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高2013级12月月考试题(文科)高二上答案


高 2013 级 12 月月考试卷 文 科 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的。 1. 命题“若 c<0,则方程 x +x+c=0 有实数解”,则( ) A.该命题的逆命题为真,逆否命题也为真 B.该命题的逆命题为真,逆否命题也假 C.该命题的逆命题为假,逆否命题为真 D.该命题的逆命题为假,逆否命题也为假 2.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周所得的几何体包括( ) A.一个圆台、两个圆锥 B.一个圆台、一个圆柱 C.两个圆台、一个圆柱 D.一个圆柱、两个圆锥 3.某大学数学系共有本科生 5 000 人,其中一、二、三、四年级的人数比为 4∶3∶2∶1, 要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为 200 的样本, 则应抽取三年级的学生人 数为( ) A.80 B.40 C.60 D.20 4. 设 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面( ) A.若 m⊥n,n∥α ,则 m⊥α B.若 m∥β ,β ⊥α ,则 m⊥α C.若 m⊥β ,n⊥β ,n⊥α ,则 m⊥α D.若 m⊥n,n⊥β ,β ⊥α ,则 m⊥α 5.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示, 则该几何体的侧(左)视图为( )
2

6.若正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面边长为 1,AB1 与 底面 ABCD 成 60°角,则 D1 到底面 ABCD 的距离为( ) 3 B.1 C. 2 D. 3 3 7.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,如果输入某个 A. 正整数 n 后,输出的 S∈

?10,20? ,那么 n 的值为

(

)

A.3 B.4 C.5 D.6 8.在箱子里装有十张纸条,分别写有 1 到 10 的十个整数. 从箱子中任取一张纸条,记下它的读数 x,然后再放回箱子 中,第二次再从箱子中任取一张纸条,记下它的读数 y,则 x+y 是 10 的倍数的概率为( ) 1 A. 2 B. 1 4 1 C. 5 D. 1 10

9.下列叙述中正确的是( ) 2 2 A.若 a,b,c∈R,则“ax +bx+c≥0”的充分条件是“b -4ac≤0” 2 2 B.若 a,b,c∈R,则“ab >cb ”的充要条件是“a>c”

C.命题“对任意 x∈R,有 x ≥0”的否定是“存在 x∈R,有 x ≥0” D.l 是一条直线,α ,β 是两个不同的平面,若 l⊥α ,l⊥β ,则 α ∥β 10 如图, 动点 P 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的对角线 BD1 上. 过点 P 作垂直于平面 BB1D1D 的直线, 与正方体表面相交于 M、N.设 BP=x,MN=y,则函数 y=f(x)的图象大致是( ) 。

2

2

答案 选择题 填空题

C D B C D 72, 60, 1 , 2

D B D D B 2 2+1, ①③④⑤

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11.某校从参加高二年 级学业水平测试的学生中抽出 80 名学生,其数学成绩 (均为整数)的 频率分布直方图如图所示.估计这次测试中数学成绩的平均分为________.

12.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是________. 13. 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,在正方体内 1 随机取点 M,则使四棱锥 M-ABCD 的体积小于 的概率为________ 6 14.正四棱锥 S ?ABCD 的底面边长为 4,高为 3,E 是边 BC 的中点,动点 P 在表面上运动, 并且总保持 PE⊥AC,则动点 P 的轨迹的周长为________. 15.如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1, P 为 BC 的中点,

Q 为线段 CC1 上的动点,过点 A, P, Q 的平面截该正方体所得的截面
记为 S ,则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号). ① ② 当 0 ? CQ ? 当

1 时, S 为四边形; 2

3 ? CQ ? 1 时, S 为六边形; 4 1 ③当 CQ ? 时, S 为等腰梯形; 2

④当 CQ ? 1 时, S 的面积为

3 1 6 ;⑤当 CQ ? 时, S 与 C1 D1 的交点 R 满足 C1 R ? . 4 3 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16、(本小题满分 12 分) 某校高三某班的一次数学测验成绩(满分为 100 分)的茎叶图和频率分布直方图都受到 不同程度的破坏,但可见部分如图所示,据此解答如下问题:

(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数; (2)求分数在[80,90)之间的频数,并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高; (3)若要从分数在[80, 100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况, 在抽取的试卷中, 求至少有一份分数在[90,100]之间的概率. 【解】 (1)分数在[50,60)的频率为 0.008×10=0.08. 由茎叶图知:分数在[50,60)之间的频数为 2, 所以全班人数为 2 =25. 0.08

