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函数值域


函数的值域
函数的值域取决于定义域和对应法则,求函数的值域要注意优先考虑定义域。下面介绍几种常用的求值

域方法:
(1)直接观察法:利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域 对于一些比较简单的函数,如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。

y?
例 1、求

函数

1 , x ? [1, 2] x 的值域。(??)
答案:值域是: [??,3] 解: { y 0 ? y ? 1 }

例 2、 求函数 y ? 3 ? x 的值域。 (??) 练习 1 函数 y

?

1 2? x
2

的值域。

(??)

2

(2) 配方法:二次函数或可转化为形如 F ( x) ? a[ f ( x)]2 ? bf ( x) ? c 类的函数的值域问题,均可用配方 法,而后一情况要注意 f ( x ) 的范围;配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例 3、求函数 y ? x ? 2 x ? 5, x ? R 的值域。(??)
2

2 例 4、求函数 y ? x ? 2x ? 5, x ?[?1,2] 的值域。 (???) 2 解:将函数配方得: y ? (x ? 1) ? 4

∵ x ? [?1,2]

由二次函数的性质可知:当 x=1 时, y min ? 4 ,当

x ? ?1时, y max ? 8

故 函数的值域是:[4,8]
2 2

例 5、求 y ? 2?log2 2x? ? 6 log2 x ? 6 ? 2?log2 x ? 2? ? 2 。 (????) (配方法、换元法) 例 6、设 ,求函数 的值域。

解:



∴ 当 2 x ? 3 时,函数取得最小值 ?8 ;当 2 x ? 1 时,函数取得最大值 ?4 , ∴ 函数的值域为 [?8, ? 4] 。
评注:配方法往往需结合函数图象求值域。 例 7、求函数 y ? 2x ? 3 ? 4x ? 13 的值域。 (????) (配方法、换元法) 解: y ?

1 1 1 4 x ? 6 ? 2 4 x ? 13 ? ?4 x ? 13? ? 2 4 x ? 13 ? 7 = 2 2 2 7 7 所以 y ? ,故所求函数值域为[ ,+∞]。 2 2

?

? ?

? ?

4 x ? 13 ? 1 ? 3 ,

?

2

例 8、求函数 y ? 2 ? ? x 2 ? 4 x 的值域。 (???) (配方法) y ? ?0, 2? 。 练习 2 1、求二次函数 y ? ? x ? 4 x ? 2 ( x ? 1, 4 )的值域。
2

? ?

(??)

2、求函数 y ? e ? x

2

? 4 x ?3

的值域。

(???) (????)

3、求函数 y ? 4? x ? 2? x ? 1, x ?[?3, 2] 的最大值与最小值。 4、求函数 y ? log 2

x x ? log 2 ( x ? [1,8]) 的最大值和最小值。 (???) 2 4
x? 1 2

5、已知 x ? 0, 2 ,求函数 f ( x) ? 4

? ?

? 3 ? 2x ? 5 的值域。 (???)

6、若 x ? 2 y ? 4, x ? 0, y ? 0 ,试求 lg x ? lg y 的最大值。 (????) (3) 换元法: (三角换元法)有时候为了沟通已知与未知的联系,我们常常引进一个(几个)新的量来 代替原来的量,实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质,发现解题 方向,这就是换元法。在求值域时,我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求 得原函数的值域。 例 9、求 f ( x) ? x ? 1 ? x 的值域。 解:令 1 ? x ? t ? 0 ,则 x ? 1 ? t 2 (t ≥ 0) , f ( x) ? f (1 ? t 2 ) ? 1 ? t 2 ? t ? ? t ?

? ?

1? 5 5 ? ? ≤ , 2? 4 4

2

所以函数值域为 ? ??, ? 。 评注:利用引入的新变量 t ,使原函数消去了根号,转化成了关于 t 的一元二次函数,使问题得以解决。用 换元法求函数值域时,必须确定新变量的取值范围,它是新函数的定义域。 练习 3 求函数 y ? x ? 1 ? 2 x 的值域。

? ?

5? 4?

解:由 1 ? 2 x ? 0 ,得 x ?

1? t 2 1 。令 1 ? 2x ? t ?t ? 0? 得 x ? ,于是 2 2

y?

