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2015-2016学年湖南省衡阳市第八中学高一上学期期末考试数学试题


衡阳市八中 2015 年下期期末考试试题 高一数学
一、选择题(每小题 3 分,共 10 小题,满分 30 分)
1.集合 x ? N ?1 ? x ? 3 的真子集的个数是() A. 8 B. 7 C. 4
?

?

?

D. 3

2.过点 A( 3,1) 且其倾

斜角为 60 的直线方程为() A. y ? 3x ? 2 B. y ? 3x ? 2 C. y ?

3 x?2 3

D. y ?

3 x?2 3

x 3.已知函数 y ? f ( x) 的图象与函数 y ? 2 的图象关于直线 y ? x 对称,则 f ( 2) 的值为()

A. 1

B. 2

C. 2

D. 4

4.如图(1) 、 (2) 、 (3) 、 (4)为四个几何体的三视图,可以判断这四个几何体依次为()

A.三棱台、三棱柱、圆锥、圆台 C.三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台

B.三棱台、三棱锥、圆锥、圆台 D.三棱柱、三棱台、圆锥、圆台

5.过点 P(?1,3) 且垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为() A. x ? 2 y ? 7 ? 0 B. 2 x ? y ? 5 ? 0 C. x ? 2 y ? 5 ? 0 D. 2 x ? y ? 1 ? 0

6.已知空间两条不同的直线 m 、 n 和两个不同的平面 ? 、 ? ,则下列命题正确的是() A.若 m ∥?,n ? ? ,则 m ∥ n C.若 m ∥?,m ? ? , ? ? ? ? n ,则 m ∥ n B.若 m ∥?,n ∥? ,则 m ∥ n D.若 ? ? ? ? m, m ? n ,则 n ? ?

7.某工厂去年 12 月份的产值是去年 1 月份产值的 m 倍,则该厂去年产值的月平均增长率为() A.

m 11

B.

m 12

C. 12 m ? 1

D. 11 m ? 1

8.已知四面体 P ? ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上,若 PB ? 平面 ABC , AB ? AC ,且 AC ? 1 ,

PB ? AB ? 2 ,则球 O 的表面积为()
A. 7? 9.曲线 y ? A. ( B. 8? C. 9? D. 10?

4 ? x 2 ? 1(?2 ? x ? 2) 与直线 y ? kx ? 2k ? 4 有两个不同的交点时,实数 k 的取值范围是()
B. (

5 3 , ] 12 4

5 ,?? ) 12

C. ( , )

1 3 3 4

D. (?? ,

5 3 ) ? ( ,?? ) 12 4

10.已知函数 f ( x) 是定义在 (??,0) ? (0,??) 上的奇函数, 在区间 (??,0) 单调递增且 f (?1) ? 0 .若实数 a 满 足 f (log2 a) ? f (log1 a) ? 2 f (1) ,则实数 a 的取值范围是()
2

A. [1,2]

B. ( ?? , ] ? (1,2]

1 2

C. (0,2]

D. (0, ] ? (1,2]

1 2

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每小题 3 分,共 6 小题,满分 18 分)
11.函数 y ?

2? x 的定义域用区间表示为________. x ?1

12.以直线 3x ? 4 y ? 12 ? 0 夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的标准方程为_______.

?2 ? x ? 4, ( x ? 0) 13.函数 f ( x) ? ? 的零点是________. ? lg x, ( x ? 0)

再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下列四个说法: ①水的部分始终呈棱柱状; ②水面四边形 EFGH 的面积不改变; ③棱 A1 D1 始终与水面 EFGH 平行; ④当 E ? AA 1 时, AE ? BF 是定值. 其中正确说法是_______.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 52 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本题满分 8 分)已知集合 A ? x x ? ?2或x ? 2 , B ? x ?1 ? x ? 6 ,全集 U ? R . (1)求 A ? B ; (2)求 (CU A) ? B . 18.(本题满分 8 分)如图所示,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,侧棱 PA ? 底面

?

?

?

?

ABCD ,且 PA ? 2 , Q 是 PA 的中点.
(1)证明: PC ∥ 平面 BDQ ; (2)求三棱锥 Q ? BAD 的体积.

19.(本题满分 8 分)已知函数 f ( x) ? 1 ? (1)证明 f ( x) 是奇函数;

2 . 2 ?1
x

(2)判断 f ( x) 的单调性,并用定义证明. 20.(本分满分 8 分) 如图, 边长为 2 的正方形 ACDE 所在 平面与平面 ABC 垂直,AD 与 CE 的交点为 M ,

AC ? BC ,且 AC ? BC .
(1)求证: AM ? 平面 EBC ; (2)求直线 EC 与平面 ABE 所成角的正切值.

