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高中数学--三角函数图像性质专题


三角函数的图象与性质
(一)知识要点 1 正弦、余弦、正切函数的图像和性质 y ? sin x y ? cos x 定义域 值域 周期性 奇偶性
[?

y ? tan x
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

R
[?1,?1]

/>R
[?1,?1]

2?

2?

R ?

奇函数

?
2

? 2k? ,

偶函数 奇函数 [?2k ? 1?? , ? ? ? ? ; ? ? ? k? , ? k? ? 2 2k? ] ? 2 ? 上为增函 数 [2k? , ?2k ? 1?? ] 上为减函 数 (k?Z ) 上 为 增 函 数 (k?Z )

?
2

? 2k? ]

上为增函 数 ; 单调性
[

?

2 3? ? 2k? ] 2

? 2k? ,

上为减函 数 (k ?Z )

y=sinx
-4? -7? -3? 2 -5? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

y=cosx
o
3? 2 ? ? 2 2? 5? 3? 2 7? 2 4?

y
? -? - 2 -2? -3? 2

1 -1
y

x

-4? -7? 2

-5? -3? 2

1 o -1
? 2

3? ? 2 2? 5? 2

7? 3? 2

4?

x

y=tanx

-

3? 2

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

x

2 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的图像和性质 y

x (1)定义域 (3)周期性 (5)单调性 (二)学习要点 (2)值域 (4)奇偶性

1

1 会求三角函数的定义域 2 会求三角函数的值域 3 会求三角函数的周期 :定义法,公式法,图像法。如 y ? sin x 与 y ? cos x 的周期是 ? . 4 会判断三角函数奇偶性 5 会求三角函数单调区间 6 对 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 函数的要求 (1)五点法作简图 (2)会写 y ? sin x 变为 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的步骤 (3)会求 y ? A sin(? x ? ? ) 的解析式 (4)知道 y ? A cos(? x ? ? ) , y ? A tan(? x ? ? ) 的简单性质 7 知道三角函数图像的对称中心,对称轴 8 能解决以三角函数为模型的应用问题

一复习 1.角的概念的推广:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位 置所的图形。 按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的 角叫负角,一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个零角。射线的起始位置称 为始边,终止位置称为终边。 2.象限角的概念:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与 轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。如果角 的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限。 3.终边相同的角的表示: (1) 终边与 终边相同( 的终边在 终边所在射线 上) 定相等。 (2) 终边与 终边共线( 的终边在 终边所在直线上) 。 ,注意:相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一

(3) 终边与 终边关于 轴对称
2



(4) 终边与 终边关于 轴对称



(5) 终边与 终边关于原点对称



(6) 终边在 轴上的角可表示为:

; 终边在 轴上的角可表

示为:

; 终边在坐标轴上的角可表示为:



如 的终边与

的终边关于直线

对称,则 =____________。(答:



4. 与

的终边关系:由“两等分各象限、一二三四”确定。

如若 是第二象限角,则

是第_____象限角(答:一、三)

5.弧长公式: (1rad) 。

,扇形面积公式:

,1 弧度

如已知扇形 AOB 的周长是 6cm,该扇形的中心角是 1 弧度,求该扇形的面 积。(答:2 )

6.任意角的三角函数的定义:设 是任意一个角,P 意一点(异于原点),它与原点的距离是

是 的终边上的任 ,那么







3





三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点 P 的位置无关。 7.三角函数线的特征是:正弦线 MP“站在 轴上(起点在 轴上)”、余弦 线 OM“躺在 轴上(起点是原点)”、正切线 AT“站在点 处(起点是 )”.

三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。

8.特殊角的三角函数值:

9 同角三角函数的基本关系式:

(1)平方关系: (2)倒数关系:sin csc =1,cos sec =1,tan cot =1,

(3)商数关系:
4

同角三角函数的基本关系式的主要应用是,已知一个角的三角函数值,求此 角的其它三角函数值。 在运用平方关系解题时,要根据已知角的范围和三角函数 的取值,尽可能地压缩角的范围,以便进行定号;在具体求三角函数值时,一般 不需用同角三角函数的基本关系式,而是先根据角的范围确定三角函数值的符 号,再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。比如:

(1)函数

的值的符号为____(答:大于 0);

10.三角函数诱导公式(

)的本质是:奇变偶不变(对 而言,指

取奇数或偶数),符号看象限(看原函数,同时可把 看成是锐角).诱导公式 的应用是求任意角的三角函数值,其一般步骤:(1)负角变正角,再写成 2k + , ;(2)转化为锐角三角函数。比如:

(1)

的值为________(答:

);

(2) 已知

, 则

______, 若 为第二象限角,

一、选择题:共 18 道小题,每小题 3 分,共 54 分。 1 函数 y ? sin(2 x ? ? )(0 ? ? ? ? ) 是 R 上的偶函数,则 ? 的值是(
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A

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0

B

?
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4

C

?
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2

D

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?


