11. 【解析】选 B.∵ x = = ,y= =42. 4 2 4 ^ ^ ^ 又y=bx+a必过( x , y ), 7 ^ ^ ∴42= ×9.4+a,∴a=9.1. 2 ^ ∴线性回归方程为y=9.4x+9.1. ^ ∴当 x=6 时,y=9.4×6+9.1=65.5(万元). 1-3i ?1-3i??1+i? 4-2i 12. 【解析】选 A. = = =2-i. 2 1-i ?1-i??1+i?

13. 【解析】选 A.原式=-i+i+(-i)+i=0. 14. 【解析】选 D.1+i3=1-i. 30 40 15. 【解析】选 B.设样本容量为 N,则 N× =6,∴N=14,∴高二年级所抽人数为 14× = 70 70 8. 1+ai 1+ai 2+i 2-a+?2a+1?i 1+ai 16. 【解析】选 A. = · = ,∵ 为纯虚数, 5 2-i 2-i 2+i 2-i
? ?2-a=0, ∴? ∴a=2. ? ?2a+1≠0, 17. 【解析】选 D.方法 1:如图所示,从正六边形 ABCDEF 的 6 个顶点中随机选 4 个顶点, 可以看作随机选 2 个顶点,剩下的 4 个顶点构成四边形,有 A、B,A、C,A、D,A、E,A、 F,B、C,B、D,B、E,B、F,C、D,C、E,C、F,D、E,D、F,E、F,共 15 种.若 3 1 要构成矩形,只要选相对顶点即可,有 A、D,B、E,C、F,共 3 种,故其概率为 = . 15 5

法二: 如图所示, 从正六边形 ABCDEF 的 6 个顶点中随机选 4 个顶点, 共有 C4=15(种)选法, 6 3 1 其中能够构成矩形的有 FECB、AFDC、ABDE 三种选法,故其概率为 = . 15 5 18. 【解析】选 C.由框图可知: 3 11 25 P=1,S=1→P=2,S= →P=3,S= →P=4,S= ,循环终止.输出 P=4. 2 6 12 二、填空题 19. 【解析】(x+1)9=x9+C1x8+C2x7+?+C6x3+C7x2+C8x+C9, 9 9 9 9 9 9 ∴x3 的系数为 C6=84. 9 【答案】84 20. 【解析】当输入 l=2,m=3,n=5 时,不满足 l2+m2+n2=0,因此执行:y=70l+21m +15n=70×2+21×3+15×5=278.由于 278>105,故执行 y=y-105,执行后 y=278-105 =173,再执行一次 y=y-105 后 y 的值为 173-105=68,此时 68>105 不成立,故输出 68. 【答案】68 21. 【解析】设 z=a+bi(a、b∈R),由 i(z+1)=-3+2i,得-b+(a+1)i=-3+2i,∴a+1 =2,∴a=1. 【答案】1 22.解析】 【 由直方图易得数学考试中成绩小于 60 分的频率为(0.002+0.006+0.012)×10=0.2, 所以所求分数小于 60 分的学生数为 3000×0.2=600. 【答案】600 |4×0+3×0-25| 23. 【解析】(1)圆心坐标为(0,0),圆心到直线 4x+3y=25 的距离 d= =5. 42+32 (2)如图,设与直线 4x+3y=25 距离为 2 且与该直线平行的直线与圆交于 P、Q 两点.由(1) 知,点 O 到直线 PQ 的距离为 3,因为圆的半径为 2 3,故可得∠OPQ=60° .若点 A 到直线 l 60° 1 的距离小于 2,则点 A 只能在弧 PQ 上,故所求概率 P= = . 360° 6

