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第11炼 函数零点的性质问题


第二章

第 11 炼 函数零点的性质

函数及其性质

第 11 炼 函数零点的性质
一、基础知识: 1、函数零点,方程,图像交点的相互转化:有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转 化,且这三者各具特点: (1)函数的零点:有“零点存在性定理”作为理论基础,可通过区间端点值的符号和函数 的单调性确定是否存在

零点 (2)方程:方程的特点在于能够进行灵活的变形,从而可将等号两边的表达式分别构造为 两个可分析的函数,为作图做好铺垫 (3)图像的交点:通过作图可直观的观察到交点的个数,并能初步判断交点所在区间。 三者转化:函数 f ? x ? 的零点 ?方程 f ? x ? ? 0 的根 ???? ? 方程 g ? x ? ? h ? x ? 的根 ?
方程变形

函数 g ? x ? 与 h ? x ? 的交点 2、此类问题的处理步骤: (1)作图:可将零点问题转化成方程,进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题, 并作出函数图像 (2)确定变量范围:通过图像与交点位置确定参数和零点的取值范围 (3)观察交点的特点(比如对称性等)并选择合适的方法处理表达式的值, 3、常见处理方法: (1)代换法:将相等的函数值设为 t ,从而用 t 可表示出 x1 , x2 ,? ,将关于 x1 , x2 ,? 的表达 式转化为关于 t 的一元表达式,进而可求出范围或最值 (2)利用对称性解决对称点求和:如果 x1 , x2 关于 x ? a 轴对称,则 x1 ? x2 ? 2a ;同理, 若 x1 , x2 关于 ? a,0 ? 中心对称,则也有 x1 ? x2 ? 2a 。将对称的点归为一组,在求和时可与 对称轴(或对称中心)找到联系 二、典型例题: 例 1:已知函数 f ? x ? ? lg x ,若 0 ? a ? b ,且 f ? a ? ? f ?b? ,则 a ? 2b 的取值范围是 ( A. )

?2

2, ??

?

B. ? 2 2, ??

?

?

C.

?3, ???

D.

?3, ?? ?

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思路:先做出 f ? x ? 的图像,通过图像可知,如果 f ? a ? ? f ?b? ,则 0 ? a ? 1 ? b ,设

? ? lg a ? t f ? a ? ? f ?b? ? t ,即 ? ? t ? 0 ? ,由 a , b 范围 ? ? lg b ? t
?t ? ?lg a ? ?t ?a ? e ?? 可得:lg a ? 0,lg b ? 0 ,从而 ? , t ? ?lg b ? t ?b ? e

所 以 a ? 2b ?

1 ? 2 e t , 而 et ? 0 , 所 以 t e

2e t ?

1 ? ? 3 ,? ? ? et

答案:C 小炼有话说: (1)此类问题如果 f ? x ? 图像易于作出,可先作图以便于观察函数特点 (2)本题有两个关键点,一个是引入辅助变量 t ,从而用 t 表示出 a , b ,达到消元效果,但 是要注意 t 是有范围的(通过数形结合 y ? t 需与 y ? f ? x ? 有两交点) ;一个是通过图像判 断出 a , b 的范围,从而去掉绝对值。

?? ? ? cos ? x ? ? , x ? ?0,? ? ? ? ? 2? 例 2 :已知函数 f ? x ? ? ? ,若有三个不同的实数 a, b, c ,使得 x ?log , x ? ?? , ?? ? 2015 ? ? ?
f ? a? ? f ? b? ? f ? c ? ,则 a ? b ? c 的取值范围是
________ 思路: f ? x ? 的图像可作,所以考虑作出 f ? x ? 的图像, 不妨设 a ? b ? c ,由图像可得: f ? a ? ? f ?b? ? ? 0,1?

a, b ??0,? ? ,且关于 x ?
f ? c ? ? log 2015

?

a?b ? ? ? a ? b ? ? ,再观察 c ? ? ,且 2 2 2 c c ? f ? a ? ? ? 0,1? , 所 以 0 ? log 2015 ? 1 ? ? ? c ? 2015? , 从 而

?

轴对称,所以有

?

?a ? b ?

? c? ?

?c ?6 ?2?? , 2 0 1 ?

