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26.2用函数观点看一元二次方程(第1课时) (2)


问题: 如图以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方 向击出时,球的飞行路线将是一条抛物线,如果不考虑空 气阻力,球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位: s)之间具有关系

h = 20t-5t 2

考虑以下问题: (1)球的飞行高度能否达到15m?如能,需要多少飞行时间? (2)球的飞行高度能否达到20m?如能,需要多少飞行时间? (3)球的飞行高度能否达到20.5m?为什么? (4)球从飞出到落地需要用多少时间?

分析:由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函 数 h=20t-5t 2
所以可以将问题中h的值代入函数解析式,得到关于t的一元二次方 程,如果方程有合乎实际的解,则说明球的飞行高度可以达到问题中h 的值;否则,说明球的飞行高度不能达到问题中h的值. 解:(1)解方程 15=20t-5t 2 t 2-4t+3=0

t1=1,t2=3 当球飞行1s和3s时,它的高度为15m. t1=1s 15m 15m t2=3s

(2)解方程 20=20t-5t 2 t 2-4t+4=0 t1=t2=2

当球飞行2s时,它的高度为20m.
t1=2s
20m

(3)解方程 20.5=20t-5t 2 t 2-4t+4.1=0 因为(-4)2-4×4.1<0,所以方程无解. 球的飞行高度达不到20.5m.

20m

(4)解方程
0=20t-5t2 t2-4t=0 t1=0,t2=4 当球飞行0s和4s时,它的高度为0m,即0s时球从 地面发出,4s时球落回地面.

0s

4s

从上面可以看出,二次函数与一元二次方程关系密切.

例如,已知二次函数y = -x2+4x的值为3,求自 变量x的值,可以解一元二次方程-x2+4x=3(即x2 -4x+3=0). 反过来,解方程x2-4x+3=0 又可以看作已知二 次函数 y = x2-4x+3 的值为0,求自变量x的值. 一般地,我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c 深入 讨论一元二次方程ax2+bx+c=0

下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如 果有,公共点的横坐标是多少?当x取公共 y = x2-x+1 点的横坐标时,函数的值是多少?由此, 你能得出相应的一元二次方程的根吗? y = x2+x-2 (1)y = x2+x-2 (2)y = x2-6x+9 (3)y = x2-x+1

y = x2-6x+9

1

(1)抛物线y = x2+x-2与x轴有两个公共点,它们的横坐标是-2, 1.当x取公共点的横坐标时,函数的值是0.由此得出方程x2+x-2=0 的根是-2,1. (2)抛物线y = x2-6x+9与x轴有一个公共点,这点的横坐标是3. 当x = 3 时,函数的值是0.由此得出方程 x2-6x+9=0有两个相等的实数根3. (3)抛物线y = x2-x+1与x轴没有公共点,由此可知,方程x2-x+1 =0没有实数根.

一般地,从二次函数y=ax2+bx+c 的图象可知 (1)如果抛物线y=ax2+bx+c 与x轴有公共点,公共点的横 坐标是x0,那么当x =x0时,函数的值是0,因此x = x0 就是 方程 ax2+bx+c=0 的一个根. (2)二次函数的图象与x轴的位置关系有三种:没有公共点, 有一个公共点,有两个公共点,这对应着一元二次方程根的 三种情况:没有实数根,有两个相等的实数根,有两个不等 的实数根.


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