1? t 2 1 1 1 2 ? t ? ? ?t ? 1? ? 1 ,因为 t ? 0 ,所以 y ? 。故所求函数值域为[-∞, ]。 2 2 2 2

例 10、求函数 y ? x 1 ? x 2 ? x 2 的值域。 解:设 x ? sin ? ? ? ?

? ?

??

? ,则 2?

1 1 1 2 ? ?? y ? sin ? cos? ? sin 2 ? ? sin 2? ? ?1 ? cos2? ? ? ? sin? 2? ? ? 。 2 2 2 2 4? ?
所以

?1 ? 2 1 ? 2 ? 1? 2 1? 2 , ,故所求函数值域为 ? ?y? ?。 2 ? 2 2 ? 2

练习 4

2 1、求函数 y ? x ? 4 ? 5 ? x 的值域。
2 解:由 5 ? x ? 0 ,可得 | x |? 5

令 x ? 5 cos ?, ? ?[0, ?] ,则

? y ? 5 cos ? ? 4 ? 5 sin ? ? 10 sin(? ? ) ? 4 4

∵0 ?? ? ?

? ? 5? ? ??? ? 4 4 4

当 ? ? ? / 4 时, y max ? 4 ? 10 ;当 ? ? ? 时, y min ? 4 ? 5 故所求函数的值域为: [4 ? 5 ,4 ? 10 ] 2、求函数 y ? x ? 1 ? 2x 的值域。

(??)

2 3、求函数 y ? x ? 2 ? 1 ? (x ? 1) 的值域。 (????)
2 2 解:因 1 ? (x ? 1) ? 0 ,即 (x ? 1) ? 1 ,令 x ? 1 ? cos ?, ? ?[0, ?] ,则

? y ? cos ? ? 1 ? 1 ? cos 2 ? ? sin ? ? cos ? ? 1 ? 2 sin(? ? 4 ) ? 1


0 ? ? ? ?,0 ? ? ?

? 5 ? ? 4 4

2 ? ? sin(? ? ) ? 1 2 4 ? ? 0 ? 2 sin(? ? ) ? 1 ? 1 ? 2 4 ??

故所求函数的值域为 [0,1 ? 2 ]

4、已知函数 f ( x) 的值域为 ? 3 , 5 ? ,求函数 y ? f ( x) ? 1 ? 2 f ( x) 的值域。 (???) ? ?8 9 ? ? (4) 函数有界性法(方程法)直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的 值域。我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性。 例 11、 (1)求函数 y ?

sin x ? 3 的值域。 sin x ? 3

解:因为 sin x ? 3 ? 0 ,所以 y sin x ? 3 y ? sin x ? 3 ,则 sin x ?

3? y ? 1? 1? y

由于 sin x ? 1,所以

1 1 3? y ? 1? ? 1 ,解得 ? 2 ? y ? ? 。故所函数的值域为[-2,- ]。 2 2 1? y

x2 ?1 (2)求函数 y ? 2 的值域 x ?1
? x2 ?
解: 例 12、求函数 y ?

1? y ?0 1? y

? ?1 ? y ? 1 ? 原函数的值域为 ?? 11?

3 sin x ? 1 的值域。 2 cos x ? 3

解:因为 2 cos x ? 3 ? 0 ,所以 2 y cos x ? 3 y ? 3 sin x ? 1,即 3 sin x ? 2 y cos x ? 3 y ? 1,所以

3 4y ? 9
2

sin x ?

2y 4y ? 9
2

cos x ?

3y ? 1 4y ? 9
2

,令 cos? ?

3 4y ? 9
2

, sin ? ?

2y 4y2 ? 9



sin ?x ? ? ? ?

3y ? 1 4y2 ? 9

,由

3y ? 1 4y2 ? 9

? 1 ,解得 ? 2 ? y ?

