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斐波那契数列的隐含周期性质


图形计算器研究斐波那契数列隐含周期性

所在省市: 作者姓名: 所在学校: 指导教师:

天津市 李元亨 天津耀华中学 王洪亮

一.简单背景介绍
斐波那契数列, 又称兔子数列, 是一种最简单的递归数列; 它的提出, 首先在斐波那契的 《算 盘之书》中出现,有趣的是,斐波那契只是把这种简单的计算关系作为十进制数字比罗马数 字简单的优越性的一个例子,这个例子又叫做兔子谜题,原题如下: 一般而言,兔子在出生两个月后,就有繁殖能力。 一对兔子每个月能生出一对小兔子来。 如果所有兔都不死,那么一年以后可以繁殖多少对兔子? 简单分析一下,可知: 幼仔对数=前月成兔对数 成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数 总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数 可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有十分明显的特点, 那是:前面相邻两项之和,构成了后一项。 这样我们就得到了一个递归式:Fn =F(n-1)+F(n-2)(n>=2,n∈N*)

三.关于斐波那契数列周期性性质的探究
斐波那契数列的无穷递增的性质很容易根据图形计算器的图形得到探究。 我相信任何一个无 穷递增数列的性质应当不仅仅与数列中每项的数字或数本身有关, 也应当进行其在与数字进 行其他运算方法的关系。利用类比的数学思想,我认为,有许多种无穷递增数列,即使在每 项本身没有较易发现的关系,在经过某种运算后也可以体现出特殊的性质——体现周期性。 因此, 我们有不太充分的理由可以相信, 斐波那契数列经过一种或几种特殊的运算之后也应 当可以体现出某种周期关系。 为了让一个递增数列体现出一种周期性, 我们只可以使其失去递增的特点, 否则永远无法继 续上一个周期。 首先我只是认为斐波那契数列的末位数应当有周期关系 (只要出现连续两项 于前面的连续两项相等,后面必定具有周期性,证明从略)为了探讨这个问题,我将斐波那 契数列一直用笔列至 70 项,使用了大量的时间,经过了巨大的运算量才发现了规律。后来, 经过分析我认为斐波那契数列中每一项的末尾数即是每一项除以 10 的余数。 所以我们可以探讨对其他数取余的情况, 经过了如此大规模的计算, 我认为我应当可以减少 计算量。突然,一个想法映入我的脑海:可使用图形计算其强大的计算功能来帮助我进行研 究,并可以使用图表、递归等多种方式生动的将我的结论展现出来。

(一)斐波那契数列的周期性关系
对于斐波那契数列是否具有隐含的周期性, 及余数的周期性我们应当先进行较为一般性的探 究,所以我们定义一个数列 bn = bn mod m(m 是整数) ,以探究 bn 的周期性。为了更深层 地讨论周期性问题,我们可以定义一个数列 kn,以代表 bn= bn mod n 的周期长度。 1)首先我们讨论一下周期的存在性 利用上面建立的斐波那契数列 an 建立一个 bn 体现其余数关系。 我们任取一个数,比如说 11 (bn=an+1-int(an+1/11)*11)即斐波那契数列中每一项对 11 取余。

这时,k(11)=10。下面这个表格展示了一个周期里的数字。 项数 b(n) 1 1 2 1 3 2 4 3 5 5 6 8 7 2 8 10 9 1 10 0

2)数表不容易体现其周期性,所以观察其连续图。

可以体现了较为明显的周期性,所以周期在 m=11 时存在。这时 k(11)=10 不过我们还可以尝试一下其他的数使斐波那契数列的每一项对其取余, 以确定这不是一个偶 发事件。 3)所以我们把 bn 的式子改为 bn=an+1-int(an+1/22)*22 即斐波那契数列中每一项对 22

取余。 这时 k(22)=30 递归还是可以体现很明显的周期性,不过显然周期中数字的个数 k(22)=30 要长很多。 下面这个表格展示了一个周期里的数字。

项数 b(n) 16 19

1 1 17 13

2 1 18 10

3 2 19 1

4 3 20 11

5 5 21 12

6 8 22 1

7 13 23 13

8 21 24 14

9 12 25 5

10 11 26 19

11 1 27 2

12 2 28 21

13 13

14 3 29 1

15 16 30 0

而和等比数列不同的是,其周期中数字个数的在取余时变化(周期长度的变化)在除数变化 不太大时,周期长度的差异不是很大,而在斐波那契数列中的每一项对其他数取余时,周期 的变化就很明显了。这就是斐波那契数列相似的周期性中的不同点。 4)我们把 bn 的式子改为 bn=an+1-int(an+1/8)*8 即斐波那契数列中每一项对 8 取余。这 时 k(8)=12 下面这个表格展示了一个周期里的数字。