5 2.函数 y ? sin( x ? ? ) 的图象的一条对称轴方程是( 2
A. x ? ?

?

2 cos 105 ? 的值为 3.
A. 2 ? 6 4 4.设 ? ? (0, A.

B. x ?

?

2

C. x ? ?

D. x ?

3 ? 2
( )

B. 2 ? 6 4

C. 6 ? 2
2

D. 2 ? 6
2

?
2

) ,若 sin ? ?

7 5

3 ? ,则 2 cos( ? ? ) 等于 5 4 1 7 B. C. ? 5 5
5



) D. ?

1 5

5. cos24 cos36 ? cos66 cos54 的值等于
o o o o

( D. ? 1 ( )

)

A.0

B.

1 2

C.

3 2

2

2005 ? ? 2004 x) 是 6.函数 y ? sin( 2
A.奇函数 B.偶函数 7.设 M 和 m 分别表示函数 y ? A.

C.非奇非偶函数

D.既是奇函数又是偶函数 ( )

1 cos x ? 1 的最大值和最小值,则 M ? m 等于 3

2 4 C. ? D. ? 2 3 3 ? 3 ? 8. 已知 ? ? ( , ? ), sin ? ? ,则 tan(? ? ) 等于 ( 2 5 4 1 1 A. B. 7 C. ? 7 7
B. ? 9.函数 f ( x) ? tan( x ? A. ( k? ?

2 3

) D. ? 7

?

), k ? Z B (k? , k? ? ? ), k ? Z 2 2 3? ? ? 3? , k? ? ), k ? Z D. (k? ? , k? ? ), k ? Z C. (k? ? 4 4 4 4
10.将函数 y ? sin( x ?

?

, k? ?

?

4

) 的单调增区间为





?

3

) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,

再将所得的图象向左平移 A
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?
3

个单位,得到的图象对应的僻析式是 ( B
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) D
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y ? sin

y ? sin(2 x ? ) 6
11.已知 A 为三角形的一个内角,且 sin A cos A ? ? , 则 cos A ? sin A 的值为

?

1 x 2

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1 ? y ? sin( x ? ) C 2 2

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1 ? y ? sin( x ? ) 2 6

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1 8





A. ?

3 2

B. ? 3
2

C. ? 5 2

D. ?

5 2

12.在函数 y ? sin x 、 y ? sin x 、 y ? sin( 2 x ? 最小正周期为 ? 的函数的个数为( A
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2? 2? ) 、 y ? cos( 2 x ? ) 中, 3 3



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1个

B

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2个
?

C

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3个
?

D

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4个
?

13. sin163 sin 223 ? sin 253 sin 313 ?
?





A

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?

1 2

B

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1 2

C

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?

3 2

D

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3 2
6

14.函数 y ? sin x ( A. ? ?1,1?

?
6

?x?

2? 3

) 的值域是 (
1 3? C. ? ? , ? ?2 2 ?



1 B. ? ,1? ? ?2 ? ?

? ? D. ? 3 ,1? ? 2 ?
)

15.为得到函数 y=cos(xA.向左平移 C.向左平移

?
3

)的图象,可以将函数 y=sinx 的图象 ( B.向右平移 D.向右平移 ) D. ? 0, ? ?

? ?
3

个单位 个单位

? ?
3

个单位 个单位

6 16.使 sin x ? cos x 成立的 x 的一个区间是 (
A. ? ? 3? , ? ?
? ?
4 4? ?

6

B. ? ? ? , ? ?
? ? 2 2? ?

C. ? ? ? , 3? ?
? ? 4 4? ?

17.直线 y ? a ( a 为常数)与正切曲线 y ? tan ? x ( ? 为常数且 ? ? 0 )相交的相邻两点 间的距离是( A. B. )

2?

?

C.

? ?