4 4 ,故所函数的值域为[-2, ]。 5 5

ex ? 1 2 sin ? ? 1 2 sin ? ? 1 y? y? y? x 1 ? sin ? , 1 ? cos ? 的值域。 e ?1 , 练习 5 求函数
解:

ex ? 1 1? y ? ex ? ?0 x 1? y e ?1 2sin ? ? 1 1? y y? ?| sin ? |?| |? 1, 1 ? sin ? 2? y 2sin ? ? 1 y? ? 2sin ? ? 1 ? y (1 ? cos ? ) 1 ? cos ? 2sin ? ? y cos ? ? 1 ? y y? 4 ? y 2 sin(? ? x) ? 1 ? y, 即sin(? ? x) ? 又由 sin(? ? x) ? 1知 1? y 4 ? y2 ?1 1? y 4 ? y2

解不等式,求出y,就是要求的答案
(5)、数形结合法(函数的图像):对于一些函数(如二次函数、分段函数等)的求值域问题,我们可 以借助形象直观的函数图象来观察其函数值的变化情况,再有的放矢地通过函数解析式求函数最值,确定 函数值域,用数形结合法,使运算过程大大简化。 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结 合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。 例 13、求函数 f ( x) ? ?
2 ? ? x ? 2 x ? 3 (?2 ≤ x ? 0), 的值域。 2 x ? 2 x ? 3 (0 ≤ x ≤ 3) ? ?

分析:求分段函数的值域可作出它的图象,则其函数值的整体变 化情况就一目了然了,从而可以快速地求出其值域。 解:作图象如图所示。

∵ f (?1) ? f (1) ? ?4 , f (?2) ? ?3 , f (3) ? 0 , f (0) ? ?3 ,
∴ 函数的最大值、 最小值分别为 0 和 ?4 , 即函数的值域为 [?4, 0] 。
2 2 例 14、求函数 y ? ( x ? 2) ? ( x ? 8) 的值域。

解:原函数可化简得: y ?| x ? 2 | ? | x ? 8 | ,上式可以看成数轴上点 P(x)到定点 A(2),B(-8)间的距

离之和。由上图可知,当点 P 在线段 AB 上时, y ?| x ? 2 | ? | x ? 8 |?| AB |? 10 ;当点 P 在线段 AB 的延长线 或反向延长线上时, y ?| x ? 2 | ? | x ? 8 |?| AB |? 10 。故所求函数的值域为 [10,?? ] 。
2 2 例 15、求函数 y ? x ? 6x ? 13 ? x ? 4x ? 5 的值域。
2 2 2 2 解:原函数可变形为 y ? (x ? 3) ? (0 ? 2) ? (x ? 2) ? (0 ? 1) ,上式可看成 x 轴上的点 P(x,0)到

两定点 A(3,2) ,B(-2,-1)的距离之和,由右图可知当点 P 为线段与 x 轴的
2 2 交点时, y min ?| AB |? (3 ? 2) ? (2 ? 1) ? 43 ,故所求函数的值域为

[ 43,?? ] 。
2 2 例 16、求函数 y ? x ? 6x ? 13 ? x ? 4x ? 5 的值域。
2 2 2 2 解:将函数变形为: y ? (x ? 3) ? (0 ? 2) ? (x ? 2) ? (0 ? 1)

上式可看成定点 A (3, 2) 到点 P (x, 0) 的距离与定点 B( ?2,1) 到点 P( x,0) 的距离之差。 即:y ?| AP | ? | BP | 由右图可知: (1)当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时,如点 P' ,则构成 ?ABP' ,根据三角形
2 2 两边之差小于第三边,有 || AP' | ? | BP' ||?| AB |? (3 ? 2) ? (2 ? 1) ? 26 ,即 ? 26 ? y ? 26

(2)当点 P 恰好为直线 AB 与 x 轴的交点时,有 || AP | ? | BP ||?| AB |? 26 综上所述,可知函数的值域为: (? 26 , 26 ] 注:由例 15,16 可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使 A、B 两点在 x 轴的两侧,而求两距离之差时,则要使 A,B 两点在 x 轴的同侧。 如:例 15 的 A,B 两点坐标分别为: (3,2) , (-2,-1) ,在 x 轴的同侧;例 16 的 A,B 两点坐标分别为(3,2) , (2,-1) ,在 x 轴的同侧。 练习 7 1、求函数 y ? x ?1 ? x ? 3 的值域。 3、求函数 y ? 2、求函数 y ? x ? 3 ? x ? 1 的值域。

x2 ? 4 x ? 5 ? x2 ? 4 x ? 8 的值域。 x 2 ? 2 x ? 5 ? x 2 ? 2 x ? 2 的最大值。
2

4、求函数 f ?x ? ?

