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第52届国际数学奥林匹克试题


2011 年第 52 届国际数学奥林匹克
第一天 考试时间:4 小时 30 分 2011年7月18日,星期一

每题 7 分

1. 对 任 意 由 4 个 不 同 正 整 数 组 成 的 集 合 A = {a1 , a2 , a3 , a4 } , 记

s A = a1 + a2 + a3 + a4 ,设

nA 是满足 ai + a j (1 ≤ i < j ≤ 4) 整除 s A 的数对(i,j)的个
数.求所有由 4 个不同正整数组成的集合 A,使得 nA 达到最大值. (墨西哥提供) 2. 设 S 是平面上包含至少两个点的一个有限点集,其中没有三点在同一条 直线上. 所谓一个 “风车” 是指这样一个过程: 从经过 S 中单独一点 P 的一条直线 l 开 始,以 P 为旋转中心顺时针旋转,直至首次遇到 S 中的另一点,记为点 Q .接着 这条直线以 Q 为新的旋转中心顺时针旋转,直到再次遇到 S 中的某一点,这样的 过程无限持续下去. 证明:可以适当选取 S 中的一点 P ,以及过 P 的一条直线 l ,使得由此产生 的“风车”将 S 中的每一点都无限多次用作旋转中心. (英国提供)

3.设 f : 都有



是一个定义在实数集上的实值函数,满足对所有实数 x,y,

f ( x + y ) ≤ y f ( x) + f ( f ( x)) ,
证明:对所有实数 x ≤ 0 ,有 f ( x) = 0 . (白俄罗斯提供)

第二天 考试时间:4 小时 30 分

2011年7月19日,星期二

每题 7 分

4. 给定整数 n > 0 .有一个天平和 n 个重量分别为 20 , 21 ,K , 2n ?1 的砝码. 现通过 n 步操作逐个将所有砝码都放上天平,使得在操作过程中,右边的重 量总不超过左边的重量.每一步操作是从尚未放上天平的砝码中选择一个砝码, 将其放到天平的左边或右边,直至所有砝码都被放上天平. 求整个操作过程的不同方法个数. (伊朗提供)

5. 设 f 是一个定义在整数集上取值为正整数的函数,已知对任意两个整数

m, , f (m) ? f (n) 能被 f (m ? n) 整除. n 差 证明: 对所有整数 m, , f (m) ≤ f (n) , n 若
则 f (n) 被 f (m) 整除. (伊朗提供)

6. 设锐角三角形 ABC 的外接圆为 Γ , l 是圆 Γ 的一条切线.记切线 l 关于 直线 BC,CA 和 AB 的对称直线分别为 l a , l b 和 l c .证明:由直线 l a , l b 和 l c 构 成的三角形的外接圆与圆 Γ 相切. (日本提供)


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