答案: ? 2? ,2016? ? 小炼有话说:本题抓住 a , b 关于 x ? 求式子只需考虑 c 的范围即可
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?
2

对称是关键,从而可由对称求得 a ? b ? ? ,使得所

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?log 1 ( x ? 1), x ? ? 0,1? ? 2 例 3:定义在 R 上的奇函数 f ? x ? ,当 x ? 0 时, f ? x ? ? ? ,则关于 x ? ?1 ? x ? 3 , x ? ?1, ?? ?
的函数 F ? x ? ? f ? x ? ? a(0 ? a ? 1) 的所有零点之和为( A. 2 ? 1
a



B. 1 ? 2

a

C. 2

?a

?1

D. 1 ? 2

?a

思路: f ? x ? 为奇函数,所以考虑先做出正半轴的图 像,再利用对称作出负半轴图像,当 x ? 0 时,函数 图象由两部分构成,分别作出各部分图像。 F ? x ? 的 零点,即为方程 f ? x ? ? a ? 0 的根,即 f ? x ? 图像与 直线 y ? a 的交点。 观察图像可得有 5 个交点:x1 , x2 关 于

x ? ?3







x1 ? x2 ? ?6



x3 ? 0











f ? x3 ? ? a ? ? f ? x3 ? ? ?a ? f ? ? x3 ? ? ?a 即 log 1 ? ? x3 ? 1? ? a ,解得: x3 ? 1 ? 2a ,
2

x4 , x5 关于 x ? 3 轴对称,? x4 ? x5 ? 6

? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? 1 ? 2a
答案:B 例 4:已知

1 ? k ? 1 , 函 数 f ? x ? ? 2 x ? 1 ? k 的 零 点 分 别 为 x1, x2 ? x1 ? x2 ? , 函 数 3 k g ? x ? ? 2x ? 1 ? 的零点分别为 x3 , x4 ? x3 ? x4 ? , 则 ? x4 ? x3 ? ? ? x2 ? x1 ? 的最小值为 2k ? 1


( A.

1

B.

log2 3

C.

log2 6

D.

3

x 思路: 从 f ? x ? , g ? x ? 解析式中发现 x1 , x2 可看做 y ? 2 ? 1 x 与 y ? k 的交点, x3 , x4 可看做 y ? 2 ? 1 与 y ?

k 的 2k ? 1

交点, 且 x1 ? 0 ? x2 , x3 ? 0 ? x4 , 从而 x1 , x2 , x3 , x4 均可由 k 进行表示,所以 ? x4 ? x3 ? ? ? x2 ? x1? 可转化为关于 k 的函 数,再求最小值即可
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解:由图像可得: x1 ? 0 ? x2 , x3 ? 0 ? x4

k ? 1 ? 2 x3 ? x1 ? ? ?1 ? 2 ? k ? 2k ? 1 ?? x ,? 2 ? ? 2 ? 1 ? k ? 2 x4 ? 1 ? k ? 2k ? 1 ?

? x1 ? log2 ?1 ? k ? , x2 ? log2 ?1 ? k ?
k ? ? x3 ? l o g 1 2? ? ?? ? 2k ? 1? ? k? 1 ? lo , 2g 4 ? ? x ? k? ? 1 ? 2 k ? ? l 2o? g 1 ?? ? k2 ? ?1 ? ? 1 ? 3 k ? ? 2l o g ? 2 ? 1 ? k?

4 ? ? 3k ? 1 ? ? k ?1? ? 3k ? 1 ? ? ? ? x4 ? x3 ? ? ? x2 ? x1 ? ? log2 ? ? ? log2 ? ? ? log2 ? ? ? log2 ? ?3 ? ? 1? k ? ? k ?1 ? ?1? k ? ? 1? k ? ? ?1 ? ? k ? ? ,1? ?3 ?
4 ?? 3 ? 1? k ? ? 3 , ?? ?

?? x4 ? x3 ? ? ? x2 ? x1 ? ??log2 3, ???
答案:B 例 5:已知函数 f ? x ? ? log3 ? x ? 1? ? ? ? ? 1 有两个不同的零点 x1 , x2 ,则( A.