(6) 均值不等式法: 利用基本关系 [ f ( x)] ? 0, 两个正数的均值不等式 a ? b ? 2 ab 在应用时要注意 “一
? 3 正二定三相等”;利用基本不等式 a ? b ? 2 ab , a ? b ? c ? 3 abc (a, b, c ? R ) ,求函数的最值,其题型特

征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时需要用到拆项、添项和两边平方 等技巧。 例 17、求函数 y ?

x 2 ? 2x ? 2 ( x ? ?1) 的值域 x ?1 ( x ? 1) 2 ? 1 1 ? x ?1? ? 2 (? x ? ?1) 当且仅当 x ? 0 时取等号, x ?1 x ?1

解:原函数可化为 y ?

故 值域为 ?2 , ? ??

例 18、求函数

y ? (sin x ?

1 2 1 2 ) ? (cos x ? ) ?4 的值域。 sin x cos x
y ? (sin 2 x ? cos 2 x ) ? ? 1 ? ces 2 x ? sec 2 x ? 3 ? tan 2 x ? cot 2 x ? 33 tan 2 x cot 2 x ? 2 ?5 1 1 ? 2 sin x cos 2 x

解:原函数变形为

当且仅当 tan x ? cot x



当 x=kπ ± 时

,等号成立 故 原函数的值域为 [5,?? ) 。

(7) 、根判别式法:对于形如 y ?

a1 x 2 ? b1 x ? c1 ( a1 , a2 不同时为 0 )的函数常采用此法,就是把函数 a2 x 2 ? b2 x ? c2

转化成关于 x 的一元二次方程(二次项系数不为 0 时) ,通过方程有实数根,从而根的判别式大于等于零, 求得原函数的值域。对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时 也可以用其他方法进行化简 如:

b 型:直接用不等式性质 k+x2 bx b. y ? 2 型,先化简,再用均值不等式 x ? mx ? n x 1 1 例:y ? ? ? 2 1 2 1+x x+ x 2 x ? m ?x ? n ? c.. y ? 2 型 通常用判别式 x ? mx ? n x2 ? mx ? n d. y ? 型 x?n 法一:用判别式 a. y ? 法二:用换元法,把分母替换掉 例:y ?
2 x2 ? x ? 1 (x+1) ? (x+1) +1 1 ? ? (x+1) ? ?1 ? 2 ?1 ? 1 x ?1 x ?1 x ?1

例 19、求函数 y ?

1 ? x ? x2 的值域。 1 ? x2
2

解:原函数化为关于 x 的一元二次方程 ( y ?1) x ? x ? y ? 1 ? 0 。

(1)当 y ? 1 时, x ? R , ? ? (?1)2 ? 4( y ?1)( y ?1) ≥ 0 ,解得

1 3 ≤ y≤ ; 2 2

(2)当 y ? 1 时, x ? 0 ,而 1? ? , ? 。 故 函数的值域为 ? , ? 。 ?2 2? ?2 2? 评注:①在解此类题的过程中要注意讨论二次项系数是否为零;②使用此法须在 x ? R 或仅有个别值(个 别值是指使分母为 0 的值,处理方法为将它们代入方程求出相应的 y 值,若在求出的值域中则应除去此 y 值)不能取的情况下,否则不能使用,如求函数 y ? 例 20、求函数 y ? x ? x(2 ? x) 的值域。
2 2 解:两边平方整理得: 2x ? 2( y ? 1)x ? y ? 0 (1)

?1 3?

?1 3?

