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2016上海济光职业技术学院自主招生数学模拟试题及答案


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2016 上海济光职业技术学院自主招生语文模拟试题及答案
一、选择题:本大题共 12 个小题. 每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 S6 ? 36, S n ? 324, S n?6 ? 144(n ? 6) ,则

n 为 A.18 D.15
5 3 2.已知 ? ? 1( x ? 0, y ? 0) ,则 xy 的最小值 x y

B.17

C.16

A.15 D.1

B.6

C.60

3.A={x|x≠1,x∈R}∪{y|y≠2,x∈R },B={z|z≠1 且 z≠2,z∈R},那么 A.A=B D.A∩B=φ 4.算法 S1:输入 n, S2:判断 n 是否是 2 若 n = 2,则 n 满足条件 若 n> 2,则执行 S3 S3:依次从 2 到 n-1 检验能不能整除 n,若不能整除 n 满足条件,上述满足条件的 B.A ? B C.A ? B

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A.质数 C.偶数 5.复数 i ? 1 (1为虚数单位)等于
i ?1

B.奇数 D.4 的倍数

A.1

B.-1

C.1

D.-1

6.正方体的八个顶点中任选 3 个顶点连成三角形,则所得的三角形是直角非等腰 三角 .. 形的 概率为

A.

1 3 2 B. C. 7 7 7

D.

4 7

7.某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x,y,10,11,9.已知这组数 据的平 均数为10,方差为2,则|x-y|的值为 A.1 D.4 8.已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的图象过点(-1, 3)和(1,1),若 0<c<1,则实数 a 的取 值范围是 A.[2,3] D. (1,3) 9.已知函数 y=x3-3x,则它的单调增区间是 B.[1,3] C.(1,2) B.2 C.3

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A.(-∞,0) C.(-1,1) -1)及(1,+∞) B.(0,+∞) D.(-∞,

10.已知 P 是 F1 、 F2 以为焦点的椭圆

x2 y 2 =1(a>b>0)上一点, + a 2 b2

PF1 ? PF2 ? 0 ,
tan ?PF1F2 =2,则椭圆的离心率为
1 2 2 1 C. 3 3

A.

B.

D.

5 3

? 11.三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 AA 1 B1 B ? 底面 ABC ,直线 A 1C 与底面成 60 角,

AB ? BC ? CA ? 2 , AA1 ? A1 B ,则该棱柱的体积为
A. 4 3 B. 3 3 C. 4 D. 3

12.锐角△ABC 中,若 A=2B,则

a 的取值范围是 b
B.(1, 3 ) C.( 2 ,2 )

A.(1,2) D.( 2,

3)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 13.若 a, b, c ? R ? ,且 a ? b ? c ? 1 ,则 a ? b ? c 的最大值是.

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14.若 ( x ?

1 a x

) 8 展开式中 x 2 项的系数为

35 ,则实数 a=. 8

?2 x ? y ? 2 ? y ?1 15.已知实数 x、y 满足 ? y ? x ,则 的最大值是. x ?1 ?y ? 0 ?
16.为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区 100 名年龄为 17.5—18 岁的 男生体重(㎏),得到频率分布直方图如下:

根据上图可得这 100 名学生中体重在(56.5,64.5)的学生人数是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤。 17.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,若 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? 3ac ,且 tan A ? tan C ? 3 ? 3 , AB 边

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上的高为 4 3 ,求角 A, B, C 的大小与边 a, b, c 的长

18.(本小题满分 12 分) 一个多面体的直观图(主观图、左视图、俯视图)如图所示,M、N 分别为 A1B1、 B1C1 的中点.

(1)求证:MN∥平面 ACC1A1; (2)求证:MN⊥平面 A1BC; (3)求二面角 A—A1B—C 的大小. 19.(本小题满分 12 分) 某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检), 若安检不合格, 则 必须整改. 若整改后经复查仍不合格, 则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独 立的, 且每家煤矿整改前合格的概率是0.5, 整改后安检合格的概率是0.8.计算(结果精确 到0.01): (1)恰好有两家煤矿必须整改的概率;

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(2)平均有多少家煤矿必须整改; (3)至少关闭一家煤矿的概率 .

