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直线与平面垂直的判定练习题


直线、平面垂直的判定与性质
(时间:45 分钟 分值:100 分)

基础热身 1.[2013· 太原一模] 设 α,β 是两个不同的平面,l 是一条直线,以下命题正确的是( ) A.若 l⊥α,α⊥β,则 l?β B.若 l⊥α,α∥β,则 l⊥β C.若 l∥α,α∥β,则 l?β D.若 l∥α,α⊥β,则 l⊥β 2.[2013· 沈阳一模]

用 a,b,c 表示三条不同的直线,γ 表示平面,给出下列命题:①若 a∥b,b∥c,则 a∥c;②若 a⊥b,b⊥c,则 a⊥c;③若 a∥γ,b∥γ,则 a∥b;④若 a⊥γ,b ⊥γ ,则 a∥b. 其中真命题的序号是( ) A.①② B.②③ C.①④ D.③④ 3.[教材改编试题] 如图 K41-1,在三棱锥 D-ABC 中,若 AB=CB,AD=CD,E 是 AC 的中点,则下列命题中正确的为( )

图 K41-1 A. 平面 ABC⊥平面 ABD B. 平面 ABD⊥平面 BCD C. 平面 ABC⊥平面 BDE,且平面 ACD⊥平面 BDE D. 平面 ABC⊥平面 ACD,且平面 ACD⊥平面 BDE 4.[2013· 长春三模] PA 垂直于正方形 ABCD 所在平面,连接 PB,PC,PD,AC,BD,则 下列垂直关系正确的是( ) ①平面 PAB⊥平面 PBC;②平面 PAB⊥平面 PAD; ③平面 PAB⊥平面 PCD;④平面 PAB⊥平面 PAC. A.①② B.①③ C.②③ D.②④

能力提升 5.[2013· 济南三模] 如图 K41-2,已知六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正六边形,PA⊥平 面 ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是( )

图 K41-2 A.PB⊥AD B.平面 PAB⊥平面 PBC C.直线 BC∥平面 PAE D.直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45°

π 6.[2013· 石家庄三模] 一直线和平面 α 所成的角为 ,则这条直线和平面内的直线所成 3 角的取值范围是( ) π π π A.?0, ? B.? , ? 3? ? ?3 2? π 2π π C.? , ? D.? ,π ? 3 ? ?3 ?3 ?

图 K41-3 7.如图 K41-3,三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,∠BAC=90°,PA=AB,则直线 PB 与平面 ABC 所成的角是( ) A.90° B.60° C.45° D.30° 8.[2013· 郑州一模] 设 a,b,c 表示三条不同的直线,α,β 表示两个不同的平面,则下 列命题中不正确的是( ) ? c⊥α ? ? ?c⊥β A. α∥β? ? B.
? ? ? ?b⊥c ? c是a在β内的射影?

b?β ,a⊥b

C. b∥c,b?α ,c?α ?c∥α a∥α ? ? ? ?b⊥α D. ? b⊥a ? 9.[2013· 西安三模] 已知 m,n 是两条不同的直线,α ,β 为两个不同的平面,有下列四 个命题: ①若 m⊥α,n⊥β,m⊥n,则 α⊥β;②若 m∥α,n∥β,m⊥n,则 α∥β;③若 m⊥α,n∥β, m⊥n,则 α∥β;④若 m⊥α,n∥β,α∥β,则 m⊥n. 其中所有正确的命题是( ) A.①④ B.②④ C.① D.④ 10.设 α,β,γ 为彼此不重合的三个平面,l 为直线,给出下列命题: ①若 α∥β,α⊥γ,则 β⊥γ; ②若 α⊥γ,β⊥γ,且 α∩β=l,则 l⊥γ; ③若直线 l 与平面 α 内的无数条直线垂直,则直线 l 与平面 α 垂直; ④若 α 内存在不共线的三点到 β 的距离相等,则平面 α 平行于平面 β. 上面命题中,真命题的序号为________.(写出所有真命题的序号) 11.[2013· 武汉三模] 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是棱 AA1 和 AB 上的点,若 ∠B1MN 是直角,则∠C1MN=____________. 12.α ,β 是两个不同的平面,m,n 是平面 α 及 β 之外的两条不同直线,给出四个论断: ①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出 你认为正确的一个命题为__________________. 13.[2013· 南昌三模] 球 O 与正方体 ABCD-A1B1C1D1 各面都相切,P 是球 O 上一动点, AP 与平面 ABCD 所成的角为 α,则 α 最大时,其正切值为__________. 14.(10 分)如图 K41-4 所示,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=1, AA1=2,E 是侧棱 BB1 的中点. (1)求证:A1E⊥平面 ADE; (2)求三棱锥 A1-ADE 的体积.

图 K41-4

15. (13 分)如图 K41-5, 在四棱锥 P-ABCD 中, 平面 PAD⊥平面 ABCD, AB=AD, ∠BAD =60°,E,F 分别是 AP,AD 的中点. 求证:(1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD.

图 K41-5

难点突破 16.(12 分)如图 K41-6,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1B1=A1C1,D,E 分别是棱 BC, CC1 上的点(点 D 不同于点 C),且 AD⊥DE,F 为 B1C1 的中点. 求证:(1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)直线 A1F∥平面 ADE.