1 ? x ? x2 , x ? (2, 3) 的值域,则不能使用此方法。 1 ? x2

∵ x ?R

2 ∴ ? ? 4( y ? 1) ? 8y ? 0

解得: 1 ? 2 ? y ? 1 ? 2

但此时的函数的定义域由 x (2 ? x ) ? 0 ,得 0 ? x ? 2

2 2 由 ? ? 0 ,仅保证关于 x 的方程: 2x ? 2( y ? 1)x ? y ? 0 在实数集 R 有实根,而不能确保其实

根在区间[0,2]上,即不能确保方程(1)有实根,由 ? ? 0 求出的范围可能比 y 的实际范围

?1 3? ? , ? 大,故不能确定此函数的值域为 ? 2 2 ? 。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵0 ? x ? 2

? y ? x ? x(2 ? x) ? 0
2 ? 2 ? 24 2 2 ?[0,2]
即当

? y min ? 0, y ? 1 ? 2 代入方程(1)
x1 ? 2 ? 2 ? 24 2 2 时,原函数的值域为 [0,1 ? 2 ]

x1 ?
解得:

注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的 部分剔除。

5x2 ? 8x ? 5 练习 8 1、求函数 y ? 的值域。 x2 ? 1
ax 2 ? 8 x ? b

2、求函数

y?

x ?1 x ? 2 x ? 2 的值域。
2

3、函数

f ( x ) ? log 3

x 2 ?1

的定义域为 (??, ??) ,值域为 [0, 2] ,求 a , b 的值。

?b 4、设函数 y ? f ? x ? ? ax 的值域为 ?? 1,5? ,求 a,b 。 x2 ? 2

5、已知函数 y=f(x)=

2 x 2 ? bx ? c ?b ? 0? 的值域为[1,3],求实数 b,c 的值。 x2 ? 1

(8) 、分离常数法:对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题,因为分子分母都有变量,利用函 数单调性确定其值域较困难,因此,我们可以采用凑配分子的方法,把函数分离成一个常数和一个分式和 的形式,而此时的分式,只有分母上含有变量,进而可利用函数性质确定其值域。

2x 例 21、 (1)求函数 y ? x 的值域。 2 ?1
解: y ?

2x (2 x ? 1) ? 1 1 1 x ? 1, ? ? 1? x 。 ∵ 2 x ? 0 ,∴ ? ? 1 ? 1 ,∴ ? ? x x x 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1
x

? 1 ? 0 , ∴? ? 1 ? x ? 1 。 ∴ 函数的值域为 (0, 1) 。 2 ?1 2 ?1 x ?1 (2)求 y ? 的值域。 x?2 x?2?3 3 ? 1? ? 1 ,可得值域 ?y y ? 1? 解: (利用部分分式法)由 y ? x?2 x?2 ax ? b (c ? 0) ,如果在其自然定义域(代数式自身对变量的要求)内,值域为 小结:已知分式函数 y ? cx ? d ∴ ?1 ? ?

? ?y y ? ?

a? ,采用部分分式法将原函数化为 ? ;如果是条件定义域(对自变量有附加条件) c?
b?

ad a c (ad ? bc) ,用复合函数法来求值域。 y? ? c cx ? d
(9)、倒数法 直接看不出函数的值域时,可以给式子两边求倒数。

y?
例 22、求函数 解: y ?

x?2 x ? 3 的值域。

x?2 x?3 x ? 2 ? 0时, 1 x ? 2 ?1 ? ? x?2? y x?2 x ? 2 ? 0时,y =0 1 2

1 x?2

?2?0? y?

1 2

?0 ? y ?

总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优 先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。 例 1、求下列函数的值域: (综合运用) (1) y ? 3x ? x ? 2 ;
2

(2) y ? ? x 2 ? 6 x ? 5 ;

(3) y ?

3x ? 1 ; x?2

(4) y ? x ? 4 1 ? x ; (5) y ? x ? 1 ? x 2 ;

(6) y ?| x ? 1| ? | x ? 4 | ;

2 x2 ? x ? 2 2 x2 ? x ? 1 1 1 ? sin x ( x ? ) ; (9) y ? (7) y ? 2 ; (8) y ? 2 ? cos x 2x ?1 2 x ? x ?1
解: (1)法一:公式法(略)

? y ? 3x 2 ? x ? 2 ? 3( x ? ) 2 ? 法二: (配方法)

1 6

23 23 23 2 ? , ∴ y ? 3x ? x ? 2 的值域为 [ , ?? ) 。 12 12 12

变式

求函数 y ? 3x2 ? x ? 2 , x ? [1,3] 的值域。

解: (利用函数的单调性)函数 y ? 3x2 ? x ? 2 在 x ? [1,3] 上单调增,∴当 x ? 1 时,原函数有最小值为 4 ; 当 x ? 3 时,原函数有最大值为 26 。∴函数 y ? 3x2 ? x ? 2 , x ? [1,3] 的值域为 [4, 26] 。 (2)复合函数的值域:设 ? ? ? x2 ? 6x ? 5 ( ? ? 0 ) ,则原函数可化为 y ? 又∵ ? ? ? x2 ? 6 x ? 5 ? ?( x ? 3)2 ? 4 ? 4 ,∴ 0 ? ? ? 4 ,故 (3) (法一)反函数法: y ? ∴原函数 y ?