(2)分数在[80,90)之间的频数为 25-2-7-10-2=4; 4 频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为 ÷10=0.016. 25 (3)由(2)知,分数在[80,90)之间有 4 个,在[90,100]之间的有 2 个. 设分数在[80,90)之间的为 a1,a2,a3,a4,在[90,100]之间的为 b1,b2. ∴分数在[80,100]之间的试卷中任取两份共有(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b1), (a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1), (a4,b2),(b1,b2),共 15 种情况. 记“抽取的试卷中,至少有一份分数在[90,100]之间”为事件 A,则 A 包含的基本事 件数 m=15-6=9, 9 由古典概型,P(A)= =0.6, 15

故至少有一份分数在[90,100]之间的概率为 0.6.

17(本小题满分 12 分) (1).已知 p:x -6x+5≤0,q:(x-m+1)·(x-m-1)≤0,若綈 p 是綈 q 的充分不必要条 件,求实数 m 的取值范围.
?2x-2a,(x≥2a), ? x (2). 已知 a>0, 设命题 p: 函数 y=a 在 R 上单调递减, q: 设函数 y=? ? ?2a,(x<2a),
2

函数 y>1 恒成立,若 p∧q 为假,p∨q 为真,求 a 的取值范围. 【解析】(1) 由 x -6x+5≤0 得 1≤x≤5,即 p:1≤x≤5, 由(x-m+1)(x-m-1)≤0 得 m-1≤x≤m+1, 即 q:m-1≤x≤m+1,
2

由题意知,q 是 p 的充分不必要条件,则有{x|m-1≤x≤m+1} 所以?
? ?m-1≥1, ?m+1≤5, ?

{x|1≤x≤5},

解得 2≤m≤4.

(2) 若 p 是真命题,则 0<a<1, 若 q 是真命题,则 ymin>1,又 ymin=2a,∴2a>1, 1 ∴q 为真命题时 a> . 2 又∵p∨q 为真,p∧q 为假,∴p 与 q 一真一假. 1 若 p 真 q 假,则 0<a≤ ;若 p 假 q 真,则 a≥1. 2 1 故 a 的取值范围为 0<a≤ 或 a≥1. 2

18. (本小题满分 12 分) 如图所示,在三棱锥 P ? ABC 中,D,E,F 分别为 棱 PC,AC,AB 的中点.已知 PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5. 求证:(1)直线 PA∥平面 DEF;(2)平面 BDE⊥平面 ABC. 证明: (1)因为 D,E 分别为棱 PC,AC 的中点,所以 DE∥PA.又因为 PA?平面 DEF,DE ? 平面 DEF,所以直线 PA∥平面 DEF. 1 (2)因为 D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点,PA=6,BC=8,所以 DE∥PA,DE= PA 2 1 2 2 2 =3,EF= BC=4.又因为 DF=5,所以 DF =DE +EF ,所以∠DEF=90°,即 DE⊥EF.又 PA 2 ⊥AC,DE∥PA,所以 DE⊥AC.因为 AC∩EF=E,AC? 平面 ABC,EF? 平面 ABC,所以 DE⊥平 面 ABC.

又 DE? 平面 BDE,所以平面 BDE⊥平面 ABC.

19. (本小题满分 12 分) 某幼儿园小班的美术课上, 老师带领小朋友们用水彩笔为美术本上如右图所示的两个大小不 同的气球涂色,要求一个气球只涂一种颜色,两个气球分别涂不同的颜色.该班的小朋友牛 牛现可用的有暖色系水彩笔红色、橙色各一支,冷色系水彩笔绿色,蓝色,紫色各一支. (1)牛牛从他可用的五支水彩笔中随机的取出两支按老师要求为气球涂色,问两个气球同为 冷色的概率是多大? (2)一般情况下,老师发出开始指令到涂色活动全部结束需要 10 分钟.牛牛至少需要 2 分钟 完成该项任务.老师在发出开始指令 1 分钟后随时可能来到牛牛身边查看涂色情况.问当老 师来到牛牛身边时牛牛已经完成任务的概率是多大? 解析 :解:(1)如下表格, 红色 红色 橙色 绿色 蓝色 紫色 0 1 1 1 1 橙色 1 0 1 1 1 绿色 1 1 0 2 2 蓝色 1 1 2 0 2 紫色 1 1 2 2 0 ????2 分 ????4 分 ????6 分

易知两个气球共 20 种涂色方案, 其中有 6 种全冷色方案, 故所求概率为

6 3 ? 20 10

(2)老师发出开始指令起计时,设牛牛完成任务的时刻为 x ,老师来到牛牛身边检查情况 的时刻为 y ,则由题有 ?