?1? ? 3?

x



x1 x2 ? 1

B. x1 ? x2 ? x1 ? x2

C. x1 ? x2 ? x1 ? x2
x

D. x1 ? x2 ? x1 ? x2

?1? 思路:可将零点化为方程 log3 ? x ? 1? ? ? ? ? 1的根,进而转化为 g ? x ? ? log 3 ? x ? 1? 与 ? 3? ?1? h? x? ? ? ? ? 1 的 交 点 , 作 出 图 像 可 得 ? 3? ?1? 进而可将 log3 ? x ? 1? ? ? ? ? 1中 1 ? x1 ? 2 ? x2 , ? 3?
的 绝 对 值 去 掉 得 :
x x

x1 ? ?1? ? ? log 3 ? x1 ? 1? ? ? ? ? 1 ? ? 3? ? x2 ?1? ? log x ? 1 ? ? ?1 ? 3? 2 ? ? ? 3? ?


, 观 察 选 项 涉 及 x1 ? x2 , x1 ? x2 , 故 将 ② ? ① 可 得 :


x x x

2 1 ?1? ?1? ?1? log3 ? x ? 1 x ? 1 ? ? ? ? ? , 而 y ? ? ? 为 减 函 数 , 且 x2 ? x1 , 从 而 ?? 2 ?? 1 ?? ? 3 ? ? ? ? 3? ? 3?

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log3 ? ?? x2 ? 1?? x1 ? 1? ? ? ? 0 ? ? x2 ? 1?? x1 ? 1? ? 1 ? x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? ? 0





x1 x2 ? x1 ? x2
答案:D 例 6: 已知函数 f ( x) ? ?
3 ? ?| ln x |, (0 ? x ? e ) , 存在 x1 ? x2 ? x3 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) , 3 3 ? e ? 3 ? x , ( x ? e ) ?



f ( x3 ) 的最大值为 x2 f ( x3 ) 可先减少变 x2

思路:先作出 f ? x ? 的图像,观察可得: 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? e3 ? x3 ,所求 量 个 数 , 利 用

f ? x3 ? ? f ? x2 ? 可 得 :

ln x f ( x3 ) f ? x2 ? ln x2 ,从而只需求出 y ? 在 ? ? x x2 x2 x2

1 ? ln x ln x ,所以函数 y ? 2 x x ln e 1 3 ? 在 ?1, e ? 单增,在 ? e, e ? 单减。从而 ymax ? e e 1 答案: e

?1, e ? 的最小值即可: y
3

'

?

2 ? ? x ? 2, x ? ?0,1? 例 7 : 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ? x? 满 足 : f ? x? ? ? ,且 2 ? ?2 ? x , x ? ? ?1,0 ? 2x ? 5 ,则方程 f ? x ? ? g ? x ? 在区间 ? ?5,1? 上的所有实根之 f ? x ? 2? ? f ? x ? , g ? x ? ? x?2

和为( A.

) B. ?6 C. ? 7 D.

?5

?8

思路:先做图观察实根的特点,在 ? ?1,1? 中,通过作图可 发 现 f ? x? 在

? ?1,1?

关 于

? 0 , ?2 中 心 对 称 , 由

f ? x ? 2? ? f ? x ? 可得 f ? x ? 是周期为 2 的周期函数,则
在下一个周期 ? ?3, ?1? 中, f ? x ? 关于 ? ?2,2 ? 中心对称, 以此类推。从而做出 f ? x ? 的图像(此处要注意区间端点

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值在何处取到) ,再看 g ? x ? 图像, g ? x ? ?

2x ? 5 1 1 ?2? ,可视为将 y ? 的图像向 x?2 x?2 x

左平移 2 个单位后再向上平移 2 个单位,所以对称中心移至 ? ?2,2 ? ,刚好与 f ? x ? 对称中 心重合, 如图所示: 可得共有 3 个交点 x1 ? x2 ? x3 , 其中 x2 ? ?3 ,x1 与 x3 关于 ? ?2,2 ? 中 心对称,所以有 x1 ? x3 ? ?4 。所以 x1 ? x2 ? x3 ? ?7 答案:C

?? x 2 ? 2 x ? 3, x ? 0 ? 例 8:函数 f ? x ? ? ? ,直线 y ? m 与函数 f ? x ? 的图像相交于四个不同 2 ? ln x , x ? 0 ? ?
的点,从小到大,交点横坐标依次记为 a, b, c, d ,有以下四个结论 ① m ??3,4?
4 ② abcd ? ? ? 0, e

?

③ a ? b ? c ? d ? ?e ?
5

? ?

1 1 ? ? 2, e6 ? 2 ? 2 ? e e ?