?。

? ?[0,2] ,∴值域为 [0, 2] 。

3x ? 1 2x ? 1 的反函数为 y ? ,其定义域为 {x ? R | x ? 3} , x ?3 x?2

3x ? 1 的值域为 { y ? R | y ? 3} 。 x?2
3x ? 1 3( x ? 2) ? 7 7 , ? ? 3? x?2 x?2 x?2

(法二)分离变量法: y ? ∴函数 y ?



7 7 ? 0 ,∴ 3 ? ? 3, x?2 x?2

3x ? 1 的值域为 { y ? R | y ? 3} 。 x?2

(4)换元法(代数换元法) :设 t ? 1 ? x ? 0 ,则 x ? 1 ? t 2 , ∴原函数可化为 y ? 1 ? t 2 ? 4t ? ?(t ? 2)2 ? 5(t ? 0) ,∴ y ? 5 ,∴原函数值域为 (??,5] 。 总结: y ? ax ? b ? cx ? d 型值域,变形: y ? ax 2 ? b ? cx 2 ? d 或 y ? ax2 ? b ? cx ? d
2 (5)三角换元法:∵ 1 ? x ? 0 ? ?1 ? x ? 1 ,∴设 x ? cos ? , ? ?[0, ? ] ,

则 y ? cos ? ? sin ? ? ∵ ? ?[0, ? ] ,∴ ? ?

2 sin(? ?

?
4

)

?

? 5? ? ? 2 ? [ , ] ,∴ sin(? ? ) ?[? ,1] , ∴ 2 sin(? ? ) ? [?1, 2] , 4 4 4 4 4 2

∴原函数的值域为 [?1, 2] 。

??2 x ? 3 ( x ? ?4) ? (?4 ? x ? 1) ,∴ y ? 5 , ∴函数值域为 [5, ??) 。 (6)数形结合法: y ?| x ? 1| ? | x ? 4 |? ?5 ?2 x ? 3 ( x ? 1) ?
2 (7)判别式法:∵ x ? x ? 1 ? 0 恒成立,∴函数的定义域为 R 。 由 y ?

2 x2 ? x ? 2 得: x2 ? x ? 1

( y ? 2) x2 ? ( y ? 1) x ? y ? 2 ? 0



①当 y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时,①即 3 x ? 0 ? 0 ,∴ x ? 0 ? R ②当 y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时,∵ x ? R 时方程 ( y ? 2) x ? ( y ? 1) x ? y ? 2 ? 0 恒有实根,
2



, ∴1 ? y ? 5 且 y ? 2 ,

∴原函数的值域为 [1,5] 。

1 2 x 2 ? x ? 1 x(2 x ? 1) ? 1 1 1 1 1 1 ? ? x? ? x ? ? 2 ? , ∵ x ? ,∴ x ? ? 0 , (8) y ? 2x ?1 2x ?1 2x ?1 2 x?1 2 2 2 2
1 1 1 1 ∴ x ? ? 2 ? 2 (x ? ) 2 2 x?1 2 (x ? 1) 2 2
1 1? 2 1 时等号成立。 ? 2 ,当且仅当 x ? ? 2 时,即 x ? 1 2 x? 2 2

∴y?

2?

1 1 ,∴原函数的值域为 [ 2 ? , ??) 。 2 2

(9) (法一) 方程法 (函数有界性) : 原函数可化为: sin x ? y cos x ? 1 ? 2 y , ∴ 1 ? y 2 sin( x ? ? ) ? 1 ? 2 y (其中 cos ? ?

1 1? y
2

,sin ? ?

y 1? y
2

) ,∴ sin( x ? ? ) ?