D.与 a 值有关

i s 18.给出下列命题: ①存在实数 x , 使n
则 cos ? ? cos ? ; ③函数 y ? sin( x ? 个单位,得到函数 y ? sin(2 x ?
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x c o s?

x?

A 1个 B 2个 C 二、填空题:共 12 道小题,每小题 3 分,共 36 分。 1.函数 y=sinx 的图象的一个对称中心是 2.函数 y=cosx 的图象有无数条对称轴,其对称轴方程可用通式表示为 3 若角 ? 与角 ? 的终边关于 y 轴对称,则 ? 与 ? 的关系是__________________。
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) 的图象 其中正确的个数是( 4 3个 D 4 个
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?

2 3

?
2

3 ; ②若 ? , ? 是第一象限角, 且? ? ? , 2

) 是偶函数; ④函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移
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?

4



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.

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4.设扇形的周长为 8cm ,面积为 4cm ,则扇形的圆心角的弧度数是

2

。 .

5. 已知周期函数 f ( x) 是奇函数, 6 是 f ( x) 的一个周期, 且 f (?1) ? 1 , 则 f (?5) = 6.已知 sin ? ? cos ? ? 8.函数 y ?

1 1 , sin ? ? cos ? ? ,则 sin(? ? ? ) =__________ 3 2


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7.已知 f (x)=ax+bsinx+1,若 f (5)=7,则 f (-5)=

tan 2 x 的定义域是

9.已知 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) 在同一个周期内,当 x ?

π 时, f ( x) 取得最大值为 2 ,当 3
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x ? 0 时, f ( x) 取得最小值为 ? 2 ,则函数 f ( x) 的一个表达式为______________
10.若 f ( x) ? 2 sin ?x(0 ? ? ? 1) 在区间 [0,

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?
3

] 上的最大值是 2 ,则? =________

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7

11. 关于函数 f(x)=4sin(2x+

?
3

), (x∈R)有下列命题:

①y=f(x)是以 2π 为最小正周期的周期函数;② y=f(x)可改写为 y=4cos(2x- ③y=f(x)的图象关于(- 其中正确的序号为 12. 构造一个周期为π , 值域为 [

?
6

);

?
6

,0)对称;④ y=f(x)的图象关于直线 x=- 。

?
6

对称;

1 3 ? , ] , 在 [0, ] 上是减函数的偶函数 f(x)= 2 2 2
sin(? ? ? ) cos(2? ? ? ) tan(?? ? ? ) . sin(? ? ? )

.

三、解答题:共 5 道小题,每小题 12 分,共 60 分。 1.已知α 为第三象限角,且 f(α )= (1) 化简 f(α );(2)若 cos(α -

3π 1 )= ,求 f(α )的值; 2 5
2

2. 已知 ?、? ? ?0, ? ? ,且 tan?、 tan? 是方程 x ? 5x ? 6 ? 0 的两根. ①求 ? ? ? 的值. 3.已知 cos?? ? ? ? ? ②求 cos?? ? ? ? 的值.

4 4 ? 7? ? ? 3? ? , cos?? ? ? ? ? ? ,? ? ? ? ? ,2? ?,? ? ? ? ? , ? ? ,求 cos 2? 的值 5 5 ? 4 ? ? 4 ?

4.求函数 y ? cos x ? sin x , x ? ? 0, ? ? 上的值域
2

5.已知函数 f ( x ) ? 2 cos( 的最大值和最小值

?

x ? ) (1)求 f (x)的单调递增区间(2)若 x ? ? ?? , ? ? ,求 f (x) 3 2

8

1 C 10 C

2 C 11 D

3 A 12 C

4 B 13 B

5 B 14 B

6 B 15 C

7 D 16 A

8 A 17 C

9 C 18 A

1、 ?0,0? 或填 ?k? ,0?, k ? Z 4、2 5、 ? 1 6、 ?

2、 x ? k? , k ? Z

3、 ? ? ? ? ?2k ? 1?? , k ? Z 8、 ?

59 72
10、

7、 ? 5

? k? k? ? ? , ? ?, k ? Z ? 2 2 4?
12、 f ? x ? ?

9、 f ?x ? ? 2 sin ? 3x ? 一、解答题:

? ?

??
? 2?

3 4 1 5

11、②③

1 cos 2 x ? 1 2

1、 (1) f ?? ? ? sin ? ;

(2) f ?? ? ? ?