?2 ? x ? 10 ??式 1, 1 ? y ? 10 ?

?2 ? x ? 10 ? 若当老师来到牛牛身边时牛牛已经完成任务,则 ?1 ? y ? 10 ??式 2, ?x ? y ?
如下图所示,所求概率为几何概率 10 阴影部分(式 2)面积为 10 分

1 ? (10 ? 2) ? (10 ? 2) ? 32 2

可行域(式 1)面积为 (10 ? 1) ? (10 ? 2) ? 72 1 0 2 10 所求概率为

32 4 ? 72 9

12 分

20. (本小题满分 13 分) 如图,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=1,AD= 3,

AB⊥BC,CD⊥BD,如图 20(1).把△ABD 沿 BD 翻折,使得平面 A′BD⊥平面 BCD, .

(1)求证:CD⊥A′B;(2)求三棱锥 A′—BDC 的体积; (3)在线段 BC 上是否存在点 N,使得 A′N⊥BD?若存在,请求出 的值;若不存在,请 说明理由. 【解】 (1)证明 ∵平面 A′BD⊥平面 BCD, 平面 A′BD∩平面 BCD=BD,CD⊥BD, ∴CD⊥平面 A′BD, 又∵A′B? 平面 A′BD,∴CD⊥A′B. (2)如图(1),在 Rt△ABD 中,BD= AB +AD =2.
2 2

BN BC

∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC=30°. 2 3 在 Rt△BDC 中,DC=BDtan 30°= . 3 1 2 3 ∴S△BDC= BD·DC= . 2 3 在图(2)的 Rt△A′BD 中,过点 A′作 A′E⊥BD 于 E(如图所示), ∴A′E⊥平面 BCD. ∵A′E=

A′B·A′D 3 = , BD 2

1 1 2 3 3 1 ∴VA′—BDC= ·S△BDC·A′E= · · = . 3 3 3 2 3 (3)在线段 BC 上存在点 N,使得 A′N⊥BD,理由如下: 1 2 2 在 Rt△A′EB 中,BE= A′B -A′E = , 2



BE 1 = . BD 4

过点 E 作 EN∥DC 交 BC 于点 N, 则

BN BE 1 = = , BC BD 4

∵CD⊥BD,∴EN⊥BD. 又 A′E⊥BD,A′E∩EN=E, ∴BD⊥平面 A′EN, 又 A′N? 平面 A′EN,∴A′N⊥BD. ∴在线段 BC 上存在点 N,

BN 1 使得 A′N⊥BD,此时 = . BC 4

21.(本小题满分 14 分) 如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视 图.在直观图中,M 是 BD 的中点.侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数 据如图所示. (1)求出该几何体的体积;(2)求证:EM∥平面 ABC; (3)试问在棱 DC 上是否存在点 N,使 NM⊥平面 BDE? 若存在,确定点 N 的位置;若不存在,请说明理由. 解析:由题意,EA⊥平面 ABC,DC⊥平面 ABC,

AE∥DC,AE=2, DC=4,AB⊥AC,且 AB=AC=2.
(1)∵EA⊥平面 ABC,∴EA⊥AB,又 AB⊥AC, ∴AB⊥平面 ACDE. ∴四棱锥 B?ACDE 的高 h=AB=2,梯形 ACDE 的面积 S=6, 1 ∴VB?ACDE= Sh=4,即所求几何体的体积为 4. 3 (2)证明:∵M 为 DB 的中点,取 BC 中点 G,连接 EM,MG,AG,

1 ∴MG∥DC,且 MG= DC, 2 ∴MG 平行且等于 AE, ∴四边形 AGME 为平行四边形, ∴EM∥AG,又 AG? 平面 ABC,EM? 平面 ABC, ∴EM∥平面 ABC. (3)由(2)知,EM∥AG, 又∵平面 BCD⊥底面 ABC,AG⊥BC, ∴AG⊥平面 BCD. ∴EM⊥平面 BCD,又∵EM? 平面 BDE, ∴平面 BDE⊥平面 BCD. 在平面 BCD 中,过 M 作 MN⊥DB 交 DC 于点 N, ∴MN⊥平面 BDE,点 N 即为所求的点, △DMN∽△DCB, ∴

DN DM DN 6 = ,即 = , DB DC 4 2 6

3 ∴DN=3,∴DN= DC, 4 3 ∴边 DC 上存在点 N,满足 DN= DC 时,有 NM⊥平面 BDE. 4


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