1? 2 y 1? y
2

?[?1,1] ,∴ |1 ? 2 y |? 1 ? y 2 ,

∴ 3 y 2 ? 4 y ? 0 ,∴ 0 ? y ?

4 4 , ∴原函数的值域为 [0, ] 。 3 3

(法二)数形结合法:可看作求点 (2,1) 与圆 x 2 ? y 2 ? 1上的点的连线的斜率的范围,解略。 例 2、若关于 x 的方程 (2 ? 2?|x?3| )2 ? 3 ? a 有实数根,求实数 a 的取值范围。 (综合) 解:原方程可化为 a ? (2 ? 2?|x?3| )2 ? 3 ,令 t ? 2?| x ?3| ,则 0 ? t ? 1 , a ? f (t ) ? (t ? 2)2 ? 3 , 又∵ a ? f (t ) 在区间 (0,1] 上是减函数,∴ f (1) ? f (t ) ? f (0) ,即 ?2 ? f (t ) ? 1 , 故实数 a 的取值范围为 。

例 3、求函数

y?

x?2 x ? 3 的值域。 (换元法、不等式法)

2 解:令 t ? x ? 2 (t ? 0) ,则 x ? 3 ? t ? 1

(1)当 t ? 0 时, (2)当 t=0 时,y=0。 故 函数的值域为 注:先换元,后用不等式法 。

,当且仅当 t=1,即 x ? ?1时取等号,所以



巩固练习
1、下列函数中,值域是(0,+∞)的函数是( )

A、 y ?

1 5 ?1
?x

B、 y ? 1 ? 2 x

C、 y ?

1 ( )x ?1 2

1? x D、 y ? ( )

1 3

2、已知 f ( x) ? 2 x3 ? 6 x2 ? a ( a 是常数) ,在 ? ?2, 2? 上有最大值 3,那么在 ? ?2, 2? 上的最小值是( A、 ? 5 B、 ?11 C、 ?29 D、 ?37 )



3、已知函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 在区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围是( A、[ 1,+∞) B、[0,2] C、 (-∞,2] D、[1,2]

4、若函数 f ( x) ? loga x(0 ? a ? 1) 在区间 [a, 2a] 上的最大值是最小值的 3 倍,则 a=(



1 1 2 2 B、 C、 D、 4 2 4 2 x 5、函数 f ( x) ? a ? loga ( x ? 1)在[0,1] 上的最大值与最小值之和为 a,则 a 的值为( ) 1 1 A、 B、 C、2 D、4 4 2 y?2 x y 6、若 x 2 ? y 2 ? 1 ,则 的最小值是__________ ? 的最大值是______________ x ?1 3 4
A、 7、已知函数 y ? lg(ax2 ? 2x ? 1) 的值域为 R,则实数 a 的取值范围是_____________ 8、求下列函数的值域 (1) y ?

e e

x x

?1 ?1

(2) y ? 0.25x

2

?2 x

(3) y ? 3x ? x3

(4) y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

2 x 2 ? bx ? c (b ? 0) 的值域为 [1,3] ,求实数 b, c 的值。 9、已知函数 f ( x) ? x2 ?1
10、 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx(a ? 0) 满足条件:f (5 ? x) ? f ( x ? 3) 且方程 f ( x) ? x 有等根, ⑴ 求
2

f ( x) 的解析式;⑵ 是否存在实数 m, n(m ? n) ,使得 f ( x) 的定义域为 [m, n] ,值域为 [3m,3n] 。
11、已知函数 f ( x) ?

x 2 ? 2x ? a 1 , x ? [1,??) (1)当 a ? 时,求函数 f ( x) 的最小值 ; (2)若对任意 2 x

x ? [1,??) , f ( x) ? 0 恒成立,试求实数 a 的取值范围。
巩固练习答案 1—5、DDDAB 9、 b ? ?2, c ? 2 6、

3 5 ; 4 12

7、[0,1]

8(1)(-1,1)

(2) ? 0, 4

?

(3)R (4) ? , ?? ? ?2 ?

?5

?

10、(1) f ( x ) ? ?

1 2 x ? x (2) m ? ?4, n ? 0 2

11、(1)

7 2

(3) a ? ?3


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