1 【答案】(1)5 (2) 6 24. 【解析】(1-x)10 的展开式的通项为 Tr+1=Cr (-x)r=(-1)r· r ·r, C10 x 10 1 9 9 1 9 9 ∵x 与 x 的系数分别为-C10,-C10,∴x 的系数与 x 的系数之差为(-C10)-(-C10)=0. 【答案】0 100 1 25. 【解析】由题意知,该市有超市 200+400+1400=2000(家),抽样比为 = ,∴中 2000 20 1 型超市应抽 ×400=20(家). 20 【答案】20 26. 【解析】二项展开式的通项为 Tr+1= 1 ?r - Cr x18 r?- 18 ? 3 x? 1 3r =(-1)r?3?rCr x18- . ? ? 18 2 3r 令 18- =15,解得 r=2. 2 1 ∴含 x15 的项的系数为(-1)2?3?2C2 =17. ? ? 18 【答案】17 27. 【解析】由二项式定理得 Tr+1=Cr (2x)r=Cr 2rxr,∴x4 的系数为 C424=C224=240. 6 6 6 6 【答案】240 28. 【解析】由题意知[0.254(x+1)+0.321]-(0.254x+0.321)=0.254. 【答案】0.254 三、解答题 29. 【解】记 A 表示事件:该地的 1 位车主购买甲种保险; B 表示事件:该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险; C 表示事件:该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种; D 表示事件:该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买; E 表示事件:该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买. (1)P(A)=0.5,P(B)=0.3, C=A+B, P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B) =0.8. (2)D= C ,P(D) =1-P(C)=1-0.8=0.2, 1 P(E)=C3×0.2×0.82=0.384. 30. 【解】(1)甲校两男教师分别用 A、B 表示,女教师用 C 表示;乙校男教师用 D 表示,两 女教师分别用 E、F 表示. 从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名的所有可能的结果为: (A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),共 9 种.

从中选出的 2 名教师性别相同的结果为:(A,D),(B,D),(C,E),(C,F),共 4 种.所以 4 选出的 2 名教师性别相同的概率为 . 9 (2)从甲校和乙校报名的教师中任选 2 名的所有可能的结果为:(A,B),(A,C),(A,D),(A, E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D, F),(E,F),共 15 种. 从中选出的 2 名教师来自同一学校的结果为: (A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F),共 6 种. 6 2 所以选出的 2 名教师来自同一学校的概率为 = . 15 5 31. 【解】(1)由所给数据看出,年需求量与年份之间是近似直线上升的,下面求回归直线方 程.为此对数据预处理如下: 0 2 4 年份-2006 -4 -2 0 19 29 需求量-257 -21 -11 对预处理后的数据,容易算得 x =0, y =3.2. b= ?-4?×?-21?+?-2?×?-11?+2×19+4×29-5×0×3.2 ?-4?2+?-2?2+22+42-5×02 260 = =6.5, 40 a= y -b x =3.2. 由上述计算结果,知所求回归直线方程为 ^ y-257=b(x-2 006)+a=6.5(x-2 006)+3.2, ^ 即y=6.5(x-2 006)+260.2.① (2)利用直线方程①,可预测 2012 年的粮食需求量为 6.5×(2 012-2 006)+260.2=6.5×6+260.2=299.2(万吨). 32. 【解】(1)法一:所有可能的申请方式有 34 种,而“没有人申请 A 片区房源”的申请方式 有 24 种. 24 16 记“没有人申请 A 片区房源”为事件 A,则 P(A)= 4= . 3 81 法二:设对每位申请人的观察为一次试验,这是 4 次独立重复试验. 1 记“申请 A 片区房源”为事件 A,则 P(A)= . 3 由独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率计算公式知,没有人申请 A 片区房源的概率为 16 ?1 2 P4(0)=C0·3?0?3?4= . 4 ? ? ? ? 81 2 (2)所有可能的申请方式有 34 种,而“每个片区的房源都有人申请”的申请方式有 C4A3种. 3 2 3 C4A3 4 记“每个片区的房源都有人申请”为事件 B,从而有 P(B)= 4 = . 3 9


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