5)在探究周期性的同时我们可以得到一个发现,即每一个周期的最后一个数都是 0,而前 一个数是 1。更有趣的猜想是,每一项的周期数 k(n)似乎都是一个偶数。 项数 b(n)

1 1

2 1

3 2

4 3

5 5

6 0

7 5

8 5

9 2

10 7

11 1

12 0

这时极易找出一个反例,即在 n=2 时,k(2)=3

项数 b(n)

1 1

2 1

3 0

显然,我们为了确认是否是 k(n)在 n>2 时是偶数还需进一步验证。 下面为了节约篇幅,展示出我得到的一组数据。

n 3 k(n) 8 20 21 60 16

4 6 22 30

5 20 23 48

6 24 24 24

7 16 26 84

8 12 27 72

9 24 28 48

10 60 29 14

11 10 31 30

12 24 32 48

13 28 33 40

14 48 34 36

15 40 35 80

16 24 36 24

17 36 37 76

18 24

19 18

后有经过多次程序验证,我们可以得知在 n<1500 时这个猜想成立,进一步的证明还需要较 高级的数学知识。

(二)周期长短的问题
经过刚才的验证,我们可以更了解到 k(n)的性质。刚才我们在试验斐波那契数列对 10 取余 时,发现对 10 取余时得到的 k(10)非常之大,已经远远大于 24 和 10,更有 k(25)与 k(30) 已经远远大于 100,使我不禁怀疑了以上结论的正确性,不过最终找到了结果。 1)下面我们尝试一下对 10 取余。

这是对 10 取余之后得到的 bn,好像失去了周期性。 2)对于刚才的数据,我们观察到 k(5)=20 远大于 k(4)和 k(7)。所以我们可以做出一个猜想— —即这个数列的周期长度和 5 一定有某种关系。 3)为了验证上面的猜想,我们作出项数与周期长度散点图。

可以发现,在 5 的倍数时周期长度偏大,且每 5 个数体现一定的周期递变性。

(三)斐波那契数列周期长度的关系
经过刚才的验证,我们可以更了解到 k(n)的性质。刚才我们在试验斐波那契数列对 11 取余 时可以发现,周期长度正好等于 11-1=10。 我认为这不只是一个巧合,还另有其他道理。11 是一个质数,我觉得我们可以从质数角度 下手,来进一步讨论这个问题。但显然,下一个质数 13 就没有这样的性质,k(13)=28(如

下图) 1)根据刚才的推测,我认为 5 是解决这个问题的关键,因此我们需要找到一个比 11 多 5k 的

一个质数,自然而然,31 是下一个讨论的对象。 2)我们来做一下 b(31)并求一下 k(31),如下表。

项数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 b(n) 1 1 2 3 5 8 13 21 3 24 28 10 16 5 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 26 16 11 27 7 3 10 13 23 5 28 2 30 1

15 21 30 0

这时也符合 k(p)=p-1,(p=5n+1,p 为质数) 3)关于其他质数的讨论: 我认为这种关系不应当仅仅限于小部分质数,还已经得到了一些关于其他质数的 k(p),比如 说 k(29)=14(如图表)

项数 b(n)

1 1

2 1

3 2

4 3

5 5

6 8

7 13

8 21

9 5

10 26

11 2

12 28

13 1

14 0

这时 k(29)=14,而 29-1=28,刚才的结论对其无效。但 14 是 28 的一个因数,这应该不仅仅是 一个巧合。 下面再试验一下 k(19)。如图

项数 b(n)

1 1

2 1

3 2

4 3

5 5

6 7 8 13

8 9 10 2 15 17

11 13

12 11

13 14 15 16 5 16 2 18

17 1

18 0

k(19)=18 4)这时结论可更正为 p =5k±1 时 k(p)|(p-1)

关于结论的一些想法
毕竟,我们只是解决了 p =5k±1 时的质数的 k(p)的关系,离彻底解决问题还差很多,毕竟 这篇文章中的大多数结论只是在小范围内总结出来的, 未经证明的一些想法, 不具有更大的 普遍性,还需要进一步证明一下。

结论与感悟
我们利用图形计算器, 可以做到生活中不方便利用实物完成, 且完成得不如图形计算器有趣 的数据分析, 并且减少了很大的计算量。 图形计算器的参与让数学更简单, 更有趣, 更美好。 整个探索开始是一次我在公交车上的突发奇想, 而图形计算机的参与使得我在很多看似难以 进行大规模数学计算的时候分析了如此多的数据。 在难以分析的情况下使用并利用图形计算 器的卓越数据处理关系更可以直观的观察出数据之间不容易用简单数据表达的内在关系, 图 形的引入更加增加了研究的多方面性。如果要进行笔算,仅是计算就会耗费大量的时间,又 使人难以快速观察出许多隐含的关系。


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