20.(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,过定点 C (0, p) 作直线与抛物线 x 2 ? 2 py( p ? 0) 相交 于 A、B 两点. (1)若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点,求△ANB 面积的最小值; (2)是否存在垂直于 y 轴的直线 l ,使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在,求出 l 的方程;若不存在,说明理由.

21.(本小题满分 12 分)
3 2 已知 f ( x) ? ax ? 3x ? x ? 1 , a ? R .

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(1)当 a ? ?3 时,求证: f ( x) 在 R 上是减函数; (2)如果对 ?x ? R 不等式 f ?( x) ? 4 x 恒成立,求实数 a 的取值范围. 22.(本小题满分 14 分) 在直角坐标平面上有一点列 P1( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y 2 ) ,…, Pn ( xn , y n ) ,…对每 个正整数 n ,点 Pn 位于函数 y ? 3 x ?

13 5 的图象上,且 Pn 的横坐标构成以 ? 为首项, 4 2

? 1 为公差的等差数列 {xn } .
(1)求点 Pn 的坐标; (2)设抛物线列 C1 , C2 , C3 ,?, Cn ,…中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴,第 n 条抛 物
2 线 C n 的顶点为 Pn 且过点 Dn (0, n ? 1) ,记过点 Dn 且与抛物线 C n 只有一个交点的直

线的

斜率为 k n ,求证:

1 1 1 1 ? ??? ? . k1k 2 k 2 k 3 k n?1k n 10

* * (3)设 S ? {x | x ? 2xn , n ? N } , T ? {y | y ? 4 yn , n ? N } ,等差数列 {an } 的任一

项 an ? S ? T ,其中 a1 是 S ? T 中的最大数, ? 265 ? a10 ? ?125 ,求 {an } 的通项公 式.

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参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.A 2.C 3.C 4.A 5.C 6.B 7.D 8.C 9.D 10.D 11.B 12.D 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.

13. 3

14.± 2

15.

1 3

16.40

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

2 2 2 17.解: (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? 3ac, a ? c ? b ? ac, cos B ?

1 , B ? 600 2

tan( A ? C ) ?

tan A ? tan C 3? 3 ,? 3 ? , 1 ? tan A tan C 1 ? tan A tan C

tan A tan C ? 2 ? 3 ,联合 tan A ? tan C ? 3 ? 3
0 0 ? ? ? ? tan A ? 2 ? 3 ? ? tan A ? 1 ? A ? 75 ? A ? 45 或 或 得? ,即 ? ? ? 0 0 ? ? ? ? ? tan C ? 1 ? tan C ? 2 ? 3 ?C ? 45 ?C ? 75

当 A ? 750 , C ? 450 时, b ?

4 3 ? 4(3 2 ? 6), c ? 8( 3 ? 1), a ? 8 sin A 4 3 ? 4 6, c ? 4( 3 ? 1), a ? 8 sin A

当 A ? 450 , C ? 750 时, b ?

∴当 A ? 750 , B ? 600 , C ? 450 时, a ? 8, b ? 4(3 2 ? 6), c ? 8( 3 ?1),

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当 A ? 450 , B ? 600 , C ? 750 时, a ? 8, b ? 4 6, c ? 4( 3 ?1)
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http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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18.解:由题意可知,这个几何体是直三棱柱,且 AC⊥BC,AC=BC=CC1. (1)连结 AC1,AB1. 由直三棱柱的性质得 AA1⊥平面 A1B1C1, 所以 AA1⊥A1B1,则四边形 ABB1A1 为矩形. 由矩形性质得 AB1 过 A1B 的中点 M. 在△AB1C1 中,由中位线性质得 MN//AC1, 又 AC1 ? 平面 ACC1A1,MN ? 平面 ACC1A1, 所以 MN//平面 ACC1A1 (2)因为 BC⊥平面 ACC1A1,AC ? 平面 ACC1A1, 所以 BC⊥AC1. 在正方形 ACC1A1 中,A1C⊥AC1. 又因为 BC∩A1C=C,所以 AC1⊥平面 A1BC. 由 MN//AC1,得 MN⊥平面 A1BC. (3)由题意 CB,CA,CC1 两两垂直,故可以 C 为的点, CB,CA,CC1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系, 又 AC = BC = CC1 = a,