图 K41-6

课时作业(四十一) 【基础热身】 1.B [解析] 对于选项 A,C,可能 l∥β,所以 A,C 均不正确.对于选项 D,可能 l∥β 或 l?β 或 l 与 β 相交,所以 D 不正确. 2.C [解析] 由公理 4 知①是真命题.在空间内 a⊥b,b⊥c,直线 a,c 的关系不确定, 故②是假命题.由 a∥γ,b∥γ,不能判定 a,b 的关系,故③是假命题.④是直线与平面垂直 的性质定理. 3.C [解析] 因为 AB=CB,且 E 是 AC 的中点,所以 BE⊥AC,同理有 DE⊥AC,于是 AC⊥平面 BDE.因为 AC?平面 ABC,所以平面 ABC⊥平面 BDE.又由于 AC?平面 ACD,所以 平面 ACD⊥平面 BDE.故 C 正确. 4.A [解析] 易证 BC⊥平面 PAB,则平面 PAB⊥平面 PBC,又 AD∥BC,故 AD⊥平面 PAB,则平面 PAD⊥平面 PAB,因此选 A. 【能力提升】 5.D [解析] ∵AD 与 PB 在平面 ABC 内的射影 AB 不垂直, ∴A 不成立; 又平面 PAB⊥平面 PAE, ∴平面 PAB⊥平面 PBC 也不成立; ∵BC∥AD, ∴BC∥ 平面 PAD,∴直线 BC∥平面 PAE 不成立.在 Rt△PAD 中,PA=AD=2AB,∴∠PDA=45°. ∴D 正确. π 6.B [解析] 由最小角定理,知这条直线和平面内的直线所成角中最小角为 ,最大角 3 π 是当斜线与平面 α 内的一条直线垂直时所成的角,它为 . 2 7.C [解析] ∵PA⊥平面 ABC,∴PB 在平面 ABC 上的射影是 AB,∴∠PBA 是直线 PB 与平面 ABC 所成的角.又在△PAB 中,∠BAP=90°,PA=AB,∴∠PBA=45°,∴直线 PB 与平面 ABC 所成的角是 45°. 8.D [解析] 由 a∥α,b⊥a 可得 b 与 α 的位置关系有 b∥α,b?α ,b 与 α 相交,所以 D 不正确. 9. A [解析] 我们借助于长方体模型来解决本题. 对于①, 可以得到平面 α, β 互相垂直, 如图(1)所示,故①正确;对于②,平面 α,β 可能垂直,如图(2)所示;对于③,平面 α,β 可 能垂直,如图(3)所示;对于④,由 m⊥α,α∥β 可得 m⊥β,因为 n∥β,所以过 n 作平面 γ, 且 γ∩β=g,如图(4)所示,所以 n 与交线 g 平行,因为 m⊥g,所以 m⊥n.

10.①② [解析] ①②正确,由题可知③中无数条直线不能认定为任意一条直线,所以③ 错,④中的不共线的三点有可能是在平面β 的两侧,所以两个平面可能相交也可能平行,故 填①②. 11.90° [解析] 在正方体中,C1B1⊥平面 ABB1A1,而 MN?平面 ABB1A1,∴C1B1⊥MN. 又∠B1MN 是直角,即 MN⊥MB1,而 MB1∩C1B1=B1,∴MN⊥平面 MB1C1,∴MN⊥MC1, 即∠C1MN=90°. 12.②③④?①(或①③④?②) [解析] 根据线面、面面垂直的定义、判定定理和性质可 知,正确的有②③④?①或①③④?②. 13.2 2 [解析] 过正方体的对角面 ACC1A1 作截面,如图所示, M,N 为切点,当 AP 与平面 ABCD 所成的角最大时,AP 为圆 O 的切线. 2 设正方体的棱长为 2,则 OM=1,AM= 2,tan∠OAM= , 2 2tan∠OAM tanα =tan2∠OAM= =2 2. 1-tan2∠OAM

14.解:(1)证明:由勾股定理知,A1E= 1+1= 2,AE= 1+1= 2,则 A1A2=A1E2 +AE2,∴A1E⊥AE. ∵AD⊥平面 AA1B1B,A1E?平面 AA1B1B,∴A1E⊥AD. 而 AD∩AE=A,∴A1E⊥平面 ADE. 1 (2)S△AA1E= · 2· 2=1, 2 1 1 1 ∴VA1-ADE=VD-A1AE= ·S△AA1E·AD= ×1×1= . 3 3 3 15.证明:(1)在△PAD 中,因为 E,F 分别为 AP,AD 的中点, 所以 EF∥PD. 又因为 EF?平面 PCD,PD?平面 PCD, 所以直线 EF∥平面 PCD. (2)连接 BD.因为 AB=AD,∠BAD=60°, 所以△ABD 为正三角形. 因为 F 是 AD 的中点,所以 BF⊥AD. 因为平面 PAD⊥平面 ABCD,BF?平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,所以 BF⊥ 平面 PAD. 又因为 BF?平面 BEF,所以平面 BEF⊥平面 PAD. 【难点突破】 16.证明:(1)∵ABC-A1B1C1 是直三棱柱,∴CC1⊥平面 ABC. 又∵AD?平面 ABC,∴CC1⊥AD. 又∵AD⊥DE,CC1,DE?平面 BCC1B1,CC1∩DE=E, ∴AD⊥平面 BCC1B1. 又∵AD?平面 ADE,∴平面 ADE⊥平面 BCC1B1. (2)∵A1B1=A1C1,F 为 B1C1 的中点,∴A1F⊥B1C1. 又∵CC1⊥平面 A1B1C1,且 A1F?平面 A1B1C1,∴CC1⊥A1F. 又∵CC1,B1C1?平面 BCC1B1,CC1∩B1C1=C1, ∴A1F⊥平面 BCC1B1. 由(1)知,AD⊥平面 BCC1B1,∴A1F∥AD. 又∵AD?平面 ADE,A1F?平面 ADE, ∴直线 A1F∥平面 ADE.


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