2

?tan? ? tan ? ? 5? (1) ? ?tan? tan ? ? 6? (2) tan? ? tan ? 5 ? tan( ? ? ?) ? ? ? ?1. 1 ? tan? tan ? 1 ? 6
?

又 t an? ? 0, t an ? ? 0, 且? , ? ? (0, ? ),? ? , ? ? (0, ),? ? ? ? (0, ? ), 2 3? 所以? ? ? ? . 4
②由(1)得 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ? ?

2 ?(3) 2

? 3 2 ?sin ? sin ? ? ? 5 由(2)得 sin ? sin ? ? 6 cos? cos ? ? (4)联立(3)(4)得? ?cos? cos ? ? 2 ? 10 ?

? cos(? ? ? ) ? cos? cos? ? sin ? sin ? ?
3、 cos 2? ? ?

7 2 10

7 25

4、值域为 ?? 1,1? 5、 (1)单增区间为 ?4k? ?

? ?

4 2 ? ? ,4k? ? ? ?, k ? Z (2) f ?x?min ? ? 3, f ?x?max ? 2 3 3 ?
9

高一三角同步练习 7(诱导公式)
一、选择题
1、下列各式不正确的是 ( ) B.cos(-α +β )=-cos(α -β ) D.cos(-α -β )=cos(α +β )

A. sin(α +180°)=-sinα C. sin(-α -360°)=-sinα 2、 sin 600 的值为(
?



A.

1 2

B.

?

1 2

C.
10

3 2

D.

?

3 2

3、 sin ? ?

? 19 ? ? ? 的值等于( ? 6 ?
1 2
B.



A.

?

1 2

C.

3 2

D.

?

3 2


4、若 cos ?? ? ? ? ? A.

3 5

3 , ? ? ? ? 2? , 则 sin ?? ? ? 2? ? 的值是 ( 5 3 4 4 B. ? C. D. ? 5 5 5


5、对于诱导公式中的角α ,下列说法正确的是( A.α 一定是锐角 C.α 一定是正角 6、sin

B.0≤α <2π D.α 是使公式有意义的任意角

4? 25? 5? ?cos ?tan 的值是 3 6 4 3 3 3 A.- B. C.- 4 4 4

D.

3 4
( )

7、 1 ? 2 sin(? ? 2) cos(? ? 2) 等于 A.sin2-cos2 B.cos2-sin2 C.±(sin2-cos2) D.sin2+cos2 ( )

8、已知 sin ?? ? ? ? ? ?

1 1 ,则 的值为 2 cos?? ? 7? ?
C. ?

A.

2 3 3

B. -2

2 3 3

D.

?

2 3 3

二、填空题
1、tan2010°的值为 2、化简: . ___.

cos(? ? 4? ) cos 2 (? ? ? ) sin 2 (? ? 3? ) =______ sin(? ? 4? ) sin(5? ? ? ) cos 2 (?? ? ? )


3、已知

3 sin ?? ? ? ? ? cos?? ? ? ? 2 ,则 tan ? = 4 sin ?? ? ? ? cos?9? ? ? ?

4、若 tan ? ? a ,则 sin?? 5? ? ? ?cos?3? ? ? ? = ____

____.

三、解答题
1、 求 cos(-2640°)+sin1665°的值.

11

2、 化简:

1 ? 2 sin 610? cos430? . sin 250? ? cos790?

3、 已知 sin ?3? ? ? ? ? 求

1 , 4

cos(? ? ? ) cos(? ? 2? ) ? 的值. cos? [cos(? ? ? ) ? 1] cos(? ? 2? ) cos(? ? ? ) ? cos(?? )

4、已知 cos 75 ? ? ?
?

?

?

1 ? ? , ? 为第三象限角,求 cos ? 255 ? ? ? sin 435 ? ? 的值. 3

?

?

?

?

12

参考答案
一、选择题 BDAC 二、填空题
1、

DAAD
1 . 5 a 1? a2

3 . 3

2、 ? cos? .

3、

4、 ?

三、解答题
1、 ?

1? 2 . 2

2、 ? 1 .

3、 32 .

4、 ?

1? 2 2 。 3

? 提示:4、设: 75 ? ? ? ? ,则 cos ? ?

2 2 1 且 ? 为第四象限角,∴ sin ? ? ? , 3 3

于是: cos ? 255 ? ? ? sin 435 ? ? ? cos 180 ? ? ? sin 360 ? ?
? ? ? ?

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? ? cos? ? sin ? ? ?

1? 2 2 。 3

13


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