④ 若关于 x 的方程 f ? x ? ? x ? m 恰有三个不同实根,则 m 的取值唯一 则其中正确的结论是( A. ①②③ ) B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④

思路:本题涉及到 m 的取值,及 4 个交点的性质,所以先 作出 f ? x ? 的图像, 从而从图上确定存在 4 个交点时, m的 范围是 ?3,4 ? ,所以①正确。从图像上可看出 a , b 在同一曲 线, c, d 在同一曲线上,所以②③在处理时将 a , b 放在一 组, c, d 放在一组。 ②涉及到根的乘积,一方面 a , b 为方程 ? x ? 2 x ? 3 ? m 的两根,所以由韦达定理,可得
2

ab ? m ? 3 , 而 c, d 为 方 程 2 ? ln x ? m 的 两 根 , 且 0 ? c ? e2 ? d , 从 而
4 2 ? ln c ? ln d ? 2 ,即 ln cd ? 4 ? cd ? e4 ,所以有 abcd ? ? m ? 3? e 4 ? ? ? 0, e ? ,②正确

2?m 2?m ③由②中的过程可得: a ? b ? ?2 , 2 ? ln c ? ln d ? 2 ? m ,所以 c ? e , d ? e ,从

而 a ? b ? c ? d ? ?2 ? e

2?m

1 ? ? e3 , e4 ? 设 ? e2 ? m ? ?2 ? e2 ? em ? m ? ,而 m ??3,4? ,e m ? ? ? e ? ?

1 ? 1 1 ? ? ? f ? m ? ? ?2 ? e2 ? em ? m ? ,则 f ? m? 为增函数,所以 f ? m ? ? ?e5 ? ? 2, e6 ? 2 ? 2 ? e e e ? ? ? ?
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③正确 ④可将问题转化为 y ? f ? x ? 与 y ? ? x ? m 的交点个数问题,通过作图可得 m 的值不唯一 综上所述:①②③正确 答案:A 例 9 : 已 知 函 数 f ? x? ? ?

1 ?, ?1x ? 1 ? a ?x ? ? ?l o g ? a ? 0 ,a ? 1 ? , 若 x1 ? x2 , 且 f 2 ? x ? a ? 1 , ? 1 x ? 3 ? ? ? ?
) C. 恒等于 2 D. 与 a 相关

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则 x1 ? x2 的值(
A. 恒小于 2 B. 恒大于 2

思路:观察到当 ?1 ? x ? 1 时, f ? x ? 为单调函数,且 1 ? x ? 3 时, f ? x ? 的图像相当于作

x ? ? ?1,1? 时 关 于 x ? 1 对 称 的图 像 再进行 上 下平 移 ,所 以 也为单 调 函数 。 由此 可得 f ? x1 ? ? f ? x2 ? 时, x1 , x2 必在两段上。设 x1 ? x2 ,可得 ?1 ? x1 ? 1 ? x2 ? 3 ,考虑使用
代换法设 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? t ,从而将 x1 , x2 均用 a , t 表示,再判断 x1 ? x2 与 2 的大小即可。 解:设 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? t ,不妨设 ?1 ? x1 ? 1 ? x2 ? 3 ,则 ?1 ? 2 ? x2 ? 1

?loga ? x1 ? 1? ? t ? x1 ? at ? 1 loga ?3 ? x2 ? ? a ? 1 ? t ? x2 ? 3 ? at ?1?a
? x1 ? x2 ? 2 ? at ? at ?1? a
t t ?1? a x 若 0 ? a ? 1 ,则 y ? a 为减函数,且 t ? t ? 1 ? a ? a ? a t t ?1? a x 若 a ? 1 ,则 y ? a 为增函数,且 t ? t ? 1 ? a ? a ? a

? x1 ? x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? 2

? x1 ? x2 的值恒大于 2
答案:B

? 3 4 ? 8 x ? ,1 ? x ? 2, ? ? 2 例 10: 定义函数 f ( x) ? ? , 则函数 g ( x) ? xf ( x) ? 6 在区间 [1, 2n ] ( n ? N* ) ? 1 f ( x ), x ? 2. ? ?2 2
内的所有零点的和为( A. n B. 2n ) C.

3 n (2 ? 1) 4

3 D. (2n ? 1) 2

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思路:从 f ( x ) ?

1 ?x? f ? ? 可得:函数 f ? x ? 是以 2n ?1 ,2 n 区间为 2 ?2?

?

?