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则 B(a,0,0), B1 (a,0, a), A(0, a,0), C(0,0,0), C1 (0,0, a)

则 AB 中点 E 的坐标为 ( ,

a a ,0 ) , 2 2

a a AC1 ? (0,?a, a).易知CE ? ( , ,0) 为平面 AA1B 的法向量. 2 2
又 AC1⊥平面 A1BC,故 AC1 为平面 A1BC 的法向量 设二面角 A—A1B—C 的大小为 θ,

1 ? a2 CE ? AC1 1 2 ? ? . 则 | cos? |?| cos ? AE, AC1 ?|? 2 2 | CE || AC1 | a ? 2a 2
由题意可知,θ 为锐角,所以 θ= 60°,即二面角 A—A1B—C 为 60° 19.解:(1)每家煤矿必须整改的概率是1-0.5,且每家煤矿是否整改是相互独立的. 所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是

2 2 3 P 1 ? C5 ? (1 ? 0.5) ? 0.5 ?

5 ? 0.31 . 16

(2)由题设,必须整改的煤矿数 ? 服从二项分布B(5,0.5).从而 ? 的数学期望是 E ? = 5 ? 0.5 ? 2.5 ,即平均有2.50家煤矿必须整改. (3)某煤矿被关闭,即该煤矿第一次安检不合格,整改后经复查仍不合格,所以该煤 矿被关闭的概率是 P 2 ? (1 ? 0.5) ? (1 ? 0.8) ? 0.1 ,从而该煤矿不被关闭的概率是

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0.9.由题意,每家煤矿是否被关闭是相互独立的,所以至少关闭一家煤矿的概率是
5 P 3 ? 1 ? 0.9 ? 0.41

? p) ,可设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) , 20.(1)依题意,点 N 的坐标为 N (0,
? x 2 ? 2 py, ? y ? kx ? p.

直线 AB 的方程为 y ? kx ? p ,与 x2 ? 2 py 联立得 ?

消去 y 得 x2 ? 2 pkx ? 2 p2 ? 0 .
2 由韦达定理得 x1 ? x2 ? 2 pk , x1 x2 ? ?2 p .

y B

于是 S△ AMN ? S△ BCN ? S△ ACN ? · 2 p x1 ? x2 .

1 2

C A O N

? p x1 ? x2 ? p ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2
2

x

? p 4 p2k 2 ? 8 p2 ? 2 p2 k 2 ? 2 ,
∴ 当 k ? 0 , (S△ABN )min ? 2 2 p2 .
(2)假设满足条件的直线 l 存在,其方程为 y ? a , 设 AC 的中点为 O? , l 与 AC 为直径的圆相交于点 P , Q,PQ 的中点为 H ,

则 O?H ? PQ , Q? 点的坐标为 ?

? x1 y1 ? p ? , ?. 2 ? ?2

y

1 1 2 1 ∵ O?P ? AC ? x1 ? ( y1 ? p ) 2 ? y12 ? p 2 , 2 2 2 l

B A

O?

C O N x

y ?p 1 O?H ? a ? 1 ? 2a ? y1 ? p , 2 2

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∴ PH ? O?P ? O?H
2 2 2

?

1 2 1 ( y1 ? p 2 ) ? (2a ? y1 ? p )2 4 4

p? ? ? ? a ? ? y1 ? a( p ? a) , 2? ?
2 ? p? ? ∴ PQ ? (2 PH ) 2 ? 4 ?? ? a ? ? y1 ? a( p ? a) ? . 2? ?? ?

令a?

p p ? 0 ,得 a ? ,此时 PQ ? p 为定值,故满足条件的直线 l 存在,其方 2 2 p ,即抛物线的通径所在的直线. 2

程为 y ?