21.(本题满分 8 分)已知 ?ABC 中, A(1,1) , C (4,2) ,点 B 在函数 y ? 点 B 在何处时, ?ABC 的面积哎最大,最大面积是多少?

x (1 ? x ? 4) 的图象上运动,问

22. (本题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆 C 的方程:x ? y ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 , 其中 m ? 5 .
2 2

(1)若圆 C 与直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 相交于 M , N 两点,且 MN ?

4 5 ,求 m 的值; 5 5 ,若 5

(2)在(1)的条件下,是否存在直线 l : x ? 2 y ? c ? 0 ,使得圆上恰有四个点到直线 l 的距离为 存在,求出 c 的范围,若不存在,说明理由. (3)若圆 C 上存在点 P ,使 PA ? 2 PO ,其中点 A(?3,0) ,求 m 的取值范围.

数学参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案

A

A

A

C
2

D

C

C

C

C

D

二、填空题 11. (??,1) ? (1,2] 14. ?? 6,? ,3,? 三、解答题 17.(1) A ? B ? x 2 ? x ? 6? (2) (CU A) ? B ? x ? 2 ? x ? 6? 18. (1)证明:连接 AC 交 BD 于 O ,连接 OQ . ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴ O 是 AC 的中点。 又∵ Q 是 PA 的中点, ∴PC∥ OQ . ∵PC?平面 BDQ , OQ ?平面 BDQ ∴PC∥平面 BDQ ; 12. ( x ? 2) ? ( y ? ) ?
2

3 2

25 4

13. ? 2 或 1

? ?

1 3

? 15.6 ?

16.①③

?

?

(2)∵侧棱 PA⊥底面 ABCD,且 PA=2,Q 是 PA 的中点。 ∴棱锥 Q ? BAD 的高 QA=1, 又∵底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, ∴棱锥 Q ? BAD 的底面面积 ?ABD =2, ∴ VQ ? BAD ?

1 1 2 S ?ABD ? QA ? ? 2 ? 1 ? 3 3 3

19. f ( x) ? 1 ?

2 2x ?1 ? 2x ?1 2x ?1

(1)函数 f ( x ) 的定义域为 R,关于原点对称,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 2 2 ? x2 ? (1 ? x1 ) ? (1 ? x2 ) x1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1

2 2 2(2 x1 ? 2 x2 ) ? x2 ? ? 2 ? 1 2 x1 ? 1 (2 x2 ? 1)(2 x1 ? 1)
∵ x1 ? x2 ,∴ 2 1 ? 2 2 ,又 2 2 ? 1 ? 0 , 2 1 ? 1 ? 0 ,
x x

x

x

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , ∴函数 f ( x ) 在 R 上单调递增. 20. (1)∵正方形 ACDE ∴ EC ? DM ∵面 ACDE ? 面ABC, 面ACDE ? 面ABC ? AC

BC ? AC
∴ BC ? 面ACDE ,∴ BC ? DM ∵ EC ? BC ? C ,∴ DM ? 面BCE

(2)取 AB中点O, 连接CO, EO ∵ AC ? BC ? 2,BC ? AC ,∴ CO ? AB, CO ? AO ?

2, AB ? 2 2

AE ? AC, 面ACDE ? 面ABC, 面ACDE ? 面ABC ? AC

∴ AE ? 面ABC,? AE ? CO

AE ? AB ? A,? CO ? 面ABE ,∴ ?CEO为EC与面ABE成的角
在直角三角形 AEO中,EO ?

6, tan?COE ?

CO 2 3 ? ? EO 3 6

21、解: AC 长为 10

AC 的直线方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 设 B 的坐标为( a 2 , a),1 ? a ? 2

B 到直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 距离为 d ?

a 2 ? 3a ? 2 12 ? 32

3 1 (a ? ) 2 ? 2 4 ? 10

S ?ABC ?

1 1 3 1 AC ? d ? (a ? ) 2 ? 2 2 2 4 3 1 9 ,3 3 1 ? , ∴ a ? ? 0时面积最大为 ,此时B( , ) 2 8 4 2 2 2
2 2

∵ 1 ? a ? 2 ,∴ a ?

22、 (1)圆的方程化为 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 5 ? m , 圆心 C(1,2),半径 r ? 5 ? m , 则圆心 C(1,2)到直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 的距离为: d ?

1? 2? 2 ? 4 12 ? 2 2

?

1 5

由于|MN|=
2 2

4 5

,则

1 2 |MN|= , 2 5

1 MN ) 2 , 2 1 4 ∴ 5 ? m ? ? ,解得 m=4 5 5
有r ? d ?( (2)假设存在直线 l : x ? 2 y ? c ? 0 ,

使得圆上有四点到直线 l 的距离为 由于圆心 C(1,2),半径 r=1,

5 , 5
1? 2? 2 ? 4 1 ?2
2 2

则圆心 C(1,2)到直线 l : x ? 2 y ? c ? 0 的距离为: d ?

?

1 5

? 1?

5 5

解得 4 ? 5 ? c ? 2 ? 5


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