一段,其图像为将前一段图像在水平方向上拉伸为原来的 2 倍, 同时竖直方向上缩为原来的

1 ,从而先作出 x ? ?1,2? 时的图像, 2
n ?1

再依以上规律作出 ? 2,4? , ? 4,8? ,?, ? ?2

,2 n ? ? 的图像,g ? x ? 的零

点 无 法 直 接 求 出 , 所 以 将 g ? x? ? 0 转 化 为 f ? x ? ?

6 ,即 x

y ? f ? x? 与 h ? x ? ?

6 的交点。通过作图可得,其交点刚好位于每一段中的极大值点位置, x

n ?1 n 可 归 纳 出 2 , 2 中 极 大 值 点 为 xn ?

?

?

2n ?1 ? 2n 3 ? ? 2n , 所 以 所 有 零 点 之 和 为 2 4

S?

n 3 2 ? 2 ? 1? 3 n ? ? ? 2 ? 1? 4 2 ?1 2

答案:D

x 小炼有话说: (1)本题考查了合理将 x 轴划分成一个个区间,其入手点在于 f ( ) 的出现, 2
体现了横坐标之间 2 倍的关系,从而所划分的区间长度成等比数列。 (2)本题有一个易错点,即在作图的过程中,没有发现 h ? x ? ? 值点处,这一点需要通过计算得到:当 x ?

6 恰好与 f ? x ? 相交在极大 x

3 ? 3? ? 3? 时, f ? ? ? 4 ? h ? ? , f ? 3? ? 2 ? h ? 3? , 2 ?2? ?2?

从而归纳出规律。所以处理图像交点问题时,如果在某些细节很难通过作图直接确定,要通 过函数值的计算来确定两图像的位置 三、近年模拟题题目精选

? 1 ? 1? ? x ? 2 , x ? ?0, 2 ? ? ? ? 1、 (2016 四川高三第一次联考)已知函数 f ? x ? ? ? ,若存在 x1 , x2 ,当 ?2 x ?1 , x ? ? 1 ,2 ? ? ? ? ?2 ? ?

0 ? x1 ? x2 ? 2 时, f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则 x1 f ? x2 ? ? f ? x2 ? 的取值范围为(
A.



? 2?3 2 ? ? ? ? 0, ? 4 ? ?

B.

? 9 2?3 2 ? ? ?? , ? 4 ? 16 ?

C.

? 9 1? ? ? 16 , ? 2 ? ? ?

D.

?2 ? 3 2 1 ? ,? ? ? 2? ? 4 ?

2、 (2016,苏州高三调研)已知函数 f ? x ? ? sin x ? kx ? x ? 0, k ? R ? 有且只有三个零点,
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设此三个零点中的最大值为 x0 ,则

x0 ? _________ ?1 ? x ? sin 2x0
2 0

3、已知函数 f ? x ? ? x ? 2 x , g ? x ? ? x ? ln x, h ? x ? ? x ?

x ? 1 的零点分别为 x1, x2 , x3 ,则

x1, x2 , x3 的大小关系是_______

?1? 4 、 已 知 函 数 f ? x ? ? ? ? ? log3 x 的 零 点 为 x0 , 有 0 ? a ? b ? c 使 得 ? 3?

x

f ? a ? f ?b? f ? c ? ? 0 ,则下列结论不可能成立的是(
A.

) D.

x0 ? a

B.

x0 ? b

C. x0 ? c

x0 ? c

5、已知 f ? x ? ? ?

? ? x ?1 ,x ? 0 ,若方程 f ? x ? ? a 有四个不同的解 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ,则 ? ? log2 x , x ? 0


? x1 ? x2 ? ?
A.

1 1 ? 的取值范围是( x3 x4
B.

? 1? 0, ? ? ? 2?

? 1? ? 0, ? ? 2?

C.

? 1? 0, ? ? 2? ?

D. ?0,1?

? log 2 x ,0 ? x ? 2 ? 6 、 已 知 函 数 f ? x? ? ? ? ? ? , 若 存 在 实 数 x1 , x2 , x3 , x4 , 满 足 ?sin ? 4 x ? ,2 ? x ? 10 ? ? ?

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ,且 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? f ? x4 ? ,则
是( A. ) B.

? x3 ? 2?? x4 ? 2? 的取值范围
x1 x2

? 4,16?

?0,12?

C.

?9,21?

D.

?15,25?