3 2 21.解:(1)当 a ? ?3 时, f ( x) ? ?3x ? 3x ? x ? 1 ,

/ 2 2 ∵ f ( x) ? ?9x ? 6x ? 1 ? ?(3x ? 1) ? 0 ,∴ f ( x) 在 R 上是减函数.

(2)∵ ?x ? R 不等式 f ?( x) ? 4 x 恒成立,即 ?x ? R 不等式 3ax2 ? 6 x ? 1 ? 4 x 恒成立, ∴ ?x ? R 不等式 3ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0 恒成立. 当 a ? 0 时, ?x ? R 2 x ? 1 ? 0 不恒成立;

1 当 a ? 0 时, ?x ? R 不等式 3ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0 恒成立,即 ? ? 4 ? 12a ? 0 ,∴ a ? ? . 3
1 当 a ? 0 时, ?x ? R 不等式 3ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 不恒成立. 综上, a 的取值范围是 (??, ? ]. 3

22.解:(1)∵ Pn 的横坐标构成以 ?

5 为首项, ? 1 为公差的等差数列 {xn } 2

∴ x n ? x1 ? (n ? 1)d ? ?

5 3 ? (n ? 1) ? ?n ? . 2 2 13 的图象上, 4

∵ Pn ( xn , y n ) 位于函数 y ? 3 x ?

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∴ y n ? 3xn ?

13 3 13 5 ? 3(?n ? ) ? ? ?3n ? , 4 2 4 4 3 5 ,?3n ? ) . 2 4

∴点 Pn 的坐标为 Pn (?n ?

2 (2)据题意可设抛物线 C n 的方程为: y ? a( x ? xn ) ? yn ,

2 即 y ? a ( x ? n ? ) ? 3n ?

3 2

5 . 4

2 ∵抛物线 C n 过点 Dn (0, n ? 1 ),

2 2 ∴ n ? 1 ? a (n ? ) ? 3n ?

3 2

5 9a 5 ? an 2 ? (3a ? 3)n ? ? , 4 4 4 5 . 4

2 ∴ a ? 1 ∴ y ? ( x ? n ? ) ? 3n ?

3 2

∵过点 Dn 且与抛物线 C n 只有一个交点的直线即为以 Dn 为切点的切线,

∴ kn ? y

x ?0

3 ? 2( x ? n ? ) ? 2n ? 3 . 2 x ?0



1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ( n ? 2 ), k n?1k n (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3 1 1 1 ? ??? k1k 2 k 2 k 3 k n?1k n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ??? ? )? ( ? ) 2 5 7 7 9 2n ? 1 2n ? 3 2 5 2n ? 3



?



1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ( ? )? . k1k 2 k 2 k 3 k n?1k n 2 5 2n ? 3 10

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(3)∵ x ? 2xn ? ?2n ? 3 y ? 4 y n ? ?12n ? 5 , ∴ S ? T 中的元素即为两个等差数列 {?2n ? 3} 与 {?12 ? 5} 中的公共项,它们组 成以 ? 17 为首项,以 ? 12 为公差的等差数列. ∵ an ? S ? T ,且 {an } 成等差数列, a1 是 S ? T 中的最大数, ∴ a1 ? ?17 ,其公差为 ? 12k (k ? N * ) .

1 0 当 k ? 1 时, an ? a1 ? (n ? 1)d ? ?17 ? (n ? 1) ? (?12) ? ?12n ? 5 ,
此时 a10 ? ?120? 5 ? ?125? (?265 ,?125) ∴不满足题意,舍去.

2 0 当 k ? 2 时, an ? a1 ? (n ? 1)d ? ?17 ? (n ? 1) ? (?24) ? ?24n ? 7 ,
此时 a10 ? ?240? 7 ? ?233? (?265 ,?125) , ∴ an ? ?24n ? 7 .

30 当 k ? 3 时, an ? a1 ? (n ? 1)d ? ?17 ? (n ? 1) ? (?36) ? ?36n ? 19 .
此时 a10 ? ?360? 19 ? ?341? (?265 ,?125) ,不满足题意,舍去. 综上所述,所求通项为 an ? ?24n ? 7 .


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