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习题答案: 1、答案:C 解析:如图可知:

2 ?1 1 1 ? x1 ? , ? x2 ? 1 2 2 2

1? ? ? x1 f ? x2 ? ? f ? x2 ? ? ? x1 ? 1? f ? x2 ? ? ? x1 ? 1? f ? x1 ? ? ? x1 ? 1? ? x1 ? ? 2? ?

1 1 ? 1? 9 ? x ? x1 ? ? ? x1 ? ? ? 2 2 ? 4 ? 16
2 1

2

?

9 1 ?1? ? g ? x? ? g ? ? ? ? 16 2 ?2?
1 2

2、答案:

解析: f ? x ? ? sin x ? kx ? 0 ? sin x ? kx ,即 y ? sin x 与 y ? kx 恰有三个公共点,通 过数形结合可得: 横坐标最大值 x0 为直线与曲线在 ? ? ,

? ?

3? 2

? 设改点 A? x0 , y0 ? , ? 相切的切点。 ?

? y0 ? sin x0 sin x0 ? y ? sin x 的导数为 y' ? cos x ,所以 ? ,代入到所求表达式 ? x0 ? y0 cos x0 ?k ? x ? cos x0 0 ?
x0 1 ? ? 2 2 ?1 ? x ? sin 2 x0 ? ? sin x0 ? ? ?1 ? ? ? ? sin 2 x0 cos x0 ? ? ? ? ? ?
2 0

可得:

sin x0 cos x0

3、答案: x1 ? x2 ? x3 解析: f ? x ? ? 0 ? 2 ? ? x, g ? x ? ? 0 ? ln x ? ? x , 在同
x

一 坐 标 系 下 作 出 y ? 2 , y ? l nx , y ? ? x 如图所示可得
x

x1 ? 0 ? x2 ? 1。令 h ? x ? ? 0 ?
x?

? x?

2

? x ? 1 ? 0 ,解得

1? 5 3? 5 ? 1 ,从而 x1 ? x2 ? x3 ,所以 x3 ? 2 2

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4、答案:C 解 析 : 可 判 断 出 f ? x ? 为 减 函 数 , 则 f ? a? f? b f ?c ?0 包含两种情况,一个是 ? ? 可知当 x ? ? 0,1? 时,f ? x ? ? 0 。 所以 f ? x ? 的零点必在 ?1, a ? f ? a ? , f ?b? , f ? c ? 均小于零。 中,即 x0 ? a ,A 选项可能;另一种情况为 f ? a ? ? 0, f ?b? ? 0, f ? c ? ? 0 ,则 x0 ? ? b, c ? , 即 B,D 选项可能。 当 x ? c 时, 由 f ? c ? ? 0 和 f ? x ? 为减函数即可得到 f ? x ? 不再存在零点。 5、答案:B 解析:作出 f ? x ? 的图像可知若 f ? x ? ? a 有四个不同的解,则 a ? ? 0,1? ,且在这四个根中,

x1 , x2 关于直线 x ? ?1 对称,所以 x1 ? x2 ? ?2 ,x3 ? 1 ? x4 ,所以 a ? ? log2 x3 ? log 2 x4 ,
a ? ?1? a x ? 1 1 ? 3 ? ? ?1? a 即? ? ?2 ? 2 ? ? ? , 由 a ? ? 0,1? 可 得 ? 2 ? , 所 以 g ? a ? ? ? x1 ? x2 ? ? ? x3 x4 ?2? ? x ? 2a ? 4

? 1? g ? a ? 的范围是 ? 0, ? ? 2?
6、答案:B 解析:不妨设 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? f ? x4 ? ? a ,作出 f ? x ? 的图像可知若 y ? a 与

y ? f ? x ? 有四个不同交点,则 a ? ? 0,1? ,且 x1 ? 1 ? x2 , x3 , x4 关于 x ? 6 轴对称。所以有
? ? log 2 x1 ? log 2 x2 ? x1 x2 ? 1 ? x3 ? 2 ?? x4 ? 2 ? x3 x4 ? 2 ? ? x3 ? x4 ? ? 4 即 ? ? x3 x4 ? 20 ? x ? x ? 12 x x x x ? 3 4 1 2 1 2
因为 x3 ? x4 ? 12 ? x3 ? 12 ? x4 ,所以 求出该表达式的范围即为 ? 0,12 ?

? x3 ? 2?? x4 ? 2?
x1 x2

? x4 ?12 ? x4 ? ? 20, x4 ? ?8,10? ,

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